Aufgabe 5.3Z: Nichtrekursives Filter

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Nichtrekursives Filter

Betrachtet wird das nebenstehende nichtrekursive Filter mit den Filterkoeffizienten

$$a_0 = 1,\quad a_1 = 2,\quad a_2 = 1.$$

Gesucht sind die jeweiligen Ausgangsfolgen  $\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$, wenn am Eingang folgende Wertefolgen angelegt werden:

  • die "Gleichfolge"
$$\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{g_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle .$$
  • die "Sinusfolge" mit der Periodendauer  $T_0 = 4 \cdot T_{\rm A}$:
$$\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{s_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;0,\;1,\;0, - 1,\;0,\;1,\;0, - 1,\;\text{...} } \hspace{0.05cm}\right\rangle .$$





Hinweise:



Fragebogen

1

Wie lautet die Filter–Impulsantwort  $h(t)$?  Zu welchem Zeitpunkt  $\nu \cdot T_{\rm A}$  hat die Impulsantwort ihr Maximum?

$\nu \ = \ $

2

Berechnen Sie den Frequenzgang  $H(f)$.  Wie groß ist der Wert bei $f = 0$?

$H(f = 0) \ = \ $

3

Welche Ausgangsfolge  $\left\langle \hspace{0.05cm} {y_\nu } \hspace{0.05cm} \right\rangle$  ergibt sich für die Gleichfolge  $\left\langle \hspace{0.05cm} {g_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$  an seinem Eingang?  Interpretieren Sie dieses Ergebnis unter Berücksichtigung der letzten Teilaufgabe.
Welcher Ausgangswert ergibt sich für  $\nu = 4 $?

$y_4 \ = \ $

4

Welche Ausgangsfolge  $\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$  ergibt sich für die Sinusfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{s_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ am Eingang?  Welcher Ausgangswert ergibt sich für  $\nu = 4 $?

$y_4 \ = \ $


Musterlösung

(1)   Die Impulsantwort lautet:   $h(t) = \delta (t) + 2 \cdot \delta ( {t - T_{\rm A} } ) + \delta ( {t - 2T_{\rm A} } ).$

  • Das Maximum liegt bei  $T_{\rm A}$,   ⇒   $\underline{\nu = 1}$.


(2)   Der Frequenzgang  $H(f)$  ist die Fouriertransformierte der Impulsantwort  $h(t)$.

  • Die um  $T_{\rm A}$  nach links verschobene Impulsantwort
$$h\hspace{0.05cm}'(t) = \delta ( {t + T_{\rm A} } ) + 2 \cdot \delta ( t ) + \delta ( {t - T_{\rm A} } )$$
ist symmetrisch um  $t= 0$  und hat dementsprechend den rein reellen Frequenzgang
$$H\hspace{0.05cm}'(f) = 2\big [ {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } )} \big ].$$
  • Durch Anwendung des Verschiebungssatzes folgt weiter:
$$H(f) = 2\big [ {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } )} \big ] \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } .$$
  • Der Wert des Frequenzgangs bei der Frequenz $f=0$ ist demzufolge $H(f = 0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}$.


(3)   Die zeitdiskrete Faltung der Eingangsfolge  $\left\langle \hspace{0.05cm}{g_\nu } \hspace{0.05cm} \right\rangle$  mit der  Impulsantwort $\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, 2, 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$  ergibt

$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;3,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\; \text{...} \;} \right\rangle $$
  • Insbesondere gilt  $y_4\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}$.
  • Mit Ausnahme der Werte  $y_0$  und  $y_1$  (Einschwingvorgang) erhält man auch am Ausgang eine Gleichfolge mit dem konstanten Wert 4:
$$y(t) = H( {f = 0} ) \cdot x( t ) = 4 \cdot 1 = 4.$$


(4)   Analog zur Teilaufgabe  (3)  erhält man nun durch Verschiebung, Gewichtung mit  $a_1$,  $a_2$,  $a_3$  und anschließender Überlagerung:

$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{\;0,\;1,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;...\;}\hspace{0.05cm} \right\rangle .$$
  • Der gesuchte Wert ist somit  $y_4\hspace{0.15cm}\underline{ = -2}$.


Anderer Lösungsweg:

  • Die Eingangsfolge  $\left\langle \hspace{0.05cm}{s_\nu }\hspace{0.05cm} \right\rangle$  verläuft sinusförmig mit der Periode  $4 \cdot T_{\rm A}$.  Die Grundfrequenz ist dementsprechend  $f_0 = 1/(4 \cdot T_{\rm A})$.
  • Bei dieser Frequenz hat der Frequenzgang  $H(f)$  gemäß Teilaufgabe  (2)  den folgenden Wert:
$$H( {f = f_0 } ) = 2\big[ {1 + \cos ( {{{\rm{\pi }}}/{2}} )} \big] \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} = 2 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} .$$
  • Lässt man den Einschwingungsvorgang  $($abgeschlossen bei  $t = T_{\rm A})$  außer Betracht, so ergibt sich mit  $\tau = T_{\rm A}$   $($Phase:   $90^\circ)$  folgender Zusammenhang zwischen dem Eingangs- und dem Ausgangssignal:
$$y(t) = 2 \cdot x( {t - T_{\rm A} } ).$$
  • Das heißt:   Aus der Sinusfunktion wird die Funktion "Minus-Cosinus" mit der Amplitude 2.