View source for Aufgaben:Exercise 4.7Z: About the Water Filling Algorithm


{{quiz-Header|Buchseite=Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang
}}

[[File:P_ID2903__Inf_T_4_2_S4d.png|right|]]
Wir betrachten <i>K</i> parallele Gaußsche Kanäle (AWGN) mit unterschiedlichen Störleistungen <i>&sigma;<sub>k</sub></i><sup>2</sup> (1 &#8804; <i>k</i> &#8804; <i>K</i>), wie in der nebenstehenden Grafik am Beispiel <i>K</i> = 4 verdeutlicht ist. Die Sendeleistung in den einzelnen Kanälen wird mit <i>P<sub>k</sub></i> bezeichnet, deren Summe den vorgegebenen Wert <i>P<sub>X</sub></i> nicht überschreiten darf:
$$P_1 + ... \hspace{0.05cm}+ P_K = \hspace{0.1cm} \sum_{k= 1}^K 
 \hspace{0.1cm}{\rm E} \left [ X_k^2\right ] \le P_{X} \hspace{0.05cm}.$$
Sind die Zufallsgrößen <i>X</i><sub>1</sub>, ..., <i>X<sub>k</sub></i> gaußisch, so kann für die (gesamte) Transinformation zwischen dem Eingang <i>X</i> und dem Ausgang <i>Y</i> geschrieben werden:
$$I(X_1, ... \hspace{0.05cm}, X_K\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1, ... \hspace{0.05cm}, Y_K) 
=  1/2 \cdot \sum_{k= 1}^K  \hspace{0.1cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac{P_k}{\sigma_k^2})\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
{\rm Ergebnis\hspace{0.15cm} in \hspace{0.15cm} bit}
\hspace{0.05cm}.$$
Das Maximum hierfür ist die Kanalkapazität des Gesamtsystems, wobei sich die Maximierung auf die Aufteilung der Gesamtleistung <i>P<sub>X</sub></i> auf die einzelnen Kanäle bezieht.
$$C_K(P_X) = \max_{P_k\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}P_1 + ... \hspace{0.05cm}+ P_K = P_X} \hspace{-0.5cm} I(X_1, ... \hspace{0.05cm}, X_K\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1, ... \hspace{0.05cm}, Y_K) \hspace{0.05cm}.$$
Diese Maximierung kann mit dem Water&ndash;Filling&ndash;Algorithmus geschehen, der in obiger Grafik für <i>K</i> = 4 dargestellt ist. Eine genaue Beschreibung finden Sie im [http://en.lntwww.de/Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Parallele_Gau.C3.9Fsche_Kan.C3.A4le '''Theorieteil''']
In der vorliegenden Aufgabe soll dieser Algorithmus angewendet werden, wobei von folgenden Voraussetzungen auszugehen ist:
:* Zwei parallele Gaußkanäle &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>K</i> = 2,
:* Normierte Störleistungen <i>&sigma;</i><sub>1</sub><sup>2</sup> = 1 und <i>&sigma;</i><sub>2</sub><sup>2</sup> = 4,  
:*Normierte Sendeleistungen <i>P<sub>X</sub></i> = 10 bzw. <i>P<sub>X</sub></i> = 3.

<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe bezieht sich auf das Themengebiet von [http://en.lntwww.de/Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang '''Kapitel 4.2.''']

===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche Strategien der Leistungszuteilung sind sinnvoll?
|type="[]"}
- Einem stark gestörten Kanal <i>k</i> (mit großer Störleistung <i>&sigma;<sub>k</sub></i><sup>2</sup>) sollte eine große Nutzleistung <i>P<sub>k</sub></i> zugewiesen werden.
+ Einem stark gestörten Kanal <i>k</i> (mit großer Störleistung <i>&sigma;<sub>k</sub></i><sup>2</sup>) sollte nur eine kleine Nutzleistung <i>P<sub>k</sub></i> zugewiesen werden.
+ Bei <i>K</i> gleich guten Kanälen &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>&sigma;</i><sub>1</sub><sup>2</sup> = ... = <i>&sigma;<sub>K</sub></i><sup>2</sup> =  <i>&sigma;<sub>N</sub></i><sup>2</sup> sollte die Leistung gleichmäßig verteilt werden.      


{Welche Transinformation <i>I</i> =  <i>I</i>(<i>X</i><sub>1</sub>, <i>X</i><sub>2</sub></i>; <i>Y</i><sub>1</sub>, <i>Y</i><sub>2</sub>) ergibt sich, wenn man die Sendeleistung <i>P<sub>X</sub></i> = 10 gleichmäßig auf beide Kanäle verteilt?
|type="{}"}
$P1 = P2 = 5:   I$ = { 1.877 3% }


{Es gelte weiter <i>P<sub>X</sub></i> = 10. Welche optimale Leistungsaufteilung ergibt sich nach dem Water&ndash;Filling&ndash;Algorithmus?
|type="{}"}
$PX = 10:   P1$ = { 6.5 3% }
$P1 = P2 = 5:   I$ = { 3.5 3% }



{Wie groß ist die Kanalkapazität für <i>K</i> = 2 und <i>P<sub>X</sub></i> = 10?
|type="{}"}
$C2(PX = 10)$ = { 1.907 3% }


{Welche Ergebnisse erhält man mit <i>K</i> = 2 und <i>P<sub>X</sub></i> = 3?
|type="{}"}
$P1 = P2 = 1.5:   I$ = { 0.891 3% }
$C2(PX = 3)$ = { 1 3% }


</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''1.'''  Nach den Ausführungen im  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Parallele_Gau.C3.9Fsche_Kan.C3.A4le |'''im Theorieteil''']] ist die Strategie &bdquo;Water&ndash;Filling&rdquo; &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Vorschlag 2</u> anzuwenden, wenn ungleiche Bedingungen vorliegen. <u>Lösungsvorschlag 3</u> ist aber ebenfalls richtig: Bei gleich guten Kanälen spricht nichts dagegen, alle <i>K</i> Kanäle mit der gleichen Leistung <i>P</i><sub>1</sub> = ... = <i>P<sub>K</sub></i> = <i>P<sub>X</sub></i>/<i>K</i> zu versorgen.

'''2.'''  Für die Transinformation gilt bei gleicher Leistungsaufteilung:
$$I = I(X_1, X_2\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1,  Y_2) \ =  \ \frac{1}{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{5}{1} \right )
+\frac{1}{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{5}{4} \right )=\\$$$$\hspace{-0.15cm} 1.292\,{\rm bit}+ 0.585\,{\rm bit}
\hspace{0.15cm}\underline{= 1.877\,{\rm bit}}
\hspace{0.05cm}.$$
'''3.'''
'''4.'''
'''5.'''
'''6.'''
'''7.'''
{{ML-Fuß}}


[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie|^4.2 AWGN & kontinuierlicher Eingang^]]