View source for Aufgaben:Exercise 3.11Z: Metric and Accumutated Metric


{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Viterbi–Empfänger}}

[[File:P_ID1476__Dig_Z_3_11.png|right|frame|Berechnung der minimalen Gesamtfehlergrößen]]
Für die in der [[Aufgaben:3.11_Viterbi-Empf%C3%A4nger_und_Trellisdiagramm|Aufgabe 3.11]] behandelte Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Konstellation mit bipolaren Amplitudenkoeffizient $a_{\rm \nu} &#8712; \{+1, &ndash;1\}$ sollen die Fehlergrößen $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$ sowie  die minimalen Gesamtfehlergrößen ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(&ndash;1)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$ ermittelt werden.

Der Grundimpuls ist durch die beiden Werte $g_0$ und $g_{\rm &ndash;1}$ gegeben. Diese können ebenso wie die Detektionsabtastwerte $d_0$ und $d_1$ aus den nachfolgenden Berechnungen für die Fehlergrößen $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$ zu den Zeitpunkten $\nu = 0$ und $\nu = 1$ entnommen werden. Anzumerken ist, dass vor der eigentlichen Nachricht ($a_1$, $a_2$, $a_3$) stets das Symbol $a_0 = 0$ gesendet wird. Für den Zeitpunkt $\nu = 0$ gilt:
:$$\varepsilon_{0}(+1) \ = \ [-0.4- 0.4]^2=0.64 \hspace{0.05cm},$$
:$$\varepsilon_{0}(-1) \ = \ [-0.4+ 0.4]^2=0.00 \hspace{0.05cm}.$$

Daraus könnte bereits zum Zeitpunkt $\nu = 0$ geschlossen werden, dass mit großer Wahrscheinlichkeit $a_1 =  -\hspace{-0.05cm}1$ ist. Für den Zeitpunkt $\nu = 1$ ergeben sich folgende Fehlergrößen:
:$$\varepsilon_{1}(+1, +1) \ = \ [-0.8- 0.6 -0.4]^2=3.24
 \hspace{0.05cm},$$
:$$\varepsilon_{1}(+1, -1) \ = \ [-0.8- 0.6 +0.4]^2=1.00
 \hspace{0.05cm},$$
:$$\varepsilon_{1}(-1, +1) \ = \ [-0.8+ 0.6 -0.4]^2=0.36
 \hspace{0.05cm},$$
:$$ \varepsilon_{1}(-1, -1) \ = \ [-0.8+ 0.6 +0.4]^2=0.04
  \hspace{0.05cm}.$$

Die minimalen Gesamtfehlergrößen ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(-\hspace{-0.07cm}1)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$, die mit diesen sechs Fehlergrößen berechnet werden können, sind bereits in der Grafik eingezeichnet. Die weiteren Detektionsabtastwerte sind $d_{2}=0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}
d_{3}=0.5  \hspace{0.05cm}.$


''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Viterbi%E2%80%93Empf%C3%A4nger|Viterbi&ndash;Empfänger]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
* Alle Größen sind hier normiert zu verstehen. Gehen Sie izudem von biipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus: ${\rm Pr} (a_\nu = -\hspace{-0.05cm}1) = {\rm Pr} (a_\nu = +1)= 0.5.$
* Die Thematik wird auch im Interaktionsmodul  [[Eigenschaften des Viterbi&ndash;Empfängers]] behandelt.



===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Von welchen Detektionsabtastwerten $d_0$ und $d_1$ wurde hier ausgegangen?
|type="{}"}
$d_0 \ = \ $ { -0.412--0.388 }
$d_1\ = \ $ { -0.824--0.776 }

{Welche Grundimpulswerte wurden dabei vorausgesetzt?
|type="{}"}
$g_0\ = \ $ { 0.6 3% }
$g_{-1} \ = \ $ { 0.4 3% }

{Welche der aufgeführten Detektionsabtastwerte sind für $\nu &#8805; 1$ möglich?
|type="[]"}
+ $&plusmn;0.2,$
- $&plusmn;0.4,$
- $&plusmn;0.6,$
+ $&plusmn;1.0.$

{Geben Sie die minimalen Gesamtfehlergrößen für die Zeit $\nu = 2$ an $(d_2 = 0.1)$.
|type="{}"}
${\it \Gamma}_2(+1)\ = \ $ { 0.13 3% }
${\it \Gamma}_2(-\hspace{-0.05cm}1)\ = \ $ { 0.37 3% }

{Berechnen Sie die minimalen Gesamtfehlergrößen für die Zeit $\nu = 3$ $(d_3 = 0.5)$.
|type="{}"}
${\it \Gamma}_3(+1) \ = \ $ { 0.38 3% }
${\it \Gamma}_3(-\hspace{-0.05cm}1) \ = \ $ { 0.22 3% }
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Aus den Gleichungen auf der Angabenseite erkennt man $d_0 = \underline{&ndash;0.4}$ und $d_1 = \underline {&ndash;0.8}$.


'''(2)'''&nbsp; Die Fehlergrößen $\varepsilon_0(i)$ beinhalten den Grundimpulswert $g_{\rm &ndash;1}$, über den der Zusammenhang zwischen dem Amplitudenkoeffizienten $a_1$ und dem Detektionsabtastwert $d_0$ hergestellt wird ($g_0$ ist in diesen Gleichungen nicht enthalten). Man erkennt $g_{\rm &ndash;1}\  \underline {= 0.4}$. Aus den Gleichungen für $\nu = 1$ ist der Hauptwert $g_0 \ \underline {= 0.6}$ ablesbar. 


'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die Lösungsvorschläge <u>1 und 4</u>:
*Die möglichen Nutzabtastwerte sind $\pm g_0 \pm g_{\rm &ndash;1} = \pm 0.6 \pm0.4$, also $\underline {&plusmn;0.2}$ und $\underline {&plusmn;1.0}$. 
*Bei unipolarer Signalisierung &nbsp; &rArr; &nbsp; $a_\nu \in \{0, \hspace{0.05cm} 1\}$ würden sich dagegen die Werte $0, \ 0.4, \ 0.6$ und $1$ ergeben. 
*Der Zusammenhang zwischen bipolaren Werten $b_i$ und den unipolaren Äquivalenten $u_i$ lautet allgemein: &nbsp; $b_i = 2 \cdot u_i - 1  \hspace{0.05cm}.$


'''(4)'''&nbsp; Die Fehlergrößen ergeben sich für $\nu = 2$ unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus (3) wie folgt:
:$$\varepsilon_{2}(+1, +1)  \ = \ [0.1 - 1.0]^2=0.81,\hspace{0.2cm}
  \varepsilon_{2}(-1, +1)  = [0.1 +0.2]^2=0.09
 \hspace{0.05cm},$$
:$$\varepsilon_{2}(+1, -1)  \ = \ [0.1 -0.2]^2=0.01,\hspace{0.2cm}
  \varepsilon_{2}(-1, -1)  = [0.1 +1.0]^2=1.21
  \hspace{0.05cm}.$$

Damit lauten die minimalen Gesamtfehlergrößen:
:$${\it \Gamma}_{2}(+1) \ = \ {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{1}(+1) + \varepsilon_{2}(+1, +1),
 \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(-1) + \varepsilon_{2}(-1, +1)\right] =
   {\rm Min}\left[0.36 + 0.81, 0.04 + 0.09\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.13}
 \hspace{0.05cm},$$
:$${\it \Gamma}_{2}(-1) \ = \  {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{1}(+1) + \varepsilon_{2}(+1, -1),
 \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(-1) + \varepsilon_{2}(-1, -1)\right] = {\rm Min}\left[0.36 + 0.01, 0.04 + 1.21\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.37}
 \hspace{0.05cm}.$$

[[File:P_ID1480__Dig_Z_3_11d.png|right|frame|Berechnung der minimalen Gesamtfehlergrößen]]
<br>Im nebenstehenden Trellisdiagramm ist der Zustand &bdquo;$1$&rdquo; als &bdquo;$+1$&rdquo; und &bdquo;$0$&rdquo; als &bdquo;$&ndash;1$&rdquo; zu interpretieren. 

Dann gilt:
*${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ ist die minimale Gesamtfehlergröße unter der Hypothese, dass das nachfolgende Symbol $a_3 = +1$ sein wird. 
*Unter dieser Annahme ist $a_2 = \ &ndash;1$ wahrscheinlicher als $a_2 = +1$, wie aus dem Trellisdiagramm hervorgeht (der ankommende Pfad ist blau).
*Eine realistische Alternative zur Kombination &bdquo;$a_2 = \ &ndash;1, a_3 = +1$&rdquo; ist &bdquo;$a_2 = +1, a_3 = \ &ndash;1$&rdquo;, die zur minimalen Gesamtfehlergröße ${\it \Gamma}_2(&ndash;1) = 0.37$ führen. Hier ist der ankommende Pfad rot.


'''(5)'''&nbsp; Für den Zeitpunkt $\nu = 3$ gelten folgende Gleichungen:
:$$\varepsilon_{3}(+1, +1)  \ = \ [0.5 - 1.0]^2=0.25,\hspace{0.2cm}
  \varepsilon_{3}(-1, +1)  = [0.5 +0.2]^2=0.49
 \hspace{0.05cm},$$
:$$\varepsilon_{3}(+1, -1)  \ = \ [0.5 -0.2]^2=0.09,\hspace{0.2cm}
  \varepsilon_{3}(-1, -1)  = [0.5 +1.0]^2=2.25
  \hspace{0.05cm}.$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Gamma}_{3}(+1) \ = \ {\rm Min}\left[0.13 + 0.25, 0.37 + 0.49\right]\hspace{0.15cm}\underline {=
 0.38}  \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}
{\it \Gamma}_{3}(-1) \ = \ {\rm Min}\left[0.13 + 0.09, 0.37 + 2.25\right]\hspace{0.15cm}\underline {=
 0.22}  \hspace{0.05cm}.$$

*Bei beiden Gleichungen ist der jeweils erste Term der kleinere, wobei jeweils ${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ enthalten ist. 
*Deshalb wird der Viterbi&ndash;Empfänger mit Sicherheit $a_3 = +1$ ausgeben, ganz egal, welche Informationen er zu späteren Zeitpunkten ($\nu > 3$) noch bekommen wird.


Verfolgt man den durchgehenden Pfad im Trellisdiagramm, so sind durch die Festlegung $a_3 = +1$ auch die anderen Amplitudenkoeffizienten fix:
:$$a_1 = a_2 = \ &ndash;1.$$
{{ML-Fuß}}



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