Aufgabe 4.4: Gaußsche 2D-WDF

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Tabelle: Gaußsche Fehlerfunktionen

Wir betrachten zweidimensionale Zufallsgrößen, wobei beide Komponenten stets als mittelwertfrei vorausgesetzt werden.

  • Die 2D-WDF der Zufallsgröße  $(u, v)$  lautet:
$$f_{uv}(u, v)={1}/{\pi} \cdot {\rm e}^{-(2u^{\rm 2} \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}v^{\rm 2}\hspace{-0.05cm}/\rm 2)}.$$
  • Von der ebenfalls Gaußschen 2D-Zufallsgröße  $(x, y)$  sind die folgenden Parameter bekannt:
$$\sigma_x= 0.5, \hspace{0.5cm}\sigma_y = 1,\hspace{0.5cm}\rho_{xy} = 1. $$

Die Werte des Gaußschen Fehlerintegrals  ${\rm \phi}(x)$  sowie der Komplementärfunktion  ${\rm Q}(x) = 1- {\rm \phi}(x)$  können Sie der nebenstehenden Tabelle entnehmen.





Hinweise:

Teil 1:   Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,
Teil 2:   Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen.



Fragebogen

1

Welche der Aussagen gelten hinsichtlich der 2D-Zufallsgröße  $(u, v)$ ?

Die Zufallsgrößen  $u$  und  $v$  sind unkorreliert.
Die Zufallsgrößen  $u$  und  $v$  sind statistisch unabhängig.

2

Berechnen Sie die beiden Streuungen  $\sigma_u$  und  $\sigma_v$.  Geben Sie zur Kontrolle den Quotienten der beiden Streuungen ein.

$\sigma_u/\sigma_v \ = \ $

3

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass  $u$  kleiner als  $1$  ist.

${\rm Pr}(u < 1)\ = \ $

4

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $u$  kleiner als  $1$  und gleichzeitig die Zufallsgröße  $v$  größer als  $1$  ist.

${\rm Pr}\big[(u < 1) ∩ (υ > 1)\big]\ = \ $

5

Welche der Aussagen sind für die 2D–Zufallsgröße  $(x, y)$  zutreffend?

Die 2D-WDF $f_{xy}(x, y)$  ist außerhalb der Geraden  $y = 2x$  stets Null.
Für alle Wertepaare auf der Geraden  $y = 2x$  gilt $f_{xy}(x, y)= 0.5$.
Bezüglich der Rand-WDF gilt $f_{x}(x) = f_{u}(u)$  sowie $f_{y}(y) = f_{v}(v)$.

6

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  kleiner als  $1$  ist.

${\rm Pr}(x < 1)\ = \ $

7

Berechnen Sie nun die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $x$  kleiner als  $1$  und gleichzeitig die Zufallsgröße  $y$  größer als  $1$  ist.

${\rm Pr}\big[(x < 1) ∩ (y > 1)\big]\ = \ $


Musterlösung

(1)  Beide Aussagen treffen zu:

  • Vergleicht man die gegebene 2D-WDF mit der allgemeingültigen 2D-WDF
$$f_{uv}(u,v) = \frac{\rm 1}{{\rm 2}\it\pi \cdot \sigma_u \cdot \sigma_v \cdot \sqrt{{\rm 1}-\it \rho_{\it uv}^{\rm 2}}} \cdot \rm exp\left[\frac{\rm 1}{2\cdot (\rm 1-\it \rho_{uv}^{\rm 2}{\rm )}}(\frac{\it u^{\rm 2}}{\it\sigma_u^{\rm 2}} + \frac{\it v^{\rm 2}}{\it\sigma_v^{\rm 2}} - \rm 2\it\rho_{uv}\frac{\it u\cdot \it v}{\sigma_u\cdot \sigma_v}\rm )\right],$$
so erkennt man, dass im Exponenten kein Term mit  $u \cdot v$  auftritt, was nur bei  $\rho_{uv} = 0$  möglich ist.
  • Dies bedeutet aber, dass  $u$  und  $v$  unkorreliert sind.
  • Bei Gaußschen Zufallsgrößen folgt aus der Unkorreliertheit aber auch stets die statistische Unabhängigkeit.


(2)  Bei statistischer Unabhängigkeit gilt:

$$f_{uv}(u, v) = f_u(u)\cdot f_v(v), \hspace{0.5cm} f_u(u)=\frac{{\rm e}^{-{\it u^{\rm 2}}/{(2\sigma_u^{\rm 2})}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot\sigma_u} , \hspace{0.5cm} \it f_v{\rm (}v{\rm )}=\frac{{\rm e}^{-{\it v^{\rm 2}}/{{\rm (}{\rm 2}\sigma_v^{\rm 2}{\rm )}}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot\sigma_v}.$$
  • Durch Koeffizientenvergleich erhält man  $\sigma_u = 0.5$  und  $\sigma_v = 1$.
  • Der Quotient ist somit  $\sigma_u/\sigma_v\hspace{0.15cm}\underline{=0.5}$.


Wahrscheinlichkeit:   $\rm Pr\big[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)\big]$

(3)  Da  $u$  eine kontinuierliche Zufallsgröße ist, gilt:

$$\rm Pr(\it u < \rm 1) = \rm Pr(\it u \le \rm 1) =\it F_u\rm (1). $$
  • Mit dem Mittelwert  $m_u = 0$  und der Streuung  $\sigma_u = 0.5$  erhält man:
$$\rm Pr(\it u < \rm 1) = \rm \phi({\rm 1}/{\it\sigma_u})= \rm \phi(\rm 2) \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.9772}. $$


(4)  Aufgrund der statistischen Unabhängigkeit zwischen  $u$  und  $v$  gilt:

$$\rm Pr\big[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)\big] = \rm Pr(\it u < \rm 1)\cdot \rm Pr(\it v > \rm 1).$$
  • Die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(u < 1) =0.9772$  wurde bereits berechnet.
  • Für die zweite Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(v > 1)$  gilt aus Symmetriegründen:
$$\rm Pr(\it v > \rm 1) = \rm Pr(\it v \le \rm (-1) = \it F_v\rm (-1) = \rm \phi(\frac{\rm -1}{\it\sigma_v}) = \rm Q(1) =0.1587$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rm Pr\big[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)\big] = \rm 0.9772\cdot \rm 0.1587 \hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 0.1551}.$$

Die Skizze verdeutlicht die vorgegebene Konstellation:

  • Die Höhenlinien der WDF (blau) sind wegen  $\sigma_v > \sigma_u$  in vertikaler Richtung gestreckte Ellipsen.
  • Rot schraffiert eingezeichnet ist das Gebiet, dessen Wahrscheinlichkeit in dieser Teilaufgabe berechnet werden sollte.


2D-Diracwand auf der Korrelationsgeraden

(5)  Richtig sind der erste und der dritte Lösungsvorschlag:

  • Wegen  $\rho_{xy} = 1$  besteht ein deterministischer Zusammenhang zwischen  $x$  und  $y$
⇒   Alle Werte liegen auf der Geraden  $y =K(x) \cdot x$.
  • Aufgrund der Streuungen  $\sigma_x = 0.5$  und  $\sigma_y = 1$  gilt  $K = 2$.
  • Auf dieser Geraden  $y = 2x$  sind alle WDF-Werte unendlich groß.
  • Das bedeutet:   Die 2D-WDF ist hier eine "Diracwand".
  • Wie aus der Skizze hervorgeht, sind die WDF–Werte auf der Geraden  $y = 2x$  gaußverteilt.
  • Die Gerade  $y = 2x$  stellt gleichzeitig die Korrelationsgerade dar.
  • Auch die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten sind Gaußfunktionen, jeweils mit Mittelwert Null.
  • Wegen  $\sigma_x = \sigma_u$  und  $\sigma_y = \sigma_v$  gilt auch:
$$f_x(x) = f_u(u), \hspace{0.5cm}f_y(y) = f_v(v).$$


Wahrscheinlichkeitsberechnung für die Diracwand

(6)  Da die WDF der Zufallsgröße  $x$  identisch mit der WDF  $f_u(u)$ ist, ergibt sich auch genau die gleiche Wahrscheinlichkeit wie in der Teilaufgabe  (3)  berechnet:

$$\rm Pr(\it x < \rm 1) \hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 0.9772}.$$


(7)  Das Zufallsereignis  $y > 1$  ist identisch mit dem Ereignis  $x > 0.5$. 

  • Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich
$$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0.5) \cap (\it x < \rm 1)\big] = \it F_x \rm( 1) - \it F_x\rm (0.5). $$
  • Mit der Streuung  $\sigma_x = 0.5$  folgt weiter:
$$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0.5) \cap (\it x < \rm 1)\big] = \rm \phi(\rm 2) - \phi(1)=\rm 0.9772- \rm 0.8413\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.1359}.$$