Aufgabe 4.12Z: Nochmals 4–QAM–Systeme

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Phasendiagramme bei 4–QAM, ideal und mit Degradationen

Die Grafik  $\rm (A)$  zeigt das Phasendiagramm der 4–QAM nach dem Matched–Filter, wobei eine bei AWGN–Rauschen unter der Nebenbedingung "Spitzenwertbegrenzung" optimale Realisierungsform gewählt wurde:

  • rechteckförmiger Sendegrundimpuls der Symboldauer  $T$,
  • rechteckförmige Impulsantwort des Matched-Filters gleicher Breite  $T$.


Alle hier dargestellten Phasendiagramme – sowohl  $\rm (A)$  als auch  $\rm (B)$  und  $\rm (C)$  – beziehen sich ausschließlich auf die Detektionszeitpunkte. Die Übergänge zwischen den einzelnen zeitdiskreten Punkten sind in diesem Phasendiagrammen also nicht eingezeichnet.

  • Es liegt hier ein AWGN–Kanal mit  $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$  vor.
  • Entsprechend gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit des zunächst betrachteten Systems  $\rm (A)$ :
$$p_{\rm B} = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )\hspace{0.05cm}.$$

Die Phasendiagramme  $\rm (B)$  und  $\rm (C)$  gehören zu zwei Systemen, bei denen die 4–QAM nicht optimal realisiert wurde. Auch bei diesen ist jeweils AWGN–Rauschen mit  $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$  vorausgesetzt.





Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Quadratur–Amplitudenmodulation.
  • Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger im Buch "Digitalsignalübertragung".
  • Die Ursachen und Auswirkungen von Impulsinterferenzen werden im  gleichnamigen Abschnitt  des Buches "Digitalsignalübertragung" erläutert.
  • Die Kreuze in den Grafiken markieren mögliche Punkte in den Phasendiagrammen, wenn kein AWGN–Rauschen vorhanden wäre.
  • Die Punktwolken aufgrund des AWGN–Rauschens haben alle gleichen Durchmesser. Die rote Wolke erscheint nur deshalb etwas kleiner als die anderen, da "Rot" auf "Schwarz" schlechter zu erkennen ist.
  • Als eine hinreichend gute Näherung für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie verwenden:
$${\rm erfc}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{\pi}\cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2}.$$


Fragebogen

1

Berechnen Sie mit der angegebenen Näherung die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von System  $\rm (A)$.

$p_{\rm B} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-5}$

2

Welche Eigenschaften weist das System  $\rm (B)$  auf?

Es besteht ein Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger.
Das Empfangsfilter führt zu Impulsinterferenzen.
Es ergibt sich keine Degradation gegenüber System  $\rm (A)$.

3

Welche Eigenschaften weist das System  $\rm (C)$  auf?

Es besteht ein Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger.
Das Empfangsfilter führt zu Impulsinterferenzen.
Es ergibt sich keine Degradation gegenüber System  $\rm (A)$.

4

Welche Aussagen sind bezüglich den Fehlerwahrscheinlichkeiten richtig?

Alle drei Systeme weisen die gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit.
Die Fehlerwahrscheinlichkeit von System  $\rm (A)$  ist am kleinsten.
Das System  $\rm (B)$  besitzt eine größere Bitfehlerwahrscheinlichkeit als das System  $\rm (C)$.


Musterlösung

(1)  Aus der Angabe  $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$  folgt   ${E_{\rm B}}/{N_0} = 10^{0.9}\approx 7.95 \hspace{0.05cm}.$ 

  • Mit der angegebenen Näherung gilt weiter:
$$p_{\rm B} = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \approx \frac{1}{2 \cdot\sqrt{\pi \cdot{E_{\rm B}}/{N_0}} } \cdot {\rm e}^{-{E_{\rm B}}/{N_0}} = {1}/{2 \cdot\sqrt{7.95 \cdot \pi }} \cdot {\rm e}^{-7.95}\approx \hspace{0.15cm}\underline {3.5 \cdot 10^{-5}\hspace{0.05cm}}.$$
  • Der exakte Wert  $p_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = 3.3 · 10^{–5}}$  ist nur geringfügig kleiner.


(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

  • Aufgrund eines Phasenversatzes um  $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$  wurde das Phasendiagramm gedreht, was zu einer Degradation führt.
  • Die beiden Komponenten  $\rm I$  und  $\rm Q$  beeinflussen sich zwar gegenseitig, es gibt aber keine Impulsinterferenzen wie bei System  $\rm (C)$.
  • Ein "Nyquistsystem" führt niemals zu Impulsinterferenzen.


(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Insbesondere an den jeweils neun Kreuzen in jedem Quadranten des Phasendiagramms  $\rm (C)$, die den rauschfreien Fall markieren, erkennt man den Einfluss von Impulsinterferenzen.
  • Anstelle des optimalen Empfangsfilters für rechteckförmigem Sendegrundimpuls  $g_s(t)$   ⇒   rechteckförmige Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  wurde hier ein  Gaußtiefpass  mit der (normierten) Grenzfrequenz  $f_{\rm G} · T = 0.6$  verwendet.
  • Dieser bewirkt Impulsinterferenzen.  Auch ohne Rauschen gibt es in jedem Quadranten neun Kreuze, die auf je einen Vor– und Nachläufer pro Komponente hinweisen.


(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Die Systeme  $\rm (B)$  und  $\rm (C)$  sind nicht optimal.  Daraus ist bereits ersichtlich, dass die Aussage 1 nicht zutrifft.
  • Dagegen ist die Aussage 2 richtig.  Jedes 4–QAM–System, das dem Matched–Filter–Prinzip folgt und zusätzlich die erste Nyquistbedingung erfüllt, besitzt die vorne angegebene Fehlerwahrscheinlichkeit
$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ).$$
  • Die so genannte „Wurzel–Nyquist–Konfiguration”, die zum Beispiel in der Aufgabe 4.12 behandelt wurde, hat somit die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie das System  $\rm (A)$  und zu den Detektionszeitpunkten auch das gleiche Phasendiagramm.  Die Übergänge zwischen den einzelnen Punkten sind jedoch unterschiedlich.
  • Auch die dritte Aussage ist zutreffend.  Man erkennt bereits aus dem Phasendiagramm von System  $\rm (B)$  Fehlentscheidungen und zwar immer dann, wenn Punkte farblich nicht zu den Quadranten passen.


Die Fehlerwahrscheinlichkeiten von System  $\rm (B)$  und System  $\rm (C)$  werden im Buch „Digitalsignalübertragung” hergeleitet. Die Ergebnisse einer Systemsimulation bestätigen die obigen Aussagen:

  • System  $\rm (A)$:     $p_{\rm B} ≈ 3.3 · 10^{–5}$ (siehe Teilaufgabe 1),
  • System  $\rm (B)$:     $p_{\rm B} ≈ 3.5 · 10^{–2}$,
  • System  $\rm (C)$:     $p_{\rm B} ≈ 2.4 · 10^{–4}$.