View source for Aufgaben:Exercise 3.8Z: Optimal Detection Time for DFE


{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Entscheidungsrückkopplung}}

[[File:P_ID1454__Dig_Z_3_8.png|right|frame|Tabelle der Grundimpulswerte]]
Wir betrachten wie in der [[Aufgaben:3.8_Decision_Feedback_Equalization_mit_Laufzeitfilter|Aufgabe 3.8]] das bipolare Binärsystem mit Entscheidungsrückkopplung. Im Englischen bezeichnet man diese Konstellation als <i>Decision Feedback Equalization</i> (DFE).

Der vorentzerrte Grundimpuls $g_d(t)$ am Eingang der DFE entspricht der Rechteckantwort eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.25$. 

In der Tabelle sind die auf $s_0$ normierten Abtastwerte von $g_d(t)$ angegeben. Auf der Angabenseite zu [[Aufgaben:3.8_Decision_Feedback_Equalization_mit_Laufzeitfilter|Aufgabe 3.8]] ist $g_d(t)$ skizziert.

Bei der idealen DFE wird ein Kompensationsimpuls $g_w(t)$ gebildet, der für alle Zeiten $t &#8805; T_{\rm D} + T_{\rm V}$ genau gleich dem Eingangsimpuls $g_d(t)$ ist, so dass für den korrigierten Grundimpuls gilt:
:$$g_k(t) \ = \ g_d(t) - g_w(t) = \ \left\{ \begin{array}{c} g_d(t)
 \\ 0  \\  \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\  {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}
\begin{array}{*{20}c} t < T_{\rm D} +  T_{\rm V}, \\   t \ge T_{\rm D} +  T_{\rm V}, \\
\end{array}$$

Hierbei bezeichnet $T_{\rm D}$ den Detektionszeitpunkt, der eine optimierbare Systemgröße darstellt. $T_{\rm D} = 0$ bedeutet eine Symboldetektion in Impulsmitte.

Bei einem System mit DFE ist jedoch $g_k(t)$ stark unsymmetrisch, so dass ein Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} < 0$ günstiger ist. Die Verzögerungszeit $T_{\rm V} = T/2$ gibt an, dass die DFE erst eine halbe Symboldauer nach der Detektion wirksam wird. Zur Lösung dieser Aufgabe ist $T_{\rm V}$ allerdings nicht relevant.

Eine aufwandsgünstige Realisierung der DFE ist mit einem Laufzeitfilter möglich, wobei die Filterordnung bei dem gegebenen Grundimpuls mindestens $N = 3$ betragen muss. Die Filterkoeffizienten sind dabei wie folgt zu wählen:
:$$k_1 = g_d(T_{\rm D} + T),\hspace{0.2cm}k_2 = g_d(T_{\rm D} + 2T),\hspace{0.2cm}k_3 = g_d(T_{\rm D} + 3T)
 \hspace{0.05cm}.$$

''Hinweise:''
* Die Aufgabe behandelt die theoretischen Grundlagen des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Entscheidungsr%C3%BCckkopplung|Entscheidungsrückkopplung]].
* Beachten Sie auch, dass die Entscheidungsrückkopplung nicht mit einer Erhöhung der Rauschleistung verbunden ist, so dass eine Vergrößerung der (halben) Augenöffnung um den Faktor $K$ gleichzeitig einen Störabstandsgewinn von $20 \cdot {\rm lg} \, K$ zur Folge hat.
* Der vorentzerrte Grundimpuls $g_d(t)$ am Eingang der DFE entspricht der Rechteckantwort eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.25$. In der Tabelle sind die auf $s_0$ normierten Abtastwerte von $g_d(t)$ angegeben. Auf der Angabenseite zu [http://en.lntwww.de/Aufgaben:3.8_Decision_Feedback_Equalization_mit_Laufzeitfilter| Aufgabe A3.8] ist $g_d(t)$ skizziert. 


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Berechnen Sie die halbe Augenöffnung für $T_{\rm D} = 0$ und ideale DFE.
|type="{}"}
$100\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D} = 0)/(2s_0)$ = { 0.205 3% }

{Wie müssen hierzu die Koeffizienten des Laufzeitfilters eingestellt werden?
|type="{}"}
$k_1$ = { 0.235 3% }
$k_2$ = { 0.029 3% }
$k_3$ = { 0.001 3% }

{Es gelte weiter $T_{\rm D} = 0$. Welche (halbe) Augenöffnung ergibt sich, wenn die DFE die Nachläufer nur zu $50 \%$ kompensiert?
|type="{}"}
$50\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D} = 0)/(2s_0)$ = { 0.072 3% }

{Bestimmen Sie den optimalen Detektionszeitpunkt und die Augenöffnung bei idealer DFE.
|type="{}"}
$T_{\rm D, \ opt}/T$ = { -0.412--0.388 }
$100\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D} = 0)/(2s_0)$ = { 0.205 3% }

{Wie müssen hierzu die Koeffizienten des Laufzeitfilters eingestellt werden?
|type="{}"}
$k_1$ = { 0.366 3% }
$k_2$ = { 0.08 3% }
$k_3$ = { 0.004 3% }

{Wie groß ist die (halbe) Augenöffnung mit $T_{\rm D, \ opt}$, wenn die DFE die Nachläufer nur zu $50 \%$ kompensiert? Interpretieren Sie das Ergebnis.
|type="{}"}
$50\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D} = 0)/(2s_0)$ = { 0.066 3% }
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Für den Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ gilt (wurde bereits in [http://en.lntwww.de/Aufgaben:3.8_Decision_Feedback_Equalization_mit_Laufzeitfilter| Aufgabe A3.8] berechnet):
:$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{
 2} = g_d(0) - g_d(-T)- g_d(-2T)- g_d(-3T)$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{
 2 \cdot s_0} = 0.470 - 0.235 - 0.029 -0.001 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.205}
 \hspace{0.05cm}.$$


'''(2)'''&nbsp; Die Koeffizienten sind so zu wählen, dass $g_k(t)$ die Nachläufer von $g_d(t)$ vollständig kompensiert.
:$$k_1 = g_d( T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.235},\hspace{0.2cm}k_2 = g_d(2T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.029},\hspace{0.2cm}k_3 =
  g_d(3T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.001}
 \hspace{0.05cm}.$$


'''(3)'''&nbsp; Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) erhält man:
:$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{
 2 \cdot s_0} = 0.205 - 0.5 \cdot (0.235 + 0.029 + 0.001)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.072}
 \hspace{0.05cm}.$$


'''(4)'''&nbsp; Die Optimierung von $T_{\rm D}$ entsprechend den Einträgen in der Tabelle liefert:
:$$T_{\rm D}/T = 0: \hspace{0.5cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.470 &ndash; 0.235 &ndash; 0.029 &ndash; 0.001 = 0.205,$$
:$$T_{\rm D}/T = \ &ndash;0.1: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.466 \ &ndash; \ 0.204 \ &ndash; \ 0.022 \ &ndash; \ 0.001 = 0.240,$$
:$$T_{\rm D}/T = \ &ndash;0.2: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.456 \ &ndash; \ 0.174 \ &ndash; \ 0.016 \ &ndash; \ 0.001 = 0.266,$$
:$$T_{\rm D}/T = \ &ndash;0.3: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.441 \ &ndash; \ 0.146 \ &ndash; \ 0.012 \ &ndash; \ 0.001 = 0.283,$$
:$${\bf {\it T}_{\rm D}/{\it T} = \ &ndash;0.4: \hspace{0.2cm} \ddot{o}({\it T}_{\rm D})/(2 \, {\it s}_0) = 0.420 \ &ndash; \ 0.121 \ &ndash; \ 0.008 \ &ndash; \ 0.001 = 0.291,}$$
:$$T_{\rm D}/T = \ &ndash;0.5: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.395 \ &ndash; \ 0.099 \ &ndash; \ 0.006 \ &ndash; \ 0.001 = 0.290,$$
:$$T_{\rm D}/T = \ &ndash;0.6: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.366 \ &ndash; \ 0.080 \ &ndash; \ 0.004 \ &ndash; \ 0.001 = 0.282,$$

Der optimale Detektionszeitpunkt ist demnach $T_{\rm D, \ opt} \ \underline {= \ &ndash;0.4T}$ (wahrscheinlich geringfügig größer). Hierfür wurde für die halbe Augenöffnung der maximale Wert ($0.291$) ermittelt.


'''(5)'''&nbsp; Mit $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4 \ T$ lauten die Filterkoeffizienten:
:$$k_1 = g_d(0.6 T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.366},\hspace{0.2cm}k_2 = g_d(1.6T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.080},\hspace{0.2cm}k_3 =
  g_d(2.6T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.004}
 \hspace{0.05cm}.$$


'''(6)'''&nbsp; Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe (3) erhält man hier:
:$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D,\hspace{0.05cm} opt})}{
 2 \cdot s_0} = 0.291 - 0.5 \cdot (0.366 + 0.080 + 0.004) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.066}
 \hspace{0.05cm}.$$

Die Ergebnisse dieser Aufgabe lassen sich wie folgt zusammenfassen:
* Durch Optimierung des Detektionszeitpunktes wird die Augenöffnung im Idealfall um den Faktor $0.291/0.205 = 1.42$ vergrößert, was dem Störabstandsgewinn von $20 \cdot {\rm lg} \, 1.42 \approx 3 \ \rm dB$ entspricht.
* Funktioniert die DFE aufgrund von Realisierungsungenauigkeiten jedoch nur zu $50\%$, so ergibt sich mit $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4T$ gegenüber der idealen DFE eine Verschlechterung um den Amplitudenfaktor $0.291/0.066 \approx \ 4.4$. Für $T_{\rm D} = 0$ ist dieser Faktor mit $2.05/0.072 \approx \ 3$ deutlich kleiner.
* Es ist sogar so: Das eigentlich schlechtere System (mit $T_{\rm D} = 0$) ist dem eigentlich besseren System (mit $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4T$) überlegen, wenn die Entscheidungsrückkopplung nur zu $50%$ funktioniert. Dann ergibt sich ein Störabstandsverlust von $20 \cdot {\rm lg} \, (0.072/0.066) \approx \ 0.75 \ \rm dB$.
* Man kann diese Aussagen verallgemeinern: Je größer die Verbesserung durch Systemoptimierung (hier: die Optimierung des Detektionszeitpunktes) im Idealfall ist, desto größer ist auch die Verschlechterung bei nichtidealen Bedingungen, z.B. bei toleranzbehafteter Realisierung.


'''(6)'''&nbsp; 
{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.6 Entscheidungsrückkopplung^]]