View source for Aufgaben:Aufgabe 2.11Z: Nochmals ESB-AM & Hüllkurvendemodulation


{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation
}}

[[File:P_ID1050__Mod_Z_2_10.png|right|frame|Äquivalentes Tiefpass–Signal bei ESB-AM]]
Nebenstehende Grafik zeigt die Ortskurve – also die Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals in der komplexen Ebene – für ein ESB–AM–System.

Weiter ist bekannt, dass die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ beträgt und dass der Kanal ideal ist:
:$$ r(t) = s(t) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} r_{\rm TP}(t) = s_{\rm TP}(t) \hspace{0.05cm}.$$

Beim Empfänger wird ein idealer Hüllkurvendemodulator (HKD) eingesetzt. Im Verlauf dieser Aufgabe werden folgende Größen benutzt:
*das Seitenband–zu–Träger–Verhältnis
:$$\mu = \frac{A_{\rm N}/2}{A_{\rm T}}\hspace{0.05cm},$$
*die Hüllkurve
:$$a(t) = |s_{\rm TP}(t)| \hspace{0.05cm},$$
* die maximale Abweichung $τ_{\rm max}$ der Nulldurchgänge zwischen Sendesignal $s(t)$ und Trägersignal $z(t)$.


''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenbandmodulation]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite   [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation#Seitenband.E2.80.93zu.E2.80.93Tr.C3.A4ger.E2.80.93Verh.C3.A4ltnis|Seitenband-zu-Träger-Verhältnis]].
*Für diese Aufgabe gelten vergleichbare Voraussetzungen wie für die [[Aufgaben:2.11_Hüllkurvendemodulation_eines_ESB-Signals|Aufgabe 2.11]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.



===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Geben Sie das äquivalente TP–Signal $s_{\rm TP}(t)$ in analytischer Form an und beantworten Sie folgende Fragen.
|type="[]"}
- Es handelt sich um eine OSB–AM.
+ Es handelt sich um eine USB–AM.
- Das Nachrichtensignal $q(t)$ ist cosinusförmig.
+ Das Nachrichtensignal $q(t)$ ist sinusförmig.

{Geben Sie die Amplitude $A_{\rm N}$ und Frequenz $f_{\rm N}$ des Quellensignals an. Berücksichtigen Sie, dass es sich um eine ESB–AM handelt.
|type="{}"}
$A_{\rm N} \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V$
$f_{\rm N} \ = \ $ { 5 3% } $\ \rm kHz$ 

{Welcher Wert ergibt sich für das Seitenband–zu–Träger–Verhältnis $μ$? Verwenden Sie diese Größe zur Beschreibung von $s_{\rm TP}(t)$.
|type="{}"}
$μ \ = \ $ { 1 3% } 

{Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf der Hüllkurve $a(t)$. Welche Werte treten bei $t = 50 \ \rm μs$, $t = 100 \ \rm μs$ und $t = 150 \ \rm μs$ auf?
|type="{}"}
$a(t = 50 \ \rm μs) \hspace{0.32cm} = \ $ { 2 3% } $\ \rm V$ 
$a(t = 100 \ \rm μs) \ = \ $ { 1.414 3% } $\ \rm V$
$a(t = 150 \ \rm μs) \ = \ $ { 0. } $\ \rm V$

{Um welche Zeitdifferenz $τ_{\rm max}$ (betragsmäßig) sind die Nulldurchgänge von $s(t)$ gegenüber $z(t)$ maximal verschoben?  
|type="{}"}
$τ_{\rm max} \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \rm μs$
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''1.'''Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 4. Das äquivalente TP–Signal lautet:
$$ s_{\rm TP}(t) = 1\,{\rm V} + {\rm j}\cdot 1\,{\rm V}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot \hspace{0.03cm}\hspace{0.03cm}t} \hspace{0.05cm}.$$
Die Ortskurve ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt bei $A_T = 1 V$. Da die Drehung im Uhrzeigersinn erfolgt, handelt es sich um eine USB–AM. Der sich drehende (grüne) Zeiger zeigt zum Starzeitpunkt $t = 0$ in Richtung der imaginären Achse. Daraus folgt, dass für das Quellensignal gelten wird:
$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \sin(\omega_{\rm N} \cdot t).$$

'''2.''' Bei der USB wird nur das untere Seitenband mit der Zeigerlänge $A_N/2 = 1 V$ übertragen. Daraus ergibt sich $A_N = 2 V$. Für eine Umdrehung in der Ortskurve benötigt der Zeiger die Zeit $200 μs$. Der Kehrwert hiervon ist die Frequenz $f_N = 5 kHz$.


'''3.''' Entsprechend der Definition auf der Angabenseite und den Ergebnissen zu a) und b) gilt:
$$ \mu = \frac{A_{\rm N}/2}{A_{\rm T}}=1\hspace{0.05cm}.$$
Damit kann für das äquivalente TP–Signal auch geschrieben werden:
$$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \left( 1 + {\rm j} \cdot \mu \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot \hspace{0.03cm}\hspace{0.03cm}t} \right),\hspace{0.3cm}{\rm hier}\hspace{0.15cm}\mu \hspace{0.15cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$


'''4.'''Spaltet man die komplexe Exponentialfunktion mit dem Satz von Euler nach Real– und Imaginärteil auf, so erhält man:
$$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \left( 1 + \sin(\omega_{\rm N}\cdot t) + {\rm j} \cos(\omega_{\rm N}\cdot t)\right) \hspace{0.05cm}.$$

Durch Anwendung des [https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras Satzes von Pythagoras] kann hierfür auch geschrieben werden:
$$a(t)  =  |s_{\rm TP}(t)| = A_{\rm T} \cdot \sqrt{ (1 + \sin(\omega_{\rm N}\cdot t))^2 + \cos^2(\omega_{\rm N}\cdot t)} =$$ 
$$ =  |s_{\rm TP}(t)| = A_{\rm T} \cdot \sqrt{ 2 + 2 \cdot \sin(2\omega_{\rm N}\cdot t)} \hspace{0.05cm}.$$
Die abgefragten Werte lauten mit $A_T = 1 V$:
$$ a(t = 50\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}},\hspace{0.3cm}a(t = 100\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 1.414\,{\rm V}},\hspace{0.3cm}a(t = 150\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0} \hspace{0.05cm}.$$
Diese Ergebnisse können auch direkt aus der Grafik auf der Angabenseite abgelesen werden.
'''5.'''Ein Hinweis für die Lage der Nulldurchgänge von $s(t)$ gegenüber dem durch das Trägersignal $z(t)$ vorgegebenen Raster liefert die Phasenfunktion $ϕ(t)$. Bei der gegebenen Ortskurve können diese Werte zwischen $±π/2 (±90°)$ annehmen. Diese Maximalwerte treten zum Beispiel im Bereich um $t ≈ 150 μs$ auf, da hier ein Phasensprung stattfindet. Der Zusammenhang zwischen $τ_{max}$ und $ϕ_{max}$ lautet:
$$ \tau_{\rm max} = \frac {\Delta \phi_{\rm max}}{2 \pi }\cdot \frac{1 }{f_{\rm T}} = \frac {1}{4}\cdot 10\,{\rm \mu s} \hspace{0.15cm}\underline {= 2.5\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm}.$$

{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu  Modulationsverfahren|^2.4  Einseitenbandmodulation^]]