Aufgabe 4.2Z: Zum Abtasttheorem

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Harmonische Schwingungen unterschiedlicher Phase

Das  Abtasttheorem  besagt, dass die Abtastfrequenz  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$  mindestens doppelt so groß sein muss wie die größte im Quellensignal  $q(t)$  enthaltene Frequenz  $f_\text {N, max}$:

$$f_{\rm A} \ge 2 \cdot f_{\rm N,\hspace{0.05cm}max}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} T_{\rm A} \le \frac{1}{2 \cdot f_{\rm N, \hspace{0.05cm}max}}\hspace{0.05cm}.$$

Wird diese Bedingung erfüllt, so kann beim Empfänger das Nachrichtensignal durch einen rechteckförmigen (idealen) Tiefpass mit dem Frequenzgang

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_{\rm G},} \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| = f_{\rm G},} \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| > f_{\rm G}} \\ \end{array}$$

vollständig rekonstruiert werden, das heißt, es gilt dann  $v(t) = q(t)$.

  • Die Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  ist dabei gleich der halben Abtastfrequenz zu wählen.
  • Das Gleichheitszeichen gilt allgemein nur dann, wenn das Spektrum  $Q(f)$  keine diskrete Spektrallinie bei der Frequenz  $f_\text {N, max}$  beinhaltet.


In dieser Aufgabe werden drei verschiedene Quellensignale betrachtet, die sich jeweils als harmonische Schwingung

$$q(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t - \varphi)$$

mit der Amplitude  $A = 1\ \rm V$  und der Frequenz  $f_{\rm N}= 5 \ \rm kHz$  darstellen lassen.  Für die Spektralfunktion  $Q(f)$  aller dargestellten Zeitsignale gilt allgemein:

$$Q(f) = \frac{A}{2} \cdot \delta (f- f_{\rm N}) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\varphi}+ \frac{A}{2} \cdot \delta (f+ f_{\rm N}) \cdot {\rm e}^{+{\rm j}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\varphi}\hspace{0.05cm}.$$

Die in der Grafik skizzierten Schwingungen unterscheiden sich allein durch die Phase  $φ$:

  • $φ_1 = 0$   ⇒   Cosinussignal $q_1(t)$,
  • $φ_2 = π/2 \ (= 90^\circ)$   ⇒   Sinussignal $q_2(t)$,
  • $φ_3 = π/4 \ (= 45^\circ)$   ⇒   Signal $q_3(t)$.





Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Pulscodemodulation.
  • Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Abtastung und Signalrekonstruktion.
  • Das abgetastete Quellensignal wird mit  $q_{\rm A}(t)$  bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit  $Q_{\rm A}(f)$. 
  • Die Abtastung erfolgt stets bei  $ν · T_{\rm A}$.


Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten mit  $f_{\rm A} = 11\ \rm kHz$?

Das Abtasttheorem wird stets erfüllt.
Alle Signale können durch einen Tiefpass rekonstruiert werden.
Es gilt stets  $Q_{\rm A}(f = 5 \ {\rm kHz}) = Q(f = 5 \ \rm kHz)$.

2

Welcher Abtastabstand ergibt sich mit  $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$?

$T_{\rm A} \ = \ $

$\ \rm ms$

3

Welche Aussagen gelten für das Signal  $q_1(t)$  und  $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$?

Es gilt  $Q_{\rm A}(f = 5 \ {\rm kHz)} = Q_1(f = 5 \ \rm kHz)$.
Eine vollständige Signalrekonstruktion ist möglich   ⇒   $v_1(t) = q_1(t)$.
Das rekonstruierte Signal ist  $v_1(t) \equiv 0$.

4

Welche Aussagen gelten für das Signal  $q_2(t)$  und  $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$?

Es gilt  $Q_{\rm A}(f = 5 \ {\rm kHz)} = Q_2(f = 5 \ \rm kHz)$.
Eine vollständige Signalrekonstruktion ist möglich   ⇒   $v_2(t) = q_2(t)$.
Das rekonstruierte Signal ist  $v_2(t) \equiv 0$.

5

Welche Aussagen gelten für das Signal  $q_3(t)$ und $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$?

Es gilt  $Q_{\rm A}(f = 5 \ {\rm kHz)} = Q_3(f = 5 \ \rm kHz)$.
Eine vollständige Signalrekonstruktion ist möglich   ⇒   $v_3(t) = q_3(t)$.
Das rekonstruierte Signal ist  $v_3(t) \equiv 0$.


Musterlösung

(1)  Alle Aussagen sind zutreffend:

Spektralfunktion des abgetasteten Signals
  • Das Abtasttheorem wird mit  $f_{\rm A} = 11 \ \rm kHz > 2 · 5 \ \rm kHz$  erfüllt, so dass eine vollständige Signalrekonstruktion immer möglich ist.
  • Das Spektrum  $Q_{\rm A}(f)$  ergibt sich aus  $Q(f)$  durch periodische Fortsetzung im jeweiligen Frequenzabstand  $f_{\rm A}$, was in der Grafik für die Spektralfunktion  $Q_3(f)$  allgemein verdeutlicht wird.
  • Durch einen Rechteck–Tiefpass mit  $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 5.5 \ \rm kHz$  erhält man das ursprüngliche Spektrum  $Q(f)$.


Die Verschiebung um

  • $f_{\rm A} = 11 \ \rm kHz$  liefert die Linien bei  $+6 \ \rm kHz$ und $+16 \ \rm kHz$,
  • $-f_{\rm A} = -11 \ \rm kHz$  liefert die Linien bei  $-6 \ \rm kHz$ und $-16 \ \rm kHz$,
  • $2 · f_{\rm A} = 22 \ \rm kHz$  liefert die Linien bei  $+17 \ \rm kHz$ und $+27 \ \rm kHz$,
  • $-2 · f_{\rm A}= -22 \ \rm kHz$  liefert die Linien bei  $-17 \ \rm kHz$, $-27 \ \rm kHz$.


(2)  Der Abtastabstand ist gleich dem Kehrwert der Abtastfrequenz:

$$ T_{\rm A} = {1}/{f_{\rm A} }\hspace{0.15cm}\underline { = 0.1\,{\rm ms}} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Beim cosinusförmigen Signal ergibt sich entsprechend der nächsten Grafik mit  $f_{\rm A} = 10 \ \rm kHz$  das Spektrum  $Q_{\rm A}(f)$:    Alle Spektrallinien sind reell.
  • Die Periodifizierung von  $Q(f)$  mit  $f_{\rm A} = 10 \ \rm kHz$  führt zu einem Diracpuls mit Spektrallinien bei  $±f_{\rm N}$,  $±f_{\rm N}± f_{\rm A}$,  $±f_{\rm N}± 2f_{\rm A}$, ...
  • Durch die Überlagerungen haben alle Diracfunktionen das Gewicht  $A$, während die beiden Spektrallinien von  $Q(f)$  nur jeweils mit  $A/2$  gewichtet sind.
  • Wegen  $H(f = f_{\rm N}) = H(f = f_{\rm G}) = 0.5$  ist das Spektrum  $V_1(f)$  nach dem Tiefpass identisch mit  $Q_1(f)$  und dementsprechend gilt auch  $v_1(t) = q_1(t)$.
  • Im Zeitbereich kann man sich die Signalrekonstruktion wie folgt vorstellen:   Die Abtastwerte von  $q_1(t)$  liegen genau bei den Signalmaxima und –minima.  
  • Der Tiefpass formt daraus das Cosinussignal mit richtiger Amplitude, Frequenz und Phase.


Spektralfunktion des abgetasteten Cosinussignals


Abgetastetes Sinussignal

(4)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Alle Abtastwerte von  $q_2(t)$  liegen nun genau bei den Nulldurchgängen des Sinussignals, das heißt, dass hier  $q_{\rm A}(t) \equiv 0$  gilt.  Damit ergibt sich aber natürlich auch  $v_2(t) \equiv 0$.
  • Im Spektralbereich kann man das Ergebnis mit Hilfe der Grafik zur Teilaufgabe  (1)  herleiten.   $Q(f)$  ist rein imaginär und die Imaginärteile bei  $±f_{\rm N}$  haben unterschiedliche Vorzeichen.  
  • Somit heben sich bei der Periodifizierung jeweils ein positiver und ein negativer Anteil auf   ⇒   $Q_{\rm A}(f) \equiv 0$   ⇒   $V_2(f) \equiv 0$.


Abgetastete harmonische Schwingung mit Phase  $φ_3 = π/4$

(5)  Keiner der vorgegebenen Lösungsvorschlägen ist richtig:

  • Ersetzt man in der Grafik zur Teilaufgabe  (1)  die Abtastfrequenz  $f_{\rm A} = 11 \ \rm kHz$  durch  $f_{\rm A} = 10 \ \rm kHz$, so addieren sich zwar die Realteile, aber die Imaginärteile löschen sich aus.
  • Das heißt, dass nun  $Q_{\rm A}(f)$  und  $V_3(f)$  reelle Spektren sind.  Das heißt weiter:  
  • Die Phaseninformation geht verloren  $(φ = 0)$  und das Ausgangssignal  $v_3(t)$  ist ein Cosinussignal.
  • Die Signale  $q_3(t)$  und  $v_3(t)$  unterscheiden sich somit sowohl in der Amplitude als auch in der Phase. Lediglich die Frequenz bleibt erhalten.


Die Grafik zeigt

  • türkisfarben das Signal  $q_3(t)$  und dessen Abtastwerte (Kreise) sowie
  • rot gestrichelt das Ausgangssignal  $v_3(t)$  des Tiefpasses.


Man erkennt, dass der Tiefpass genau das Ergebnis liefert, für das wahrscheinlich auch Sie sich entscheiden würden, wenn Sie durch die Abtastwerte (Kreise) einen Kurvenzug einzeichnen sollten.