View source for Aufgaben:Exercise 3.3Z: Rectangular Pulse and Dirac Delta


{{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Einige Sonderfälle impulsartiger Signale
}}

[[File:P_ID507__Sig_Z_3_3.png|right|Verschiedene Rechteckimpulse]]
Wir betrachten hier eine Vielzahl von symmetrischen Rechteckfunktionen $x_k(t)$. Die Rechtecke unterscheiden sich durch unterschiedliche Amplituden (Höhen)
:$$A_k  = k \cdot A$$
und unterschiedliche Impulsdauern (Breiten)
:$$T_k = T/k.$$
Hierbei sei k ein beliebiger positiver Wert. Der im Bild rot dargestellte Rechteckimpuls $x_1(t)$ hat die Amplitude $A_1 = \text{A} = 2 \text{V}$ und die Dauer $T_1 = \text{T} = 500 \text{$\mu$s}$. Der blau gezeichnete Impuls x2(t) ist halb so breit ($T_2 = 250 \text{$\mu$s}$), aber doppelt so hoch ($A_2 = 4 \text{V}$).

''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale|Einige Sonderfälle impulsartiger Signale]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
*Gegeben sind weiterhin folgende trigonometrischen Umformungen:

$$\sin ^2( \alpha ) = {1}/{2} \cdot \left( {1 - \cos ( {2\alpha } )} \right),\hspace{0.5cm} \tan( {\alpha /2} ) = \frac{ {1 - \cos ( \alpha  )}}{ {\sin ( \alpha  )}}.$$



<b><u>Hinweis:</u></b> Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://en.lntwww.de/Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale Kapitel 3.2]. Sie können Ihre Ergebnisse anhand zweier Interaktionsmodule überprüfen:

:* Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion

:* Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche der folgenden Aussagen treffen bezüglich des Spektrums $X_1(f)$ zu?
|type="[]"}
+ Der Spektralwert $X_1(f = 0)$ ist gleich $10^{–3} \text{V/Hz}$.
+ $X_1(f)$ besitzt Nullstellen im Abstand von $2 \text{kHz}$.
- $X_1(f)$ besitzt Nullstellen im Abstand von $4 \text{kHz}$.


{Welche der folgenden Aussagen treffen bezüglich des Spektrums $X_2(f)$ zu?
|type="[]"}
+ Der Spektralwert $X_2(f = 0)$ ist gleich $10^{–3} \text{V/Hz}$.
- $X_2(f)$ besitzt Nullstellen im Abstand von $2 \text{kHz}$.
+ $X_2(f)$ besitzt Nullstellen im Abstand von $4 \text{kHz}$.


{Es gelte $k = 10$. Berechnen Sie die Frequenz $f_10$ der ersten Nullstelle und den Spektralwert bei $f = 2 \text{kHz}$.
|type="{}"}
$f_{10}$ = { 20 3% } $\text{kHz}$
$X_{10}(f = 2 \text{kHz})$ = { 0.984 3% } $\cdot 10^{-3}\ \text{V/Hz}$


{Wie groß wird der Spektralwert bei $f = 2 \text{kHz}$ im Grenzfall $k \rightarrow \infty$? Interpretieren Sie das Ergebnis.
|type="{}"}
$X_{\infty}(f = 2 \text{kHz}$ = { 1 3% } $\cdot 10^{-3}\ \text{V/Hz}$



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''1.'''  Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ist nach dem ersten Fourierintegral stets gleich der Fläche unter der Zeitfunktion:
:$$X( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )}  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}ft} \hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \;X( {f = 0} ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )}\hspace{0.1cm}  {\rm d}t.$$
Im vorliegenden Fall ist die Impulsfläche stets $A \cdot T = 10^{–3} \text{Vs} = 10^{–3} \text{V/Hz}$. Wegen $T_1 = 500 \text{$\mu$s}$ weist das Spektrum $X_1(f)$ Nulldurchgänge im Abstand $f_1 = 1/T_1 = 2 \text{kHz}$ auf.

Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.

'''2.'''  Aufgrund gleicher Impulsflächen wird der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ nicht verändert. Die äquidistanten Nulldurchgänge treten nun im Abstand $f_2 = 1/T_2 = 4 \text{kHz}$ auf. Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.

'''3.'''  Nullstellen gibt es bei Vielfachen von $f_{10} = 1/T_{10} = 20 \text{kHz}$, und die Spektralfunktion lautet:
:$$X_{10} ( f ) = X_0  \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}f/f_{10} } ).$$
Bei der Frequenz $f = 2 \text{kHz}$ ist das Argument der si-Funktion gleich $\pi/10$ (oder $18°$):
:$$X_{10} ( {f = 2\;{\rm{kHz}}}) = 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}} \cdot \frac{{\sin ( {18^\circ } )}}{{{\rm{\pi /10}}}} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.984 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}}}{\rm{.}}$$

'''4.'''  Im Grenzfall $k \rightarrow \infty$ geht der dann unendlich hohe und unendlich schmale Rechteckimpuls in den Diracimpuls über. Dessen Spektrum ist für alle Frequenzen konstant. Damit gilt auch bei der Frequenz $f = 2 \text{kHz}$ der Spektralwert $10^{–3} \text{V/Hz}$.
{{ML-Fuß}}


__NOEDITSECTION__
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]