Aufgabe 4.9Z: Ist bei BPSK die Kanalkapazität C ≡ 1 möglich?

From LNTwww

Zwei unterschiedliche
Dichtefunktionen  $f_N(n)$

Wir gehen hier von einem binären bipolaren Quellensignal aus   ⇒   $ x \in X = \{+1, -1\}$.

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der Quelle lautet somit:

$$f_X(x) = {1}/{2} \cdot \delta (x-1) + {1}/{2} \cdot \delta (x+1)\hspace{0.05cm}. $$

Die Transinformation zwischen der Quelle  $X$  und der Sinke  $Y$  kann gemäß der Gleichung

$$I(X;Y) = h(Y) - h(N)$$

berechnet werden, wobei gilt:

  • $h(Y)$  bezeichnet die  differentielle Sinkenentropie
$$h(Y) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}(f_Y)} \hspace{-0.35cm} f_Y(y) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \big[ f_Y(y) \big] \hspace{0.1cm}{\rm d}y \hspace{0.05cm},$$
$${\rm mit}\hspace{0.5cm} f_Y(y) = {1}/{2} \cdot \big[ f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{X}=-1) + f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{X}=+1) \big ]\hspace{0.05cm}.$$
  • $h(N)$  gibt die  differentielle Störentropie  an, allein berechenbar aus der WDF  $f_N(n)$:
$$h(N) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}(f_N)} \hspace{-0.35cm} f_N(n) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \big[ f_N(n) \big] \hspace{0.1cm}{\rm d}n \hspace{0.05cm}.$$

Nimmt man für die Störung  $N$  eine Gaußverteilung  $f_N(n)$  entsprechend der oberen Skizze an, so ergibt sich die Kanalkapazität  $C_\text{BPSK} = I(X;Y)$, die  im Theorieteil  abhängig von  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  dargestellt ist.

Beantwortet werden soll die Frage, ob es einen endlichen  $E_{\rm B}/{N_0}$–Wert gibt, für den  $C_\text{BPSK}(E_{\rm B}/{N_0}) ≡ 1 \ \rm bit/Kanalzugriff $  möglich ist   ⇒   Teilaufgabe  (5).

In den Teilaufgaben  (1)  bis  (4)  werden Vorarbeiten zur Beantwortung dieser Frage geleistet. Dabei wird stets von der gleichverteilten Stör–WDF  $f_N(n)$  ausgegangen (siehe untere Skizze):

$$f_N(n) = \left\{ \begin{array}{c} 1/(2A) \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |\hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}| < A, \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |\hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}| > A. \\ \end{array} $$





Hinweise:



Fragebogen

1

Wie groß ist die differentielle Störentropie bei gleichverteilter Störung mit  $\underline{A = 1/8}$?

$h(N) \ = \ $

$\ \rm bit/Symbol$

2

Wie groß ist die differentielle Sinkenentropie bei gleichverteilter Störung mit  $\underline{A = 1/8}$?

$h(Y) \ = \ $

$\ \rm bit/Symbol$

3

Wie groß ist die Transinformation zwischen Quelle und Sinke?  Gehen Sie weiterhin von einer gleichverteilten Störung mit  $\underline{A = 1/8}$  aus.

$I(X;Y) \ = \ $

$\ \rm bit/Symbol$

4

Unter welchen Bedingungen ändert sich am Ergebnis der Teilaufgabe  (3)  nichts?

Für jedes  $A ≤ 1$  bei der vorgegebenen Gleichverteilung.
Für jede andere WDF  $f_N(n)$, die auf den Bereich  $|\hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}| < 1$  begrenzt ist.
Wenn sich  $f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{X}}(y\hspace{0.08cm}|\hspace{0.05cm}{X}=-1)$  und  $f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{X}}(y\hspace{0.08cm}|\hspace{0.05cm}{X}=+1)$  nicht überlappen.

5

Beantworten Sie nun die entscheidende Frage, unter der Voraussetzung,
dass eine Gaußsche Störung vorliegt und der Quotient  $E_{\rm B}/{N_0}$  endlich ist.

$C_\text{BPSK}(E_{\rm B}/{N_0}) ≡ 1 \ \rm bit/Kanalzugriff $  ist mit einer Gauß–WDF möglich.
Bei Gaußscher Störung mit endlichem  $E_{\rm B}/{N_0}$  gilt stets  $C_\text{BPSK}(E_{\rm B}/{N_0}) < 1 \ \rm bit/Kanalzugriff $.


Musterlösung

(1)  Die differentielle Entropie einer Gleichverteilung der absoluten Breite  $2A$  ist gleich

$$ h(N) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2A) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} A=1/8\hspace{-0.05cm}: \hspace{0.15cm}h(N) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (1/4) \hspace{0.15cm}\underline{= -2\,{\rm bit(/Symbol)}}\hspace{0.05cm}.$$


WDF der Ausgangsgröße  $Y$ 
bei gleichverteilter Störung  $N$

(2)  Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion am Ausgang ergibt sich gemäß der Gleichung:

$$f_Y(y) = {1}/{2} \cdot \big [ f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}-1) + f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}+1) \big ]\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt das Ergebnis für unser Beispiel  $(A = 1/8)$:

  • Rot gezeichnet ist der erste Term  ${1}/{2} \cdot f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}-1)$, wobei das Rechteck  $f_N(n)$  an die Stelle  $y = -1$  verschoben und mit  $1/2$  multipliziert wird.  Es ergibt sich ein Rechteck der Breite  $2A = 1/4$  und der Höhe  $1/(4A) = 2$.
  • Blau dargestellt ist der zweite Term  ${1}/{2} \cdot f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}+1)$  mit der Mitte bei  $y = +1$.
  • Lässt man die Farben außer Betracht, so ergibt sich die gesamte WDF  $f_Y(y)$.
  • Die differentiellen Entropie wird nicht verändert wird, wenn man nicht überlappende WDF–Abschnitte verschiebt. 
  • Somit ergibt sich für die gesuchte differentielle Sinkenentropie:
$$h(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (4A) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} A=1/8\hspace{-0.05cm}: \hspace{0.15cm}h(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (1/2) \hspace{0.15cm}\underline{= -1\,{\rm bit(/Symbol)}}\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Damit erhält man für die Transinformation zwischen Quelle und Sinke:

$$I(X; Y) = h(Y) \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} h(N) = (-1\,{\rm bit/Symbol})\hspace{-0.05cm} -\hspace{-0.05cm}(-2\,{\rm bit/Symbol}) \hspace{0.15cm}\underline{= +1\,{\rm bit/Symbol}}\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Alle Lösungsvorschläge sind zutreffend:

  • Für jedes  $A ≤ 1$  gilt
$$ h(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (4A) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2A) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} h(N) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2A)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X; Y) = h(Y) \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}h(N) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2) \hspace{0.15cm}\underline{= +1\,{\rm bit/Symbol}}\hspace{0.05cm}.$$
  • An diesem Prinzip ändert sich auch bei anderer WDF  $f_N(n)$  nichts, solange die Störung auf den Bereich  $|\hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}| ≤ 1$  begrenzt ist.
  • Überlappen sich jedoch die beiden bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen, so ergibt sich für  $h(Y)$  ein kleinerer Wert als oben berechnet und damit auch eine kleinere Transinformation.



WDF der Ausgangsgröße  $Y$ 
bei gaußverteilter Störung  $N$

(5)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Die Gaußfunktion klingt zwar sehr schnell ab, sie wird aber nie exakt gleich Null.
  • Es kommt hier immer zu einer Überlappung der bedingten Dichtefunktionen  $f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{X}}(y\hspace{0.08cm}|\hspace{0.05cm}-1)$  und  $f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{X}}(y\hspace{0.08cm}|\hspace{0.05cm}+1)$.
  • Entsprechend der Teilaufgabe  (4)  ist deshalb  $C_\text{BPSK}(E_{\rm B}/{N_0}) ≡ 1 \ \rm bit/Kanalzugriff $  nicht möglich.