Aufgabe 5.3: Digitales Filter 1. Ordnung

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Digitales Filter erster Ordnung

Wir betrachten die nebenstehende Filteranordnung mit den Koeffizienten  $a_0$,  $a_1$  und  $b_1$, die jeweils Werte zwischen  $0$  und  $1$  annehmen können.

  • Das Eingangssignal  $x(t)$  sei ein einziger Diracimpuls mit dem Einheitsgewicht "1"   ⇒   $x(t) = \delta(t)$, was der folgenden zeitdiskreten Darstellung entspricht:
$$\left\langle {\hspace{0.05cm}x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} \hspace{0.05cm}\right\rangle .$$
  • Aufgrund dieser speziellen Eingangsfolge beschreibt die Folge  $\left\langle {\hspace{0.05cm}y_\nu \hspace{0.05cm}} \right\rangle$  am Filterausgang gleichzeitig die zeitdiskrete Impulsantwort  $\left\langle {\hspace{0.05cm}h_\nu \hspace{0.05cm}} \right\rangle$  des Filters.  Der Abstand der Abtastwerte beträgt hierbei  $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm µ s$.




Hinweis:


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Der Sonderfall  $b_1 = 1$  führt zu einem nichtrekursiven Filter.
Mit  $a_0 = 1$,  $a_1 = 0$  und  $b_1 = 0$   gilt  $y(t) = x(t)$.
Mit  $a_0 = 0$,  $a_1 = 0.5$  und  $b_1 = 0$  ist  $y(t)$  gegenüber  $x(t)$  unverzerrt.

2

Es gelte nun  $a_0 = 1$,  $a_1 = 0$  und  $b_1 = 0.6$.  Berechnen Sie die Ausgangsfolge  $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$.  Welcher Ausgangswert  $y_3$  tritt zum Zeitpunkt  $t = 3 \cdot T_{\rm A}$  auf?

$y_3 \ = \ $

3

Es gelte  $a_0 = 1$,  $a_1 = 0$  und  $b_1 = 0.6$.  Auf welchen Bereich  $0$, ... , $M \cdot T_{\rm A}$  ist die Impulsantwort beschränkt, wenn man Werte kleiner als  $0.001$  vernachlässigt?

$M \ = \ $

4

Es gelte  $a_0 = 1$  und  $b_1 = 0.6$.  Berechnen Sie unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus  (2)  den Ausgangswert  $y_3$  für  $a_1 = -0.5$.

$y_3 \ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Das Filter ist nichtrekursiv, wenn die Rückführung entfällt:   $b_1 = 0$.
  • Sind zusätzlich  $a_0 = 1$  und  $a_1 = 0$, so sind die Folgen  $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$  und  $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$  und damit natürlich auch die Signale  $x(t)$  und  $y(t)$  gleich.
  • Mit  $a_0 = 0$  und  $a_1 = 1$  ist  $y(t) = x(t-T_{\rm A})$  um  $T_{\rm A}$  verzögert, mit  $a_1 = 0.5$  zusätzlich gedämpft.
  • Verzögerung und Dämpfung haben jedoch keine Verzerrung zur Folge.


(2)  Zum Zeitpunkt  $\nu = 0$  ist  $y_{\nu} = x_{\nu} = 1$.  Für alle weiteren Zeitpunkte  $\nu$  gilt  $x_{\nu} = 0$  und somit auch:

$$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} = {b_1 }^\nu .$$

Insbesondere ist  $y_3 = b_1^3 = 0.6^3\hspace{0.15cm}\underline{= 0.216}$.


(3)  Entsprechend der Aufgabenstellung muss gelten:  

$$y_{M + 1} = {b_1} ^{M + 1} < 0.001.$$
  • Dies führt zum Ergebnis:
$$M + 1 \ge \frac{{\lg \ \left( {0.001} \right)}}{{\lg \ \left( {0.6} \right)}} = \frac{ - 3}{ - 0.222} \approx 13.51\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm} \underline{M = 13}.$$
  • Die Überprüfung der Werte  $y_{13} \approx 0.0013$  und  $y_{14} \approx 0.0008$  bestätigt dieses Ergebnis.


(4)  Aufgrund der Linearität des vorliegenden Filters erhält man das gleiche Ergebnis, wenn man

  • das Filter gegenüber der Teilaufgabe  (2)  nicht verändert  $(a_1 = 0)$
  • und dafür die Eingangsfolge   $\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\; - 0.5,\;0,\;0,\;\text{...} } \right\rangle$  berücksichtigt.


Man erhält dann allgemein für  $\nu \gt 0$:

$$y_\nu = {b_1} ^\nu + a_1 \cdot {b_1} ^{\nu - 1} = \left( {b_1 + a_1 } \right) \cdot {b_1} ^{\nu - 1} .$$
  • Mit  $b_1 = 0.6$  und  $a_1 = -0.5$  ergibt sich daraus  $y_\nu = 0.1\cdot {0.6} ^{\nu - 1}$,  und somit die Folge   $\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\;0.1,\;0.06,\;0.036,\;\text{...} } \right\rangle .$
  • Der gesuchte Wert ist  $y_4\hspace{0.15cm}\underline{= 0.036}$.