View source for Aufgaben:Exercise 5.2: Inverse Discrete Fourier Transform


{{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Diskrete Fouriertransformation (DFT)
}}

[[File:P_ID1138__Sig_A_5_2.png|250px|right|Verwendete Spektralkoeffizienten]]

Bei der ''Diskreten Fouriertransformation'' (DFT) werden aus den $N$ Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ &nbsp; &rArr;   &nbsp; Abtastwerte des zeitkontinuierlichen Signals $x(t)$ – die $N$ Spektralbereichskoeffizienten $D(\mu)$ berechnet. Mit $\nu = 0, ... , N – 1$ und $\mu = 0, ... , N – 1$ gilt:
 
$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
  d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet $w$ den komplexen Drehfaktor:
 
$$w  = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N}
 = \cos \left(  {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left(  {2 \pi}/{N}\right)
 \hspace{0.05cm}.$$

Für die ''Inverse Diskrete Fouriertransformation'' (IDFT)  &nbsp; ⇒  &nbsp; „Umkehrfunktion” der DFT  gilt entsprechend:
 
$$d(\nu) =  \sum_{\mu = 0 }^{N-1}
 D(\mu) \cdot  {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen $D(\mu)$ – die in obiger Tabelle mit „A”, ... , „E” bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ ermittelt werden. Es gilt somit stets $N = 8$.

''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation (DFT)]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
*Zu der hier behandelten Thematik gibt es auch ein Interaktionsmodul: 
:[[Diskrete Fouriertransformation]]

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.2. Diese können Sie sich auch mit folgendem Interaktionsmodul verdeutlichen:
Diskrete Fouriertransformation


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für die $D(\mu)$–Werte von Spalte A?
|type="{}"}
$D(\mu )$ gemäß &bdquo;A&rdquo;: &nbsp;&nbsp; $d(0)$ =&nbsp; { 1 3% }
$d(1)$ =&nbsp; { 1 3% }

{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$–Werte von Spalte B?
|type="{}"}
$D(\mu )$ gemäß B: $d(0) =$ { 1 }
$D(\mu )$ gemäß B: $d(1) =$ { 0.707 3% }

{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$ –Werte von Spalte C?
|type="{}"}
$D(\mu )$ gemäß C: $d(0) =$ { 1 }
$D(\mu )$ gemäß C: $d(1) =$ { 0 }

{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$–Werte von Spalte D?
|type="{}"}
$D(\mu )$ gemäß D: $d(0) =$ { 1 }
$D(\mu )$ gemäß D: $d(1) =$ { -1 }

{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$–Wertevon Spalte E?
|type="{}"}
$D(\mu )$ gemäß A: $d(0) =$ { 2 }
$D(\mu )$ gemäß A: $d(1) =$ { 0 }


</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''1.''' Aus der IDFT–Gleichung wird mit $D(\mu)$ = 0 für $\mu \approx$ 0:
   
$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) =1\hspace{0.5cm}(0 \le \nu \le 7)$$

$$\Rightarrow\hspace{0.5cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = d(1) = 1}.$$

Dieser Parametersatz beschreibt die diskrete Form der Fourierkorrespondenz des Gleichsignals:
 
$$x(t) = 1 \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
 X(f) = {\delta}(f) \hspace{0.05cm}.$$

'''2.'''  Alle Spektralkoeffizienten sind 0 mit Ausnahme von $D_1$ = $D_7$ = 0.5. Daraus folgt für 0 ≤ $ν$ ≤ 7:
 
$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu}
 \hspace{0.05cm}.$$

Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:
 
$$d(\nu)  =  0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{4} \cdot \nu \right)$$ $$\Rightarrow  \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707}
 \hspace{0.05cm}.$$

Es handelt sich also um das zeitdiskrete Äquivalent zu
 
$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
 X(f) = \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f + f_{\rm A}) + \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f - f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$

wobei $f_A$ die kleinste in der DFT darstellbare Frequenz bezeichnet.

'''3.'''  Gegenüber Aufgabe 2) ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich 2 · $f_A$ anstelle von $f_A$:
 
$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
 X(f) = \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$

Damit beschreibt die Folge 〈 $d(ν)$〉 zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für 0 ≤ $ν$ ≤ 7:
 
$$ d(\nu)  =  0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)$$  $$\Rightarrow  \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0}
 \hspace{0.05cm}.$$

'''4.'''   Durch eine weitere Verdoppelung der Cosinusfrequenz auf 4 $f_A$ kommt man schließlich zur zeitkontinuierlichen Fourierkorrespondenz
 
$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right)
 \hspace{0.05cm}$$

und damit zu den Zeitkoeffizienten
 
$$d(0) =d(2) =d(4) =d(6) \hspace{0.15 cm}\underline{= +1}, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7)  \hspace{0.15 cm}\underline{= -1}
 \hspace{0.05cm}.$$

Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen. Das heißt: Die Koeffizienten $D$ (4) = 0.5 und $D$ (-4) = 0.5 ergeben zusammen $D$ (4) = 1.

'''5.'''  Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenfalls linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar. Die Koeffizienten $D(\mu )$ aus Spalte E ergeben sich als die Summen der Spalten A und D. Deshalb wird aus der alternierenden Folge 〈 $d(ν)$〉 entsprechend Teilaufgabe 4) die um 1 nach oben verschobene Folge:
 
$$ \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) =d(3) =d(5) =d(7)  = 0}
 \hspace{0.05cm}.$$
{{ML-Fuß}}

__NOEDITSECTION__
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^5. Zeit- und frequenzdisktrete Signaldarstellung^]]