Aufgabe 3.8: Modulationsindex und Bandbreite

From LNTwww

Werte der Besselfunktionen

Eine harmonische Schwingung der Form

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$

wird winkelmoduliert und dann das einseitige Betragsspektrum  $|S_+(f)|$  ermittelt.

  • Mit der Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$  sind folgende Spektrallinien mit folgenden Gewichten zu erkennen:
$$|S_{\rm +}(98\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(102\,{\rm kHz})| = 1.560\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ $$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.293\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
$$ |S_{\rm +}(94\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(106\,{\rm kHz})| = 0.594\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
Weitere Spektrallinien folgen mit jeweiligem Frequenzabstand  $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$, sind hier jedoch nicht angegeben und können vernachlässigt werden.
  • Erhöht man die Nachrichtenfrequenz auf  $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$, so gibt es die dominanten Linien
$$|S_{\rm +}(100\,{\rm kHz})| = 2.013\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
$$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.494\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
$$ |S_{\rm +}(92\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(108\,{\rm kHz})| = 0.477\,{\rm V},$$
sowie weitere, vernachlässigbare Diraclinien im Abstand  $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$.





Hinweise:



Fragebogen

1

Welches Modulationsverfahren liegt hier vor?

Phasenmodulation.
Frequenzmodulation.

2

Wie groß ist der Modulationsindex  $η_2$  bei der Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$?

$η_2 \ = \ $

3

Wie groß ist die Trägeramplitude?

$A_{\rm T} \ = \ $

$\ \rm V$

4

Geben Sie die Bandbreite  $B_2$ an, wenn mit  $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$  ein Klirrfaktor  $K < 1\%$  gefordert wird.

$B_2 \ = \ $

$\ \rm kHz$

5

Wie groß ist der Modulationsindex  $η_4$  mit der Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$?

$η_4\ = \ $

6

Welche Kanalbandbreite  $B_4$  ist nun erforderlich, um  $K < 1\%$  zu gewährleisten?

$B_4 \ = \ $

$\ \rm kHz$


Musterlösung

(1)  Es handelt sich um eine Frequenzmodulation   ⇒   Antwort 2.

  • Bei Phasenmodulation würden sich die Gewichte der Diraclinien bei der Frequenzverdopplung nicht ändern.


(2)  Die angegebene Spektralfunktion lässt aufgrund von Symmetrieeigenschaften auf die Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$  schließen.

  • Da bei  $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$  die Spektrallinie bei  $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$  verschwindet, ist  $η_2 \hspace{0.15cm}\underline { ≈ 2.4}$  zu vermuten.
  • Eine Kontrolle der weiteren Impulsgewichte bestätigt das Ergebnis:
$$\frac { |S_{\rm +}(f =102\,{\rm kHz})|}{ |S_{\rm +}(f =104\,{\rm kHz})|} = 1.206,\hspace{0.2cm} \frac { {\rm J}_1(2.4)}{ {\rm J}_2(2.4)}= 1.206 \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Die Gewichte der Diraclinien bei  $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$  lauten allgemein:

$$D_n = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_n(\eta)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_1 = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_1(\eta)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} A_{\rm T} = D_1/{\rm J}_1(η) = 1.560\ \rm V/0.520\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \ V}.$$


(4)  Mit der Forderung  $K < 1\%$  gilt folgende Faustformel  (Carson–Regel):

$$B_{\rm 2} = 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +2) \hspace{0.15cm}\underline {= 17.6\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Somit stehen dem Empfänger die Fourierkoeffizienten  $D_{–4}$, ... , $D_4$  zur Verfügung.


(5)  Bei Frequenzmodulation gilt allgemein:

$$\eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Durch Verdopplung der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ wird also der Modulationsindex halbiert:   $η_4 = η_2/2\hspace{0.15cm}\underline { = 1.2}$.


(6)  Die für  $K < 1\%$  erforderliche Kanalbandbreite ergibt sich nach gleicher Rechnung wie in der Teilaufgabe  (4)  zu

$$B_4 = 3.2 · 8\ \rm kHz \hspace{0.15cm}\underline {= 25.6 \ \rm kHz}.$$
  • Aufgrund des nur halb so großen Modulationsindex' genügt es für die Begrenzung des Klirrfaktors auf  $1\%$, die Fourierkoeffizienten  $D_{–3}$, ... , $D_3$  zu übertragen.