Aufgabe 4.6Z: Grundlagen der Produktcodes

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Generatormatrizen der Komponentencodes

Wir betrachten hier einen Produktcode entsprechend der Beschreibung auf der Seite  Grundstruktur eines Produktcodes. Die beiden Komponentencodes  $\mathcal{C}_1$  und  $\mathcal{C}_2$  sind durch die rechts angegebenen Generatormatrizen  $\mathbf{G}_1$  und  $\mathbf{G}_2$  festgelegt.





Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix  $\mathbf{G}_1$  über den Code  $\mathcal{C}_1$?

Die Coderate von  $\mathcal{C}_1$  ist  $R_1 = 4/7$.
Der Code  $\mathcal{C}_1$  ist systematisch.
$\mathcal{C}_1$  ist ein verkürzter Hamming–Code.
Die minimale Distanz dieses Codes ist  $d_1 = 3$.

2

Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix  $\mathbf{G}_2$  über den Code  $\mathcal{C}_2$?

Die Coderate von  $\mathcal{C}_2$  ist  $R_2 = 4/7$.
Der Code  $\mathcal{C}_2$  ist systematisch.
$\mathcal{C}_2$  ist ein verkürzter Hamming–Code.
Die minimale Distanz dieses Codes ist  $d_2 = 3$.

3

Geben Sie die Parameter des Produktcodes  $\mathcal{C} = \mathcal{C}_1 × \mathcal{C}_2$  an.

$k \hspace{0.25cm} = \ $

$n \hspace{0.25cm} = \ $

$d \hspace{0.25cm} = \ $

$R \hspace{0.15cm} = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4:

  • Die Anzahl der Zeilen der Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ gibt die Länge des Informationsblocks an   ⇒   $k = 4$.
  • Die Codewortlänge ist gleich der Anzahl der Spalten   ⇒   $n=4$   ⇒   Coderate $R = k/n = 4/7$.
  • Der Code ist systematisch, da die Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ mit einer $4 × 4$–Diagonalmatrix beginnt.
  • Es handelt sich um einen "normalen" Hammingcode.
  • Für diesen gilt mit der Codewortlänge $n$ und der Anzahl der Prüfbits   ⇒   $m = n - k$ der Zusammenhang $n = 2^m - 1$.
  • Im vorliegenden Fall handelt es sich um den (normalen) Hammingcode $\rm (7, \ 4, \ 3)$.
  • Der letzte Parameter in dieser Codebezeichnung gibt die minimale Distanz an   ⇒   $d_{\rm min} = 3$.


(2)  Richtig sind die Aussagen 2, 3 und 4:

  • Es handelt sich um einen verkürzten Hammingcode mit dem Parameter $n = 6, \ k = 3$ und $d_{\rm min} = 3$, ebenfalls in systematischer Form.
  • Die Coderate beträgt $R = 1/2$.


(3)  Die Grundstruktur des Produktcodes ist auf der Seite Grundstruktur eines Produktcodes dargestellt.

  • Man erkennt den Informationsblock mit $k = k_1 \cdot k_2 = 4 \cdot 3 \ \underline{= 12}$,
  • Die Codewortlänge ist die Gesamtzahl aller Bit: $n = n_1 \cdot n_2 = 7 \cdot 6 \ \underline{= 42}$.
  • Die Coderate ergibt sich somit zu $R = k/n = 12/42 = 2/7$.
  • Oder:   $R = R_1 \cdot R_2 = 4/7 \cdot 1/2 \ \underline{= 2/7} \approx 0.289$.
  • Die freie Distanz beträgt $d = d_1 \cdot d_2 = 3 \cdot 3 \ \underline{= 9}$.