View source for Aufgaben:Exercise 4.14: 8-PSK and 16-PSK


{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation}}

[[File:P_ID2067__Dig_A_4_14.png|right|frame|Signalraumkonstellation der 8–PSK und 16–PSK]]
Betrachtet wird nun eine Signale $s_i(t)$, die auf den Zeitbereich $0 &#8804; t &#8804; T$ begrenzt ist. Der Index $i$ durchläuft die Werte $0, \ ... \ , M&ndash;1$:
:$$s_i(t) = A \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t + { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \hspace{0.05cm}.$$

Es handelt sich hierbei um eine <i>Phasenmodulation</i> mit $M$ Signalformen. Man nennt dieses Modulationsverfahren auch <b><i>M</i>&ndash;PSK</b>. $M$ ist meist eine Zweierpotenz.

Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellation für $M = 8$ (oben) und $M = 16$ (unten). Alle Signalraumpunkte haben gleiche Energie $||\boldsymbol{s}_i||^2 = E_{\rm S}$ (&bdquo;mittlere Symbolenergie&rdquo;).

Die exakte Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit ist für $M &ne; 2$ schwierig. Angegeben werden kann dagegen stets die sogenannte <i>Union Bound</i> als obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ($p_{\rm UB} &#8805; p_{\rm S}$):
:$$  p_{\rm UB}  = 2 \cdot {\rm Q} \left ( \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right ) = 2 \cdot {\rm Q} \left (\sqrt{ \frac{ d^2}{ 2 N_0}}\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnen:
* $d$ ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten, zum Beispiel zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$. Verläuft die Entscheidungsgrenze senkrecht zur Verbindungslinie von $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ genau mittig, so ist $d/2$ der Abstand von $\boldsymbol{s}_0$ bzw. $\boldsymbol{s}_1$ von dieser Entscheidungsgrenze.
* Die Varianz des AWGN&ndash;Rauschens ist $\sigma_n^2 = N_0/2$.
* Der Faktor $2$ in obiger Grenze berücksichtigt, dass für $M > 2$ jeder Signalraumpunkt in zwei Richtungen verfälscht werden kann, zum Beispiel bei der 8&ndash;PSK das Symbol $\boldsymbol{s}_0$ in das Symbol $\boldsymbol{s}_1$ oder in das Symbol $\boldsymbol{s}_7$.
* ${\rm Q}(x)$ ist die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion, für die folgende Näherung gilt:
:$${\rm Q}(x)  \approx   \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2}
\hspace{0.05cm}.$$

In der letzten Teilaufgabe geht es um die Bitfehlerwahrscheinlichkeit. Für diese wurde im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]] unter der Voraussetzung eines <i>Graycodes</i> folgende Schranke angegeben:
:$$p_{\rm B}  \le \frac{2}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )  
 \hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichung ist allerdings nur für $M > 4$ anzuwenden. Dagegen ergibt sich
* für $M = 2$ aus der Identität mit der [[ BPSK]], und
* für $M = 4$ aus der Tatsache, dass die 4&ndash;PSK mit der 4&ndash;QAM identisch ist,


die exakte Lösung
:$$p_{\rm B}  ={\rm Q} \left (  \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )  
 \hspace{0.05cm}.$$

''Hinweise:''
* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzen mit kohärenter Demodulation]] und bezieht sich insbesondere auf die [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Mehrstufiges_Phase.E2.80.93Shift_Keying_.28M.E2.80.93PSK.29| Seite 7]]. 
* Bei der Lösung der Aufgabe können Sie folgende Gleichungen verwenden:
:$$\cos(\alpha + \beta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos(\alpha ) \cdot \cos( \beta) - \sin(\alpha ) \cdot \sin( \beta)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.25cm}
 1 - \cos(2\alpha ) = \sin^2(\alpha )\hspace{0.05cm},$$
:$$ \int_{0}^{T} \cos^2 ( 2\pi f_{\rm T}t) \,{\rm d} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm falls}\hspace{0.15cm} f_{\rm T} >> 1/T  \hspace{0.05cm}.$$

* Die Zuordnung der 8 bzw. 16 Symbole zu Binärfolgen der Länge 3 bzw. 4 nach der Graycodierung kann der Grafik entnommen werden (rote Beschriftung).




===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Wie lauten die Basisfunktionen bei der Bandpassdarstellung? $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$ seien jeweils auf den Bereich $0 &#8804; t &#8804; T$ begrenzt
|type="[]"}
- $\varphi_1(t) = \cos {(2\pi f_{\rm T}t)}$,
+ $\varphi_1(t) = (2/T)^{\rm 1/2} \cdot \cos {(2\pi f_{\rm T}t)}$,
- $\varphi_2(t) = E_{\rm S} \cdot \sin {(2\pi f_{\rm T}t)}$,
+ $\varphi_2(t) = \, &ndash;(2/T)^{\rm 1/2} \cdot \sin {(2\pi f_{\rm T}t)}$.

{Wie lauten der Inphase&ndash; und der Quadraturanteil des Signalraumpunktes $\boldsymbol{s}_i$? Welche Aussagen treffen zu?
|type="[]"}
+ $s_{\rm I \it i} = E_{\rm S}^{\rm 0.5} \cdot \cos {(2\pi \cdot i/M)}$,
- $s_{\rm I \it i} = E_{\rm S}^{\rm 0.5} \cdot \sin {(2\pi \cdot i/M)}$,
- $s_{\rm Q \it i} = E_{\rm S}^{\rm 0.5} \cdot \cos {(2\pi \cdot i/M)}$,
+ $s_{\rm Q \it i} = E_{\rm S}^{\rm 0.5} \cdot \sin {(2\pi \cdot i/M)}$.

{Wie groß ist der Abstand $d$ zwischen zwei benachbarten Signalraumpunkten? Welche Werte ergeben sich für $M = 8$ bzw. $M = 16$?
|type="{}"}
$M = 8 \text{:} \hspace{0.2cm} d$ = { 0.765 3% } $\ \cdot E_{\rm S}^{\rm 0.5}$
$M = 16 \text{:} \hspace{0.2cm} d$ = { 0.39 3% } $\ \cdot E_{\rm S}^{\rm 0.5}$

{Welcher Wert ergibt sich für die Union Bound ($p_{\rm UB}$) mit $E_{\rm S}/N_0 = 50$.
|type="{}"}
$M = 8 \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm UB}$ = { 1.4 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;4}$
$M = 16 \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm UB}$ = { 6 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;2}$

{Gilt die Aussage: &bdquo;$p_{\rm UB}$ nähert $p_{\rm S}$ um so genauer an, je größer $M$ ist&rdquo;?
|type="()"}
+ JA.
- NEIN.

{Welche Aussagen gelten hinsichtlich der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm UB}$?
|type="[]"}
+ $p_{\rm B}$ ist für $M = 2$ und $M = 4$ am kleinsten.
- $p_{\rm B}$ ist für $M = 8$ am kleinsten.
- $p_{\rm B}$ ist für $M = 16$ am kleinsten.
+ $p_{\rm B}$ ist nicht der Hauptgrund, dass man höherstufige PSK einsetzt.
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Die Signalmenge kann im Bandpassbereich mit der angegebenen trigonometrischen Umformung wie folgt dargestellt werden:
:$$s_i(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t + { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) =$$
:$$ \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos \left ( { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t  \right )-
 A \cdot \sin \left ( { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \cdot \sin \left ( 2\pi f_{\rm T}t  \right )\hspace{0.05cm}.$$

Die jeweils ersten Terme in dieser Differenz führen zum Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_i$, die jeweils zweiten zu den Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$. Hierbei ist zu beachten, dass diese jeweils energienormiert sein müssen:
:$$\int_{0}^{T} \varphi_1 ( t)^2 \,{\rm d} t = \int_{0}^{T} \left [K \cdot \cos( 2\pi f_{\rm T}t)\right ]^2 \,{\rm d} t = 1$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{K^2 \cdot T}{2} = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K = \sqrt{2/T } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 \varphi_1 ( t) = \sqrt{2/T } \cdot \cos( 2\pi f_{\rm T}t)\hspace{0.05cm}.$$

Mit gleichem Rechenweg kommt man zur zweiten Basisfunkion:
:$$\varphi_2 ( t) = -\sqrt{2/T } \cdot \sin( 2\pi f_{\rm T}t)\hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>.


'''(2)'''&nbsp; Unter Verwendung der eben berechneten Basisfunktionen kann die Signalmenge $s_i(t)$ wie folgt dargestellt werden (wiederum begrenzt auf den Bereich $0 &#8804; t &#8804; T$):
:$$s_i(t) = A \cdot \sqrt{T/2 } \cdot \cos ( 2\pi  \cdot i /M ) \cdot \varphi_1 ( t)+
 A \cdot \sqrt{T/2 } \cdot \sin ( 2\pi  \cdot i /M ) \cdot \varphi_2 ( t)
 \hspace{0.05cm}.$$

Mit der für alle $M$ Punkte gleichen Energie $E = 0.5 \cdot A^2 \cdot T$, die gleichzeitig die mittlere Signalenergie pro Symbol ($E_{\rm S}$) ist, lautet obige Gleichung
:$$s_i(t) = s_{{\rm I}i} \cdot \varphi_1 ( t)+
 s_{{\rm Q}i}  \cdot \varphi_2 ( t)$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{{\rm I}i} = \sqrt{E_{\rm S} }\cdot \cos ( 2\pi  \cdot i /M )\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 s_{{\rm Q}i} = \sqrt{E_{\rm S} }\cdot \sin ( 2\pi  \cdot i /M )\hspace{0.05cm}. $$

Die in der Grafik auf der Angabenseite für $M = 8$ bzw. $M = 16$ skizzieren Signalraumpunkte lassen sich genau in dieser Weise darstellen. Richtig sind demzufolge die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>.


'''(3)'''&nbsp; [[File:P_ID2070__Dig_A_4_14c.png|right|frame|Zur Abstandsberechnung bei 8-PSK]] Da der Abstand von einem zum nächstgelegenen Punkt für alle $i$ gleich ist, können wir $d$ beispielsweise aus den Signalraumpunkten $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbold{s}_1$ berechnen. Betrachten Sie dabei die nachfolgende Skizze. Nach dem <i>Satz von Pythagoras</i> gilt:
:$$d_{{\rm norm}}^2 \hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm} \sin^2(\frac{2\pi}{M}) + [1- \cos(\frac{2\pi}{M})]^2 =\\
\hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm} 2 \cdot [1- \cos( \frac{2\pi}{M} )] =  4 \cdot \sin^2(\pi/M )\hspace{0.05cm}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} d_{{\rm norm}}= 2 \cdot \sin({\pi}/{M }) $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} d =  2\sqrt {E_{\rm S}} \cdot \sin{\pi}/{M })\hspace{0.05cm}.$$

Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte:
:$$M = 8\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm}d  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \underline{0.765} \cdot \sqrt {E_{\rm S} } \hspace{0.05cm},$$
:$$M = 16\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm} d  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \underline{0.390} \cdot \sqrt {E_{\rm S} } \hspace{0.05cm}.$$


'''(4)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus (3) erhält man mit der vorne angegebenen Gleichung:
:$$p_{\rm S} \le  p_{\rm UB}  =  2 \cdot {\rm Q} \left [ \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0}} \right ]  \hspace{0.05cm}.$$

Mit $E_{\rm S}/N_0 = 50$ &#8658; $(2E_{\rm S}/N_0)^{\rm 0.5} = 10$ folgt daraus:
:$$M = 8\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm}p_{\rm UB}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  2 \cdot {\rm Q}  ( 10 \cdot 0.383 )= 2 \cdot {\rm Q} ( 3.83 ) \approx \underline{1.4 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm},$$
:$$ M = 16\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm} p_{\rm UB}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  2 \cdot {\rm Q}  ( 10 \cdot 0.195 )= 2 \cdot {\rm Q} ( 1.95 ) \approx \underline{6 \cdot 10^{-2}}  \hspace{0.05cm}.$$

Anzumerken ist, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit mit steigendem $M$ immer größer wird, wenn man &ndash; wie hier &ndash; von einem konstanten $E_{\rm S}/N_0$ ausgeht. Der günstigste Wert ergäbe sich für $M = 2$ (der Faktor $2$ der Union Bound ist dann nämlich nicht notwendig) u
:$$M = 2\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm}p_{\rm UB} = p_{\rm S}  = {\rm Q}  ( 10  ) \approx { 10^{-23}}.$$

Mehrstufige PSK würde also keinen Sinn machen, wenn es nicht andere Gründe für deren Anwendung gäbe, worauf in der Teilaufgabe (6) noch eingegangen wird.


'''(5)'''&nbsp; Richtig ist <u>JA</u>. Die Grafik zeigt die Konstellation für 8&ndash;PSK und 16&ndash;PSK, jeweils gültig unter der Annahme, dass $\boldsymbol{s}_0$ gesendet wurde. Die Höhenlinien der AWGN&ndash;WDF sind dann Kreise um $\boldsymbol{s}_0$.
[[File:P_ID2071__Dig_A_4_14e.png|center|frame|Zur Interpretation der Union Bound bei <i>M</i>–PSK]]

Es gelten folgende Aussagen:
* Die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ setzt sich aus den Anteilen <b>A</b>, <b>B</b> und <b>C</b> zusammen.
* Dagegen ergibt sich die &bdquo;Union Bound&rdquo; ($p_{\rm S}$) aus <b>A + B</b> (Verfälschung in das Symbol $\boldsymbol{s}_1$) plus <b>B + C</b> (Verfälschung in das Symbol $\boldsymbol{s}_{\it M&ndash;1}$).
* Damit gilt stets $p_{\rm S} = p_{\rm UB}$ &ndash; <b>B</b>. Der Anteil <b>B</b> ist aber um so kleiner, je größer $M$ ist.


'''(6)'''&nbsp; Zur Überprüfung gehen wir beispielsweise von $p_{\rm B} = 10^{\rm &ndash;4}$ aus. Daraus folgt für $M = 2$ und $M = 4$:
:$$p_{\rm B}  ={\rm Q} \left (  \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right ) = 10^{-4}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} } \approx 3.72  
 \hspace{0.05cm}.$$

Dagegen gilt mit der angegebenen Gleichung $M = 8$:
:$$p_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ \le \ \hspace{-0.1cm}  \frac{2}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { {2E_{\rm S}}}/{ N_0} }\right )=$$
:$$ \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  {2}/{3} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{3} \cdot 0.383 \cdot 3.72 \right ) \approx {2}/{3} \cdot {\rm Q} \left ( 2.46 \right ) \approx 0.46 \cdot 10^{-2} 
 \hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend erhält man für $M = 16$ &#8658; ${\rm ld} (M) = 4$:
:$$p_{\rm B} =  {2}/{4} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{4} \cdot 0.195 \cdot 3.72 \right ) \approx {1}/{2} \cdot {\rm Q} \left ( 1.45 \right ) \approx 0.48 \cdot 10^{-1} 
 \hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind also die <u>Aussagen 1 und 4</u>. Der wesentliche Vorteil einer höherstufigen PSK ist also nicht die niedrigere Bitfehlerrate, sondern der geringere Bedarf an der sehr teueren Ressource &bdquo;Bandbreite&rdquo;. Außerdem ist zu beachten, dass die Ergebnisse völlig anders sind, wenn ein (stark) verzerrender Kanal vorliegt, wie in der <i>Leitungsgebundenen Übertragungstechnik</i> üblich.
{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^4.4 Kohärente Demodulation^]]