Aufgabe 4.4: Zum Quantisierungsrauschen

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Quantisierungsfehler bei sägezahnförmigem Eingang

Zur Berechnung der Quantisierungsrauschleistung  $P_{\rm Q}$  gehen wir von einem periodischen sägezahnförmigen Quellensignal  $q(t)$  mit dem Wertebereich  $±q_{\rm max}$  und der Periodendauer  $T_0$  aus.

  • Im mittleren Zeitbereich  $-T_0/2 ≤ t ≤ T_0/2$  gilt:   $q(t) = q_{\rm max} \cdot \left ( {2 \cdot t}/{T_0} \right ).$
  • Die Leistung des Signals  $q(t)$  bezeichnen wir hier als die Sendeleistung  $P_{\rm S}$.


Das Signal  $q(t)$  wird gemäß der Grafik mit  $M = 6$  Stufen quantisiert.  Das quantisierte Signal ist  $q_{\rm Q}(t)$, wobei gilt:

  • Der lineare Quantisierer ist für den Amplitudenbereich  $±Q_{\rm max}$  ausgelegt, so dass jedes Quantisierungsintervall die Breite  ${\it Δ} = 2/M · Q_{\rm max}$  aufweist.
  • Die Grafik zeigt diesen Sachverhalt für  $Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$.  Von diesen Zahlenwerten soll bis einschließlich der Teilaufgabe  (5)  ausgegangen werden.


Die so genannte  Quantisierungsrauschleistung  ist als der quadratische Mittelwert des Differenzsignals  $ε(t) = q_{\rm Q}(t) - q(t)$  definiert. Es gilt

$$P_{\rm Q} = \frac{1}{T_0' } \cdot \int_{0}^{T_0'}\varepsilon(t)^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm},$$

wobei die Zeit  $T_0'$  geeignet zu wählen ist.

Als Quantisierungs–SNR bezeichnet man das Verhältnis    $\rho_{\rm Q} = {P_{\rm S}}/{P_{\rm Q}}\hspace{0.05cm},$ das meist logarithmisch (in dB) angegeben wird.





Hinweise:



Fragebogen

1

Berechnen Sie die Signalleistung  $P_{\rm S}$  (auf den Widerstand $1 \ \rm Ω$  bezogen).

$P_{\rm S} \ = \ $

$\ \rm V^2$

2

Welche Aussagen treffen für das Fehlersignal  $ε(t)$  zu?

$ε(t)$  hat einen sägezahnförmigen Verlauf.
$ε(t)$  hat einen stufenförmigen Verlauf.
$ε(t)$  ist auf den Bereich  $±{\it Δ}/2 = ±1 \ \rm V$  beschränkt.
$ε(t)$  besitzt die Periodendauer  $T_0' = T_0/M$.

3

Wie groß ist die Quantisierungsrauschleistung  $P_{\rm Q}$  für  $M=6$?

$P_{\rm Q} \ = \ $

$\ \rm V^2$

4

Berechnen Sie den Quantisierungsrauschabstand für  $M = 6$.

$10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $

$\ \rm dB$

5

Welche Werte ergeben sich bei Quantisierung mit  $N = 8$  bzw.  $N = 16$ Bit?

$N = 8\text{:}\hspace{0.35cm}10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $

$\ \rm dB$
$N = 16\text{:}\hspace{0.15cm}10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $

$\ \rm dB$

6

Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit die abgeleitete Gleichung für  $ρ_{\rm Q}$  angewandt werden kann?

Alle Amplitudenwerte sind gleichwahrscheinlich.
Es liegt ein linearer Quantisierer vor.
Der Quantisierer ist genau an das Signal angepasst  $(Q_{\rm max} = q_{\rm max})$.


Musterlösung

(1)  Die Signalleistung  $P_{\rm S} $  ist gleich dem quadratischen Mittelwert von  $q(t)$, wenn der Bezugswiderstand  $1 \ \rm Ω$  verwendet und deshalb für die Leistung die Einheit  $\ \rm V^2$  in Kauf genommen wird.

  • Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung über den Zeitbereich  $T_0/2$:
$$P_{\rm S} = \frac{1}{T_0/2} \cdot \int_{0}^{T_0/2}q^2(t) \hspace{0.05cm}{\rm d}t = \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \int_{0}^{T_0/2}\left ( { 2 \cdot t}/{T_0} \right )^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t= \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \frac{T_0}{2} \cdot \int_{0}^{1}x^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}x = \frac{q_{\rm max}^2}{3} \hspace{0.05cm}.$$
  • Hierbei wurde die Substitution  $x = 2 · t/T_0$  verwendet.  Mit  $q_{\rm max} = 6 \ \rm V$  erhält man  $P_\rm S\hspace{0.15cm}\underline { = 12 \ V^2}$.


Fehlersignal für  $Q_{\rm max} = q_{\rm max}$

(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

  • Wir gehen hier von  $Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$  aus.
  • Damit ergibt sich das sägezahnförmige Fehlersignal  $ε(t)$  zwischen  $±1\ \rm V$.
  • Die Periodendauer ist  $T_0' = T_0/6$.


(3)  Das Fehlersignal  $ε(t)$  verläuft ebenso wie  $q(t)$  sägezahnförmig.

  • Somit eignet sich zur Berechnung des quadratischen Mittelwertes dieselbe Gleichung wie in Teilaufgabe  (1).
  • Zu beachten ist allerdings die um den Faktor  $M$  kleinere Amplitude, während die unterschiedliche Periodendauer für die Mittelung keine Rolle spielt:
$$P_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{M^2} = \frac{12\,{\rm V}^2}{36}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.333\,{\rm V}^2 }\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Die Ergebnisse der Teilaufgaben  (1)  und  (3)  führen zum Quantisierungs–SNR:

$$\rho_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm Q}} = M^2 = 36 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q}\hspace{0.15cm}\underline { =15.56\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Mit  $M = 2^N$  erhält man allgemein:

$$ \rho_{\rm Q} = M^2 = 2^{2N} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} =20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(2)\cdot N \approx 6.02\,{\rm dB} \cdot N .$$
  • Daraus ergeben sich die gesuchten Sonderfälle:
$$N = 8:\hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} \hspace{0.15cm}\underline {= 48.16\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm},$$
$$N = 16:\hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} \hspace{0.15cm}\underline { = 96.32\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$


(6)  Alle genannten Voraussetzungen müssen erfüllt sein:

  • Bei nichtlinearer Quantisierung gilt der einfache Zusammenhang  $ρ_{\rm Q} = M^2$  nicht.
  • Bei einer anderen Amplitudenverteilung als der Gleichverteilung ist  $ρ_{\rm Q} = M^2$  ebenfalls nur eine Näherung, die jedoch meist in Kauf genommen wird.
  • Ist  $Q_{\rm max} < q_{\rm max}$, so kommt es zu einem Abschneiden der Spitzen, während mit  $Q_{\rm max} > q_{\rm max}$  die Quantisierungsintervalle größer sind als erforderlich.


Quantisierung mit  $Q_{\rm max} \ne q_{\rm max}$





Die Grafik zeigt die Fehlersignale  $ε(t)$  für  $Q_{\rm max} > q_{\rm max}$  (links) und  $Q_{\rm max} < q_{\rm max}$  (rechts).


In beiden Fällen ergibt sich eine deutlich größere Quantisierungsrauschleistung als unter Punkt  (3)  berechnet.