Aufgabe 3.7: Hochpass-Impulsantwort

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Hochpass zweiter Ordnung

Wir gehen von der skizzierten Anordnung aus.  Die Übertragungsfunktionen der beiden identischen Hochpässe lauten:

$$H_{\rm L}^{(1)}(p) = H_{\rm L}^{(2)}(p) =\frac{p}{p+A} \hspace{0.05cm} .$$

Da die Vierpole durch einen Trennverstärker widerstandsmäßig entkoppelt sind, lässt sich für die Gesamtübertragungsfunktion schreiben:

$$H_{\rm L}(p) = H_{\rm L}^{(1)}(p) \cdot H_{\rm L}^{(2)}(p) \hspace{0.05cm} .$$

Gleichzeitig ist bekannt, dass folgende Gleichung gültig ist:

$$H_{\rm L}(p) =\frac{4}{1/p^2 + 4/p +4} \hspace{0.05cm} .$$

Stellt man diese Funktion in Pol–Nullstellen–Form dar, so wird sich herausstellen, dass hier die Anzahl der Nullstellen  $(Z)$  gleich der Anzahl der Pole  $(N)$  ist.  Eine direkte Anwendung des Residuensatzes ist hier deshalb nicht möglich.

Um die Zeitfunktion  $h(t)$  berechnen zu können, muss vielmehr eine Partialbruchzerlegung entsprechend  $H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) \hspace{0.05cm}$  vorgenommen werden. Damit gilt für die Impulsantwort:

$$h(t) = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t) \hspace{0.05cm}.$$

Bezüglich  $H_{\rm L}'(p)$  gilt  $Z' < N'$. Somit kann der kontinuierliche Anteil  $h'(t)$  der Impulsantwort mit dem Residuensatz ermittelt werden.





Hinweise:

  • Das Residium eines  $l$–fachen Pols  $p_{\rm x}$  innerhalb der Funktion  $H_{\rm L}(p)$  lautet:
$${\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{\rm x}} \hspace{0.03cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p t}\}= \frac{1}{(l-1)!}\cdot \frac{{\rm d}^{\hspace{0.05cm}l-1}}{{\rm d}p^{\hspace{0.05cm}l-1}}\hspace{0.15cm} \left \{H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{\rm x})^{\hspace{0.05cm}l} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{\rm x}} \hspace{0.05cm} .$$
  • Die Ableitung des Produkts  $y(x) = f(x) \cdot g(x)$  ist wie folgt gegeben:
$$\frac{{\rm d}{\hspace{0.05cm}y(x)}}{{\rm d}\hspace{0.05cm}x}= \frac{{\rm d}{\hspace{0.05cm}f(x)}}{{\rm d}\hspace{0.05cm}x}\cdot g(x) + \frac{{\rm d}{\hspace{0.05cm}g(x)}}{{\rm d}\hspace{0.05cm}x}\cdot f(x) \hspace{0.05cm} .$$


Fragebogen

1

Stellen Sie  $H_{\rm L}(p)$  in Pol–Nullstellen–Form dar.  Wieviele Nullstellen  $(Z)$  und Pole  $(N)$  gibt es?  Wie groß ist der konstante Faktor  $K$?

$Z \hspace{0.28cm} = \ $

$N \hspace{0.2cm} = \ $

$K \hspace{0.2cm} = \ $

2

Wie groß ist der Parameter $A$  der beiden Teilvierpolen?

$A \ = \ $

3

Wandeln Sie  $H_{\rm L}(p) = 1 - H_{\rm L}'(p)$  um.  Welches Ergebnis erhält man für  $H_{\rm L}'(p)$?

$H_{\rm L}'(p) = p^2/(p+0.5)^2$,
$H_{\rm L}'(p) = p/(p+0.5)^2$,
$H_{\rm L}'(p) = (p+0.25)/(p+0.5)^2$.

4

Berechnen Sie die Zeitfunktion  $h'(t)$.  Welche Zahlenwerte ergeben sich für die angegebenen Zeitpunkte?

$h'(t = 0) \ = \ $

$h'(t = 1) \ = \ $

$h'(t → ∞)\ = \ $


Musterlösung

(1)  Ausgehend von der vorgegebenen Gleichung kann  $H_{\rm L}(p)$  wie folgt umgeformt werden:

$$H_{\rm L}(p) =\frac{4}{1/p^2 + 4/p +4}=\frac{p^2}{p^2 + p +1/4}=\frac{p^2}{(p +1/2)^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}\underline{ Z = 2\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm}N = 2\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm}K = 1} \hspace{0.05cm} .$$


(2)  Die Gesamtübertragungsfunktion lautet entsprechend der Angabe:

$$H_{\rm L}(p) = H_{\rm L}^{(1)}(p) \cdot H_{\rm L}^{(2)}(p) =\frac{p^2}{(p+A)^2} \hspace{0.05cm} .$$

Ein Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (1)  zeigt, dass  $\underline{A = 0.5}$  sein muss.


(3)  Richtig ist der letzte Lösungsvorschlag:

  • Ausgehend von der in der Teilaufgabe  (1)  berechneten Gleichung erhält man
$$H_{\rm L}(p) =\frac{p^2}{p^2 + p +0.25}= \frac{p^2 + p +0.25}{p^2 + p +0.25}- \frac{p +0.25}{p^2 + p +0.25}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{p +0.25}{p^2 + p +0.25}= \frac{p +0.25}{(p +0.5)^2} \hspace{0.05cm} .$$


(4)  Bezüglich der Funktion  $H_{\rm L}'(p)$  gilt  $Z' = 1$,  $N' = 2$  und  $K' = 1$.

Die beiden Pole bei  $p_{\rm x} = -0.5$  fallen zusammen, so dass nur ein Residium ermittelt werden muss:

$$h\hspace{0.03cm}'(t) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{\rm x}} \hspace{0.7cm}\{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= \frac{\rm d}{{\rm d}p}\hspace{0.15cm} \left \{ \frac{p +0.25}{(p +0.5)^2} \cdot (p +0.5)^2 \cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.5} = \hspace{0.2cm}\frac{\rm d}{{\rm d}p}\hspace{0.15cm} \left \{ (p +0.25) \cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.5} \hspace{0.05cm} .$$
Impulsantwort des Hochpasses (rot);
kontinuierlicher Anteil $h\hspace{0.03cm}'(t)$ (blau)

Mit der Produktregel der Differentialrechnung erhält man: $$h\hspace{0.03cm}'(t) \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} + ( p + 0.25) \cdot t \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.5} = \hspace{0.15cm} (1- {t}/{4}) \cdot{\rm e}^{-t/2} \hspace{0.05cm} $$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h\hspace{0.03cm}'(t = 0) \hspace{0.15cm} = \underline{1}\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.3cm} h\hspace{0.03cm}'(t = 1) \hspace{0.15cm} = \underline {0.455}\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm} ,\hspace{0.3cm} h\hspace{0.03cm}'(t \rightarrow \infty) \hspace{0.15cm} = \underline {= 0}\hspace{0.05cm} .$$ Die Grafik zeigt jeweils für nicht–negative Zeiten

  • als blaue Kurve die Impulsantwort  $h'(t)$  des äquivalenten Tiefpasses,
  • als rote Kurve die gesamte Impulsantwort des betrachteten Hochpasses:
$$h(t) = \delta (t) - (1- {t}/{4}) \cdot{\rm e}^{-t/2} \hspace{0.05cm}.$$