View source for Aufgaben:Exercise 3.10: Maximum Likelihood Tree Diagram


{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien}}

[[File:P_ID1465__Dig_A_3_10_95.png|right|frame|Signale und Baumdiagramm]]
Wie in [[Aufgaben:3.9_Unipolarer_Korrelationsempf%C3%A4nger|Aufgabe A3.9]] betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers. Die möglichen Sendesignale $s_0(t), \ ... \ , \ s_7(t)$ seien bipolar. In der Grafik sind die Funktionen $s_0(t)$, $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_3(t)$ dargestellt. Die blauen Kurvenverläufe gelten dabei für rechteckförmige NRZ&ndash;Sendeimpulse.

Darunter gezeichnet ist das so genannte Baumdiagramm für diese Konstellation unter der Voraussetzung, dass das Signal $s_3(t)$ gesendet wurde. Dargestellt sind hier im Bereich von $0$ bis $3T$ die Funktionen
:$$i_i(t)  =  \int_{0}^{t} s_3(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d}
\tau \hspace{0.3cm}( i = 0, ... , 7)\hspace{0.05cm}.$$

Der Korrelationsempfänger vergleicht die Endwerte $I_i = i_i(3T)$ miteinander und sucht den größtmöglichen Wert $I_j$. Das zugehörige Signal $s_j(t)$ ist dann dasjenige, das gemäß dem Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Kriterium am wahrscheinlichsten gesendet wurde.

Anzumerken ist, dass der Korrelationsempfänger im allgemeinen die Entscheidung anhand der korrigierten Größen $W_i = I_i \ &ndash; E_i/2$ trifft. Da aber bei bipolaren Rechtecken alle Sendesignale ($i = 0, \ ... \ , \ 7$) die genau gleiche Energie
:$$E_i  =  \int_{0}^{3T} s_i^2(t) \,{\rm d} t$$

aufweisen, liefern die Integrale $I_i$ genau die gleichen ML&ndash;Informationen wie die korrigierten Größen $W_i$.

Die roten Signalverläufe $s_i(t)$ ergeben sich aus den blauen durch Faltung mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$. Jeder einzelne Rechteckimpuls wird verbreitert. Die roten Funktionsverläufe weise Impulsinterferenzen auf.

''Hinweis:''
* Die Aufgabe gehört zum Themebgebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien|Optimale Empfängerstrategien]].



===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Geben Sie die folgenden normierten Endwerte $I_i/E_{\rm B}$ für Rechtecksignale (ohne Rauschen) an.
|type="{}"}
$I_0/E_{\rm B}$ = { -1.03--0.97 }
$I_2/E_{\rm B}$ = { 1 3% }
$I_4/E_{\rm B}$ = { -3.09--2.91 }
$I_6/E_{\rm B}$ = { -1.03--0.97 }

{Welche Aussagen gelten bei Berücksichtigung eines Rauschenterms?
|type="[]"}
- Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
+ Ist $I_3$ der maximale $I_i§ \, &ndash;Wert, so entscheidet der Empfänger richtig.
- Es gilt unabhängig von der Stärke der Störungen $I_0 = I_6$.

{Welche Aussagen gelten für die roten Signalverläufe (mit Impulsinterferenzen)?
|type="[]"}
- Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
+ Die Signalenergien $E_i(i = 0, \ ... \, \ 7$) sind dann unterschiedlich.
- Es sind sowohl die Entscheidungsgrößen $I_i$ als auch $W_i$ geeignet.

{Wie sollte der Intergrationsbereich ($t_1$ bis $t_2$) gewählt werden?
|type="[]"}
+ Ohne Impulsinterferenzen (blau) sind $t_1 = 0$, $t_2 = 3T$ bestmöglich.
- Mit Impulsinterferenzen (rot) sind $t_1 = 0$ und $t_2 = 3T$ bestmöglich.
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Die linke Grafik zeigt das Baumdiagramm (ohne Rauschen) mit allen Endwerten. Grün hervorgehoben ist der Verlauf $i_0(t)/E_{\rm B}$ mit dem Endergebnis $I_0/E_{\rm B} = \ &ndash;1$, der zunächst linear bis $+1$ ansteigt &ndash; das jeweils erste Bit von $s_0(t)$ und $s_3(t)$ stimmen überein &ndash; und dann über zwei Bitdauern abfällt.

[[File:P_ID1466__Dig_A_3_10.png|center|frame|Baumdiagramm des Korrelationsempfängers]]

Die richtigen Ergebnisse lauten somit:
:$$I_0/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1}, \hspace{0.2cm}I_2/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= +1}, \hspace{0.2cm}I_4/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= -3}, \hspace{0.2cm}I_6/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1}
 \hspace{0.05cm}.$$


'''(2)'''&nbsp; Bei Vorhandensein von (Rausch&ndash;) Störungen nehmen die Funktionen $i_i(t)$ nicht mehr linear zu bzw. ab, sondern haben einen Verlauf wie in der oberen Grafik dargestellt. Solange $I_3 > I_{\it i&ne;3}$ ist, entscheidet der Korrelationsempfänger richtig. Bei Vorhandensein von Störungen gilt stets $I_0 &ne; I_6$ im Gegensatz zum störungsfreien Baumdiagramm. Richtig ist also nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.


'''(3)'''&nbsp; Auch hier ist nur die <u>zweite Aussage</u> zutreffend. Da nun die möglichen Sendesignale $s_i(t)$ nicht mehr aus horizontalen Abschnitten zusammengesetzt werden können, besteht auch das Baumdiagramm ohne Störungen nicht aus Geradenstücken. Da die Energien $E_i$ unterschiedlich sind &ndash; dies erkennt man zum Beispiel durch den Vergleich der Signale $s_0(t)$ und $s_2(t)$ &ndash; müssen für die Entscheidung unbedingt die korrigierten Größen $W_i$ herangezogen werden. Die Verwendung der reinen Korrelationswerte $I_i$ kann bereits ohne Störungen zu Fehlentscheidungen führen.


'''(4)'''&nbsp; Im Fall <u>ohne Impulsinterferenzen</u> (blaue Rechtecksignale) sind alle Signale auf den Bereich $0 \ ... \ 3T$ begrenzt. Außerhalb stellt das Empfangssignal $r(t)$ reines Rauschen dar. Deshalb genügt in diesem Fall auch die Integration über den Bereich $0 \ ... \ 3T$. Richtig ist <u>Antwort 1</u>.

Demgegenüber unterscheiden sich bei Berücksichtigung von Impulsinterferenzen (rote Signale) die Integranden $s_3(t) \cdot s_i(t)$ auch außerhalb dieses Bereichs. Wählt man $t_1 = \ &ndash;T$ und $t_2 = +4T$, so wird deshalb die Fehlerwahrscheinlichkeit des Korrelationsempfängers gegenüber dem Integrationsbereich $0 \ ... \ 3T$ weiter verringert.
{{ML-Fuß}}




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