View source for Aufgaben:Exercise 3.7: Bit Error Rate (BER)


{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Gaußverteilte Zufallsgröße
}}

[[File:P_ID128__Sto_A_3_7.png|right|Zur Verdeutlichung der Bitfehlerquote]]
Wir betrachten ein bin&auml;res &Uuml;bertragungssystem mit

*der Quellensymbolfolge $\langle q_\nu \rangle $ und
*der Sinkensymbolfolge $\langle v_\nu \rangle $.

Stimmen Sinkensymbol $v_\nu$ und Quellensymbol $q_\nu$ nicht &uuml;berein, so liegt ein Bitfehler vor &nbsp; &rArr; &nbsp;  $e_\nu = 1$ Ansonsten gilt $e_\nu = 0$.


Wichtigstes Beurteilungskriterium eines solchen Digitalsystems ist die '''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''' (englisch: <i>Bit Error Probability</i>).
Mit dem Erwartungswert ${\rm E}[ ... ]$ ist diese ist wie folgt definiert:
$$\it p_{\rm B} = \rm E[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu} \rm )]=\rm E[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1).$$

Der rechte Teil dieser Gleichung beschreibt eine Zeitmittelung und muss z.&nbsp;B. bei zeitvarianten Kan&auml;len stets angewandt werden. Ist dagegen die Fehlerwahrscheinlichkeit f&uuml;r alle Symbole gleich (was hier vorausgesetzt werden soll), so kann man die obige Gleichung wie folgt vereinfachen:
$$\it p_{\rm B} = \rm E[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)]=\rm E[\it e_{\nu} \rm ].$$


Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine A-priori-Kenngr&ouml;&szlig;e, erlaubt also eine Vorhersage f&uuml;r das zu erwartende Resultat. Dagegen muss zur messtechnischen Ermittlung der &Uuml;bertragungsqualit&auml;t oder bei der Systemsimulation auf die vergleichbare A-posteriori-Kenngr&ouml;&szlig;e '''Bitfehlerquote''' (englisch: <i>Bit Error Rate</i>) &uuml;bergegangen werden:
:$$h_{\rm B}=\frac{n_{\rm B}}{N}=\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu}.$$

Diese ist eine [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerquote|relative H&auml;ufigkeit]], wobei $n_{\rm B}$ die Anzahl der aufgetretenen Bitfehler angibt, wenn insgesamt $N$ Symbole (Bit) &uuml;bertragen wurden.

*Im Grenzfall $N \to \infty$ stimmt die relative H&auml;ufigkeit $h_{\rm B}$ mit der Wahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ &uuml;berein. 
*Hier soll nun die Frage gekl&auml;rt werden, mit welcher statistischen Unsicherheit bei endlichem <i>N</i> gerechnet werden muss.


''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgröße]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
*L&ouml;sen Sie die Aufgaben so weit wie m&ouml;glich allgemein. Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte  $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$. 
*Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:
:$$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$ 



===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
|type="[]"}
- Für $n_{\rm B}$ sind alle Werte $(0$, ... , $N)$ gleichwahrscheinlich.
+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $n_{\rm B}$ ist binomialverteilt.
+ Mit $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$ ergibt sich ${\rm E}[n_{\rm B}] = 100$.


{Wie gro&szlig; ist die Streuung der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $n_{\rm B}$ für $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$?
|type="{}"}
$\sigma_{n{\rm B}} \ = $  { 10 3% } 


{Welche Werte kann die Bitfehlerquote $h_{\rm B}$ annehmen? Zeigen Sie, dass der lineare Mittelwert $m_{h{\rm B}}$ dieser Zufallsgröße gleich der tats&auml;chlichen Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ist. Wie gro&szlig; ist deren Streuung?
|type="{}"}
$\sigma_{h{\rm B}} \ = $ { 0.0001 3% } 


{Unter gewissen Voraussetzungen kann eine binomialverteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e durch eine Gau&szlig;verteilung mit gleichem Mittelwert  $(m_{h{\rm B}})$ und gleicher Streuung $(\sigma_{h{\rm B}})$ angen&auml;hert werden. Welche Aussage ist zutreffend?
|type="[]"}
+ ${\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)=1- 2\cdot \rm Q({\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}).$
- ${\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)=1- \rm Q({\varepsilon}/{2\cdot \sigma_{h{\rm B}}}).$



{Zur Abk&uuml;rzung verwenden wir das Konfidenzniveau $p_\varepsilon = {\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)$. Welches   $p_\varepsilon$ ergibt sich mit $\varepsilon = 10^{-4}$, $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$?
|type="{}"}
$p_\varepsilon \ = $ { 0.684 3% }


{Das Argument der Q-Funktion sei $\alpha$. Wie gro&szlig; muss  $\alpha$ mindestens gew&auml;hlt werden, damit das Konfidenzniveau  $p_\varepsilon =  95\%$ betr&auml;gt?
|type="{}"}
$p_\varepsilon =  95\%$: &nbsp; &nbsp; $\alpha_{\rm min} \ = $ { 1.96 3% }


{Es gelte weiterhin $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $p_\varepsilon =  95\%$ &Uuml;ber wie viele Symbole muss man mindestens gemittelt werden, damit die ermittelte Bitfehlerquote im Bereich zwischen $0.9 \cdot 10^{-3}$ und $1.1 \cdot 10^{-3}$ liegt $(\varepsilon = 10^{-4}, \text{10% vom Sollwert)}$?
|type="{}"}
$N_\text{min} \ = ${ 400000 3% }



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Die <u>beiden letzten Aussagen</u> stimmen: Bez&uuml;glich der Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>n</i><sub>B</sub> liegt der klassische Fall einer Binomialverteilung vor: Es wird die Summe &uuml;ber <i>N</i> bin&auml;re Zufallsgr&ouml;&szlig;en gebildet. Die m&ouml;glichen Werte von <i>n</i><sub>B</sub> liegen somit zwischen 0 und <i>N</i>. Der lineare Mittelwert ergibt
:$$m_{n{\rm B}}=p_{\rm B}\cdot N=\rm 10^{-3}\cdot 10^{5}=\rm 100.$$

:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;F&uuml;r die Streuung der Binomialverteilung gilt mit guter Näherung:
:$$\sigma_{n{\rm B}}=\sqrt{N\cdot p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}
\hspace{0.15cm}\underline{\approx 10}.$$

:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;M&ouml;gliche Werte von <i>h</i><sub>B</sub> sind alle ganzzahligen Vielfachen von 1/<i>N</i>, die zwischen 0 und 1 liegen. F&uuml;r den Mittelwert erh&auml;lt man:
:$$m_{h{\rm B}}=m_{\it n_{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$

:Die Streuung ergibt sich zu 
:$$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 10^{-4}}.$$

:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Richtig ist <u>der erste Vorschlag</u>. Es gilt:
:$$\rm Pr(\it h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q\Big({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}\Big),\hspace{0.5cm}\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon)=\rm Q\Big(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}\Big),$$
:$$\Rightarrow \rm Pr(\it |h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q\Big(\frac{\it \varepsilon}{\it \sigma_{h{\rm B}}}\Big).$$

:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Man erh&auml;lt mit den Zahlenwerten <i>&epsilon;</i> = <i>&sigma;</i><sub><i>h</i>B</sub> = 10 <sup>&ndash;4</sup>:
:$$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q\Big(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}}\Big)=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$

:&#8658;&nbsp; Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation &uuml;ber 10<sup>5</sup>  Symbole, so erh&auml;lt man mit einem Konfidenzniveau von 68.4% einen Wert zwischen 0.9 &middot; 10<sup>&ndash;3</sup> und 1.1 &middot; 10<sup>&ndash;3</sup>, wenn <i>p</i><sub>B</sub> = 10<sup>&ndash;3</sup> ist.

:<b>6.</b>&nbsp;&nbsp;Aus der Beziehung <i>p</i><sub>&epsilon;</sub> = 1 &ndash; 2 &middot; Q(<i>&alpha;</i>) = 0.95 folgt direkt:
:$$\alpha=\rm Q^{\rm -1}\Big(\frac{\rm 1-\it p_{\varepsilon}}{\rm 2}\Big)=\rm Q^{\rm -1}(\rm 0.025)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.96}\hspace{0.15cm}{\approx\rm 2}.$$

:<b>7.</b>&nbsp;&nbsp;Es muss <i>&alpha;</i> = <i>&epsilon;/&sigma;</i><sub><i>h</i>B</sub> gelten. Mit dem Ergebnis aus b) folgt dann:
:$$\frac{\varepsilon}{\sqrt{p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})/N}}\ge \rm 2 \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}
N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 400000}.$$

{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^3.5 Gaußverteilte Zufallsgröße^]]