Aufgabe 4.8: Rautenförmige 2D-WDF

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Rautenförmige 2D-WDF

Wir betrachten eine 2D–Zufallsgröße  $(x, y)$, deren Komponenten sich jeweils als Linearkombinationen zweier Zufallsgrößen  $u$  und  $v$  ergeben:

$$x=2u-2v+1,$$
$$y=u+3v.$$

Weiter ist zu beachten:

  • Die zwei statistisch unabhängigen Zufallsgrößen  $u$  und  $v$  sind jeweils gleichverteilt zwischen  $0$  und  $1$.
  • In der Abbildung sehen Sie die 2D–WDF.  Innerhalb des blau eingezeichneten Parallelogramms gilt:
$$f_{xy}(x, y) = H = {\rm const.}$$
  • Außerhalb des Parallelogramms sind keine Werte möglich:   $f_{xy}(x, y) = 0$.




Hinweise:



Fragebogen

1

Wie groß ist die Höhe  $H$  der 2D–WDF innerhalb des Parallelogramms?

$H \ = \ $

2

Welche Werte von  $u$  und  $v$  liegen dem Eckpunkt  $(-1, 3)$  zugrunde?

$u \ = \ $

$v \ = \ $

3

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten  $\rho_{xy}$.

$\rho_{xy}\ = \ $

4

Wie lautet die Korrelationsgerade  $y=K(x)$?  Bei welchem Punkt  $y_0$  schneidet diese die  $y$-Achse?

$y_0\ = \ $

5

Berechnen Sie die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_x(x)$.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $x$  negativ ist?

${\rm Pr}(x < 0)\ = \ $

6

Berechnen Sie die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_y(y)$.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $y >3$  ist?

${\rm Pr}(y > 3)\ = \ $


Musterlösung

(1)  Die Fläche des Parallelogramms kann aus zwei gleich großen Dreiecken zusammengesetzt werden.

  • Die Fläche des Dreiecks  $(1,0)\ (1,4)\ (-1,3)$  ergibt  $0.5 · 4 · 2 = 4$.
  • Die Gesamtfläche ist doppelt so groß:   $F = 8$.
  • Da das WDF–Volumen stets  $1$  ist, gilt  $H= 1/F\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.125}$.


(2)  Der minimale Wert von  $x$  ergibt sich für  $\underline{ u=0}$  und  $\underline{ v=1}$.

  • Daraus folgen aus obigen Gleichungen die Ergebnisse  $x= -1$  und  $y= +3$.


(3)  Die im Theorieteil angegebene Gleichung gilt allgemein, also für jede beliebige WDF der beiden statistisch unabhängigen Größen  $u$  und  $v$,

  • so lange diese gleiche Streuungen aufweisen  $(\sigma_u = \sigma_v)$.
  • Mit  $A = 2$,  $B = -2$,  $D = 1$  und  $E = 3$  erhält man:
$$\rho_{xy } = \frac {\it A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(\it A^{\rm 2}+\it B^{\rm 2})(\it D^{\rm 2}+\it E^{\rm 2})}} =\frac {2 \cdot 1 -2 \cdot 3}{\sqrt{(4 +4)(1+9)}} = \frac {-4}{\sqrt{80}} = \frac {-1}{\sqrt{5}}\hspace{0.15cm}\underline{ = -0.447}. $$


(4)  Die Korrelationsgerade lautet allgemein:

$$y=K(x)=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot\rho_{xy}\cdot(x-m_x)+m_y.$$
  • Aus den linearen Mittelwerten  $m_u = m_v = 0.5$  und den in der Aufgabenstellung angegebenen Gleichungen erhält man  $m_x = 1$  und  $m_y = 2$.
  • Die Varianzen von  $u$  und  $v$  betragen jeweils  $\sigma_u^2 = \sigma_v^2 =1/12$.  Daraus folgt:
$$\sigma_x^2 = 4 \cdot \sigma_u^2 + 4 \cdot \sigma_v^2 = 2/3,$$
$$\sigma_y^2 = \sigma_u^2 + 9\cdot \sigma_v^2 = 5/6.$$
  • Setzt man diese Werte in die Gleichung der Korrelationsgeraden ein, so ergibt sich:
$$y=K(x)=\frac{\sqrt{5/6}}{\sqrt{2/3}}\cdot (\frac{-1}{\sqrt{5}})\cdot(x-1)+2= - x/{2} + 2.5.$$
  • Daraus folgt der Wert  $y_0=K(x=0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 2.5}$


(5)  Mit den Hilfsgrößen   $q= 2u$,   $r= -2v$   und   $s= x-1$  gilt der Zusammenhang:   $s= q+r$.

  • Da  $u$  und  $v$  jeweils zwischen  $0$  und  $1$  gleichverteilt sind, besitzt  $q$  eine Gleichverteilung im Bereich von  $0$  bis  $2$  und  $r$  ist gleichverteilt zwischen  $-2$  und  $0$.
  • Da zudem  $q$  und  $r$  nicht statistisch voneinander abhängen, gilt für die WDF der Summe:
Dreieckförmige WDF $f_x(x)$
$$f_s(s) = f_q(q) \star f_r(r).$$
  • Die Addition  $x = s+1$  führt zu einer Verschiebung der Dreieck–WDF um  $1$  nach rechts.
  • Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit  (im folgenden Bild grün hinterlegt)  gilt deshalb:   ${\rm Pr}(x < 0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.125}$.


Trapezförmige WDF $f_y(y)$

(6)  Analog zur Musterlösung für die Teilaufgabe  (5)  gilt mit  $t = 3v$:

$$f_y(y) = f_u(u) \star f_t(t).$$
  • Die Faltung zwischen zwei verschieden breiten Rechtecken ergibt ein Trapez.
  • Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man  ${\rm Pr}(y>3) =1/6\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.167}$.
  • Diese Wahrscheinlichkeit ist in der rechten Skizze grün hinterlegt.