Aufgabe 5.4: Sinusgenerator

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Vorgeschlagene Filterstruktur

Die Grafik zeigt ein digitales Filter zweiter Ordnung, das zum Beispiel zur Erzeugung einer zeitdiskreten Sinusfunktion auf einem digitalen Signalprozessor (DSP) geeignet ist:

$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu }\hspace{0.05cm} \right\rangle = \left\langle {\, \sin ( {\nu T \cdot \omega _0 } )\, }\right\rangle .$$
  • Vorausgesetzt wird, dass die Eingangsfolge  $\left\langle \hspace{0.05cm} {x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$  eine (zeitdiskrete) Diracfunktion beschreibt.  Damit sind gleichzeitig alle Ausgangswerte  $y_\nu$  für Zeiten  $\nu\lt 0$  identisch Null.
  • Die insgesamt fünf Filterkoeffizienten ergeben sich aus der  $Z$-Transformation:
$$Z \{ {\sin ( {\nu T \omega _0 } )} \} = \frac{{z \cdot \sin \left( {\omega _0 T} \right)}}{{z^2 - 2 \cdot z \cdot \cos \left( {\omega _0 T} \right) + 1}}.$$
  • Setzt man diese Gleichung durch ein rekursives Filter zweiter Ordnung  $(M = 2)$  um, so erhält man die folgenden Filterkoeffizienten:
$$a_0 = 0,\quad a_1 = \sin \left( {\omega _0 T} \right),\quad a_2 = 0, \quad b_1 = 2 \cdot \cos \left( {\omega _0 T} \right),\quad b_2 = - 1.$$

In der Grafik ist bereits durch die hellere Umrandung markiert, dass auf die Filterkoeffizienten  $a_0$  und  $a_2$  verzichtet werden kann.





Hinweise:

  • Für die Teilaufgaben  (1)  bis  (3)  gelte:
$$a_1 = 0.5,\quad b_1 = \sqrt 3 .$$


Fragebogen

1

Es gelte  $a_1 = 0.5$  und  $b_1 = \sqrt 3 $.  Berechnen Sie die Ausgangswerte  $y_\nu$  zu den Zeitpunkten  $\nu = 0$,  $\nu = 1$  und  $\nu = 2$.

$y_0 \ = \ $

$y_1 \ = \ $

$y_2 \ = \ $

2

Wie lautet der Ausgangswert  $y_\nu$  für  $\nu \ge 2$  allgemein?  Berechnen Sie die Werte  $y_3$, ... , $y_7$  und geben Sie zur Kontrolle  $y_7$  ein.

$y_7 \ = \ $

3

Wie viele Stützstellen  $(T_0/T)$  stellen eine Periodendauer  $(T_0)$  dar?

$T_0/T\ = \ $

4

Es gelte nun  $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm µ s$.  Wie müssen die Koeffizienten  $a_1$  und  $b_1$  gewählt werden, damit eine  $\text{10 kHz}$–Sinusschwingung erzeugt wird?

$a_1 \ = \ $

$b_1 \ = \ $


Musterlösung

(1)  Die "$1$" am Eingang wirkt sich  $($wegen  $a_0= 0)$  am Ausgang erst zum Zeitpunkt  $\nu = 1$  aus:

$$y_0 \hspace{0.15cm} \underline{= 0},\quad y_1 \hspace{0.15cm} \underline{ = 0.5}.$$
  • Bei  $\nu = 2$  wird auch der rekursive Teil des Filters wirksam:
$$y_2 = b_1 \cdot y_1 - y_0 = {\sqrt 3 }/{2} \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.866}.$$


(2)  Für  $\nu \ge 2$  ist das Filter rein rekursiv:

$$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} - y_{\nu - 2} .$$
  • Insbesondere erhält man
$$y_3 = \sqrt 3 \cdot y_2 - y_1 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - {1}/{2} = 1;$$
$$y_4 = \sqrt 3 \cdot y_3 - y_2 = \sqrt 3 \cdot 1 - {\sqrt 3 }/{2} = {\sqrt 3 }/{2};$$
$$y_5 = \sqrt 3 \cdot y_4 - y_3 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - 1 = {1}/{2};$$
$$y_6 = \sqrt 3 \cdot y_5 - y_4 = \sqrt 3 \cdot {1}/{2} - {\sqrt 3 }/{2} = 0;$$
$$y_7 = \sqrt 3 \cdot y_6 - y_5 = \sqrt 3 \cdot 0 - {1}/{2} \hspace{0.15cm} \underline{= - 0.5}.$$


(3)  Durch Fortsetzung des rekursiven Algorithmuses der Teilaufgabe  (2)  erhält man für große  $\nu$–Werte:  

$$y_\nu = y_{\nu - 12} .$$
  • Daraus folgt  $T_0/T\hspace{0.15cm} \underline{= 12}$.  Zum gleichen Ergebnis kommt man durch folgende Überlegungen:
$$a_1 = \sin \left( {\omega _0 \cdot T} \right) = \sin \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right)\mathop = \limits^! {1}/{2} = \sin \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) \;\;{\rm \Rightarrow} \;\;{2T}/{T_0 } = {1}/{6}\quad \Rightarrow \;\;{T_0 }/{T} = 12.$$
  • Die Überprüfung des Koeffizienten  $b_1$  bestätigt die Rechnung:
$$b_1 = 2 \cdot \cos \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) = 2 \cdot c{\sqrt 3 }/{2} = \sqrt 3 .$$


(4)  Aus  $f_0 = 10 \hspace{0.05cm} \rm kHz$  folgt  $T_0 = 100 \hspace{0.05cm} \rm µ s$  bzw.  $T_0/T = 100$ . Damit erhält man:

$$a_1 = \sin \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right) = \sin \left( {3.6^ \circ } \right) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.062},$$
$$b_1 = 2 \cdot \cos \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right) = 2 \cdot \cos \left( {3.6^ \circ } \right) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 1.996}.$$