Aufgabe 4.8Z: Was sagt die AWGN-Kanalkapazitätskurve aus?

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AWGN–Kanalkapazität als Funktion von  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$

Wir betrachten wie in  Aufgabe 4.8  die Kanalkapazität des AWGN–Kanals:

$$C_{\rm Gauß}( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) . $$
  • Die Kurve ist rechts bei logarithmischer Abszisse zwischen  $-2 \ \rm dB$ und $+6 \ \rm dB$  dargestellt.
  • Der Zusatz "Gauß" weist darauf hin, dass für diese Kurve am AWGN–Eingang eine Gaußverteilung vorausgesetzt wurde.


Eingezeichnet sind in obiger Grafik durch Punkte drei Systemvarianten:

  • System $X$:    mit  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 4 \ \rm dB$  und  $R = 1$,
  • System $Y$:    mit  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0 \ \rm dB$  und  $R = 2$,
  • System $Z$:    mit  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 6 \ \rm dB$  und  $R = 1.5$.


In den Fragen zu dieser Aufgabe verwenden wir noch folgende Begriffe:

  • Digitalsystem:   Symbolumfang  $M_X = |X|$  beliebig,
  • Binärsystem:   Symbolumfang  $M_X = 2$,
  • Quaternärsystem:   Symbolumfang  $M_X = 4$.





Hinweise:


Fragebogen

1

Welche Aussage liefert der Punkt  $X$  für die Digitalsignalübertragung?

Für  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 4 \ \rm dB$  ist ein Digitalsystem mit der Rate  $R = 1$  und der Fehlerwahrscheinlichkeit Null vorstellbar.
Ein solches System kommt ohne Kanalcodierung aus.
Ein solches System verwendet einen unendlich langen Code.
Auch ein Binärsystem kann die Voraussetzungen erfüllen.

2

Welche Aussage liefert der Punkt  $Y$  für die Digitalsignalübertragung?

Für  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0 \ \rm dB$  ist ein Digitalsystem mit der Rate  $R = 2$  und der Fehlerwahrscheinlichkeit Null vorstellbar.
Für  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0 \ \rm dB$  wäre  $R = 0.5$  ausreichend.
Für die Rate  $R = 2$  würde  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 5 \ \rm dB$  genügen.

3

Welche Aussage liefert der Punkt  $Z$  für die Binärübertragung?

Ein Binärsystem erfüllt die Anforderungen auf keinen Fall.
Die Kurve  $C_\text{Gauß}(E_{\rm B}/{N_0})$  reicht für diese Bewertung nicht aus.

4

Welche Aussage liefert der Punkt  $Z$  für die Quaternärübertragung?

Ein Quaternärsystem erfüllt die Anforderungen auf keinen Fall.
Die Kurve  $C_\text{Gauß}(E_{\rm B}/{N_0})$  reicht für diese Bewertung nicht aus.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Da der Punkt  $X$  rechts von der Kanalkapazitätskurve  $C_\text{Gauß}(E_{\rm B}/{N_0})$  liegt, gibt es (mindestens) ein Nachrichtensystem der Rate  $R = 1$, das mit  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 4 \ \rm dB$  eine quasi–fehlerfreie Übertragung ermöglicht.
  • Trotz der Coderate  $R = 1$  beinhaltet dieses System eine Kanalcodierung mit einem unendlich langen Code, der aber leider unbekannt ist.
  • Ein Binärsystem der Rate  $R = 1$  erlaubt allerdings keine Kanalcodierung.



(2)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 2. Hier gelten folgende Aussagen:

  • Das erforderliche  $E_{\rm B}/{N_0}$  für die Rate  $R = 2$  ergibt sich zu
$$(E_{\rm B}/{N_0})_{\rm min} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 \cdot R} = \frac{2^4 - 1} { 4 } = 3.75 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0})_{\rm min} = 15.74\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}. $$
  • Die maximale Coderate  $R_{\rm max}$  für  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0 \ \rm dB$    ⇒   $E_{\rm B}/{N_0} = 1$  berechnet sich wie folgt:
$$C = R = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2^{2R} - 1 \stackrel{!}{=} 2 R \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} R_{\rm max} = 0.5 \hspace{0.05cm}. $$
  • Beide Berechnungen zeigen, dass der Punkt  $Y$  mit den Kenngrößen  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0 \ \rm dB$  und  $R = 1$  das Kanalcodierungstheorem nicht erfüllt.



(3)  Mit einem Binärsystem ist die Rate  $R = 1.5$  niemals realisierbar  ⇒   Lösungsvorschlag 1.



(4)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Der Punkt  $Z$  liegt rechts von der Grenzkurve und für die Coderate eines Quaternärsystems gilt  $R \le 2$. 
  • Die Rate  $R =1.5$  wäre also mit  $M_X = 4$  durchaus zu realisieren.
  • Der Lösungsvorschlag 1 ist falsch. Richtig ist dagegen der zweite Lösungsvorschlag:
  • Die vorgegebene Kurve  $C_\text{Gauß}(E_{\rm B}/{N_0})$  geht stets von einem gaußverteilten Eingang aus.
  • Für ein Binärsystem ergibt sich eine andere Grenzkurve, nämlich  $C_\text{BPSK} ≤ 1 \ \rm bit/Kanalzugriff$. $C_\text{Gauß}$  und  $C_\text{BPSK}$  unterscheiden sich signifikant.
  • Für das Quaternärsystem  $(M_X = 4)$  müsste man die Kurve  $C_{M=4}$  berechnen und analysieren.  Auch hier gilt  $C_{M=4} ≤ C_\text{Gauß}$ .
  • Für kleines  $E_{\rm B}/{N_0}$  gilt  $C_{M=4} \approx C_\text{Gauß}$, danach weicht der Kurvenverlauf deutlich ab und endet in einer Horizontalen bei  $C_{M=4} = 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$.


Der Punkt  $Z$    ⇒   $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 6 \ \rm dB, \ \ R = 1.5$  liegt unterhalb von  $C_{M=4}$.

  • Ein solches Quaternärsystem wäre also realisierbar, wie in der  Aufgabe 4.10  noch gezeigt wird.
  • Aber allein aus Kenntnis von  $C_\text{Gauß}$  kann die Frage nicht beantwortet werden (Lösungsvorschlag 2).