Aufgabe 3.7: Winkelmodulation einer harmonischen Schwingung

From LNTwww

Demodulator
für FM

Das an einem Empfänger ankommende Signal lautet:

$$ r(t) = 3\,{\rm V} \cdot \cos \hspace{-0.05cm} \big[2 \pi \cdot 1\,{\rm MHz} \cdot t + 3 \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\big]\hspace{0.05cm}.$$

Bei  $r(t)$  handelt es sich um ein winkelmoduliertes Signal, das bei der Übertragung weder verzerrt noch durch Rauschen beaufschlagt wurde.

Die Signale  $v_{\rm PM}(t)$  und  $v_{\rm FM}(t)$  ergeben sich nach idealer Demodulation mittels

  • Phasendemodulator, gegeben durch die Gleichung
$$ v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {K_{\rm PM}} = 2\,{\rm V}^{-1}\hspace{0.05cm},$$
  • Frequenzdemodulator, bestehend aus PM–Demodulator, Differenzierer und einer Konstanten $K$.


Damit alle Signale gleiche Einheiten besitzen, ist diese Konstante $K$ dimensionsbehaftet.





Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Aussagen treffen mit Sicherheit zu?

Es könnte eine PM–Modulation vorliegen.
Es könnte eine FM–Modulation vorliegen.
Die Nachrichtenphase ist sicher  $ϕ_{\rm N} = 0$.
Die Nachrichtenfrequenz ist sicher  $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$.

2

Berechnen Sie das Signal  $v_{\rm PM}(t)$  nach dem Phasendemodulator.  Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt  $t = 0$?

$v_{\rm PM}(t = 0) \ = \ $

$\ \rm V$

3

Berechnen Sie das Signal  $v_{\rm FM}(t)$. Wie groß ist die Nachrichtenphase  $ϕ_{\rm N}$?

$ϕ_{\rm N} \ = \ $

$\ \rm Grad$

4

Wie groß ist  $K$  zu wählen, damit die Amplitude von  $v_{\rm FM}(t)$  gleich  $1.5 \ \rm V$  ist?

$K\ = \ $

$\ \rm \cdot 10^4 \ 1/s$

5

Welche der folgenden Aussagen treffen für das FM–modulierte Signal zu?

Der Phasenhub beträgt  $ϕ_{\rm max} = 3$.
Der Frequenzhub beträgt  $Δf_{\rm A} = 30 \ \rm kHz$.
Es treten Augenblicksfrequenzen zwischen  $0.97\ \rm MHz$  und  $1.03 \ \rm MHz$  auf.
Mit  $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$  würde sich am Phasenhub nichts ändern.
Mit  $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$  würde sich am Frequenzhub nichts ändern.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:

  • Aus der Gleichung für  $r(t)$  kann lediglich abgelesen werden, dass es sich um eine Winkelmodulation handelt,
  • nicht jedoch, ob eine Phasenmodulation (PM) oder eine Frequenzmodulation (FM) vorliegt.
  • Aufgrund der Gleichung steht fest, dass die Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$  beträgt.
  • Die Phase  $ϕ_{\rm N} = 0$  des Quellensignals würde dagegen nur zutreffen, wenn eine Phasenmodulation vorläge.


(2)  Mit der Modulatorkonstanten  $K_{\rm PM} = 2 \ \rm V^{–1}$  erhält man hierfür:

$$v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) = \frac{3}{2\,{\rm V}^{-1}} \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
  • Für den Zeitpunkt  $t = 0$  gilt deshalb:
$$v_{\rm PM}(t = 0) = {A_{\rm N}} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.5\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Für das Ausgangssignal  $v_{\rm FM}(t)$  des FM–Demodulators – bestehend aus PM–Demodulator und Differenzierer – kann man schreiben:

$$v_{\rm FM}(t) = \frac{{\rm d}v_{\rm PM}(t)}{{\rm d}t} \cdot K = \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot (- \sin(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t))= \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot \cos(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t + 90^\circ)\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Nachrichtenphase ist somit  $ϕ_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= 90^\circ}$.


(4)  In diesem Fall muss gelten:  

$$ K ={2 \pi \cdot f_{\rm N}} \hspace{0.15cm}\underline { = 6.28 \cdot 10^{4} \,\,{1}/{ s}} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2, 3 und 5:

  • Der Phasenhub ist identisch mit dem Modulationsindex, der aus der angegebenen Gleichung abgelesen werden kann:
$$\phi_{\rm max} = \eta = 3 = \frac{\Delta f_{\rm A}}{ f_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Damit erhält man den Frequenzhub  $Δf_{\rm A} = 3 · f_{\rm N} = 30 \ \rm kHz$.
  • Mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 1 \ \rm MHz$  kann somit die Augenblicksfrequenz  $f_{\rm T}(t)$  nur Werte zwischen  $1±0.03 \ \rm MHz$  annehmen.


Es gilt also auch folgende Aussage:

Bei halber Nachrichtenfrequenz verdoppelt sich der Phasenhub  $η$, während der Frequenzhub  $Δf_{\rm A}$  davon nicht beeinflusst wird:

$$\eta = \frac{K_{\rm PM} \cdot A_{\rm N}}{ f_{\rm N}} = 6 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_{\rm A} = \eta \cdot f_{\rm N} = 6 \cdot 5\,{\rm kHz} = 30\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$