Aufgabe 3.5: Rekursive Filter für GF(2)

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Allgemeines rekursives Filter und betrachtete Realisierung

Die obere der beiden dargestellten Schaltungen zeigt ein rekursives Filter zweiter Ordnung in allgemeiner Form. Mit

$$A(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} a_0 + a_1 \cdot D + a_2 \cdot D^2 \hspace{0.05cm},$$
$$B(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 + b_1 \cdot D + b_2 \cdot D^2 $$

erhält man für die Übertragungsfunktion

$$G(D) = \frac{A(D)}{B(D)} = \frac{a_0 + a_1 \cdot D + a_2 \cdot D^2}{1 + b_1 \cdot D + b_2 \cdot D^2} \hspace{0.05cm}.$$

Zu beachten ist, dass sich alle Rechenoperationen auf  ${\rm GF(2)}$  beziehen. Damit sind auch die Filterkoeffizienten  $a_0, \ a_1, \ a_2, \ b_1$  und  $b_2$  binär $($entweder  $0$  oder  $1)$.

Die untere Grafik zeigt das für die vorliegende Aufgabe spezifische Filter:

  • Ein Filterkoeffizient ergibt sich zu  $a_i = 1$, wenn die Verbindung durchgeschaltet ist  $(0 ≤ i ≤ 2)$.
  • Andernfalls ist  $a_i = 0$. Die gleiche Systematik gilt für die Koeffizienten  $b_1$  und  $b_2$.


In den Teilaufgaben (1), ... , (3) sollen Sie für verschiedene Eingangssequenzen

  • $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$,
  • $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$,
  • $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$


die jeweilige Ausgangssequenz  $\underline{x}$  anhand der vorgegebenen Schaltung ermitteln. Es ist zu berücksichtigen:

  • Besteht die Eingangssequenz  $\underline{u}$  aus einer Eins gefolgt von lauter Nullen, so bezeichnet man diese spezifische Ausgangssequenz  $\underline{x}$  als die  Impulsantwort  $\underline{g}$, und es gilt:
$$\underline{g} \hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}{G}(D)\hspace{0.05cm}. $$
  • Andernfalls ergibt sich die Ausgangssequenz als das  Faltungsprodukt  zwischen Eingangssequenz und Impulsantwort:
$$\underline{x} = \underline{u} * \underline{g} \hspace{0.05cm}.$$




Hinweise:


Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die Impulsantwort  $\underline{g}$  des rekursiven Filters?

Es gilt  $\underline{g} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
Es gilt  $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
Die Impulsantwort  $\underline{g}$  ist unendlich weit ausgedehnt.

2

Es sei nun  $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1)$. Welche Aussagen treffen zu?

Die Ausgangssequenz lautet:  $\underline{x} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
Die Ausgangssequenz lautet:  $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
Die Ausgangssequenz  $\underline{x}$  reicht bis ins Unendliche.

3

Nun gelte  $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1)$. Welche Aussagen treffen zu?

Die Ausgangssequenz  $\underline{x}$  beginnt mit  $(1, \, 0, \, 1)$.
Die Ausgangssequenz  $\underline{x}$  beginnt mit  $(1, \, 1, \, 1)$.
Die Ausgangssequenz  $\underline{x}$  reicht bis ins Unendliche.

4

Welche Aussagen gelten für die Übertragungsfunktion  $G(D)$?

Es gilt  $G(D) = (1 + D^2)/(1 + D + D^2)$.
Es gilt  $G(D) = (1 + D + D^2)/(1 + D^2)$.
Es gilt  $G(D) = 1 + D + D^2 + D^4 + D^5 + D^7 + D^8 + \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm} $ .


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Zur Berechnung der Impulsantwort $\underline{g}$
  • Die Impulsantwort $\underline{g}$ ist gleich der Sequenz $\underline{x}$ für die Eingangssequenz $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, \text{...})$. Anhand der Filterstruktur ergibt sich mit $w_0 = w_{-1} = 0$ und den Gleichungen
$$w_i \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} u_i + w_{i-1} + w_{i-2} \hspace{0.05cm},$$
$$x_i \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} w_i + w_{i-2} $$
das Ergebnis $\underline{g} = \underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, \text{...})$ entsprechend Lösungsvorschlag 2, wie nebenstehende Berechnung zeigt.
  • Richtig ist aber zusätzlich auch noch der Lösungsvorschlag 3, da man aus diesem Berechnungsschema weiter folgende Periodizitäten der Impulsantwort $\underline{g}$ (bis ins Unendliche) wegen jeweils gleicher Registerbelegung erkennt:
$$g_3 \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} g_6 = g_9 = \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}= 1 \hspace{0.05cm},$$
$$g_4 \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} g_7 = g_{10} =\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}= 0 \hspace{0.05cm},$$
Zur Berechnung der Ausgangssequenz $\underline{x}$
$$g_5 \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} g_8 = g_{11} =\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}= 1 \hspace{0.05cm}.$$






(2) Nach ähnlichen Berechnungen wie in Teilaufgabe (1) erkennt man die Richtigkeit der Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Auch die Ausgangssequenz $\underline{x}$ reicht bis ins Unendliche.
  • Es zeigen sich auch wieder Periodizitäten.


Zum gleichen Ergebnis gelangt man, wenn man die um eine, drei, sechs bzw. sieben Positionen (nach rechts) verschobenen Impulsantworten $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, \text{...} \hspace{0.05cm})$ im Galoisfeld ${\rm GF(2)}$ addiert:

$$\underline{x} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{x} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}. $$

Aufgrund der Linearität des betrachteten Systems ist dies erlaubt.


(3)  Hier wählen wir den Weg über die $D$–Transformierten:

$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad U(D) = 1+ D + D^2 \hspace{0.05cm}.$$
  • Mit der Übertragungsfunktion $G(D) = (1 + D^2)/(1 + D + D^2)$ erhält man somit für die $D$–Transformierte der Ausgangssequenz:
$$X(D) = {U(D)} \cdot G(D) = {1+D+D^2} \cdot \frac{1+D^2}{1+D+D^2} = 1+D^2 \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{x} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.01cm} \text{...}\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm} ) \hspace{0.05cm}.$$
  • Richtig ist hier nur der Lösungsvorschlag 1: Trotz unendlich langer Impulsantwort $\underline{g}$ ist bei dieser Eingangssequenz $\underline{u}$ die Ausgangssequenz $\underline{x}$ auf drei Bit begrenzt.
  • Zum gleichen Ergebnis kommt man wieder durch Addition verschobener Impulsantworten:
$$\underline{x} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) + (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) + (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}. $$


$\rm GF(2)$–Polynomdivision $(1 + D^2)/(1 + D + D^2)$

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Auf dem Angabenblatt ist die allgemeine Übertragungsfunktion eines rekursiven Filters zweiter Ordnung wie folgt gegeben.
$$G(D) = \frac{a_0 + a_1 \cdot D + a_2 \cdot D^2}{1 + b_1 \cdot D + b_2 \cdot D^2} \hspace{0.05cm}.$$
  • Das hier betrachtete Filter ist durch die Koeffizienten $a_0 = a_2 = b_1 = b_2 = 1$ und $a_1 = 0$ bestimmt. Somit erhält man das Ergebnis entsprechend dem Lösungsvorschlag 1:
$$G(D) = \frac{1 + D^2}{1 + D + D^2} \hspace{0.05cm}. $$
  • Gleichzeitig ist aber $G(D)$ auch die $D$–Transformierte der Impulsantwort:
$$\underline{g}= (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0 ,\hspace{0.05cm} \text{ ...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} {G}(D)$$
$$\Rightarrow\hspace{0.3cm} {G}(D)= 1 + D + D^2 + D^4+ D^5 +\text{...} \hspace{0.1cm}. $$
  • Das bedeutet: Richtig ist auch der Lösungsvorschlag 3.
  • Zum gleichen Ergebnis wäre man durch Division der beiden Polynome $1 + D^2$ und $1 + D + D^2$ gekommen, wie die nebenstehende Rechnung zeigt.