View source for Mobile Communications/Statistical Bindings within the Rayleigh Process

 
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}}

== Einige allgemeine Bemerkungen zu AKF und LDS ==
<br>
Zur Beschreibung der inneren statistischen Bindungen zwischen den benachbarten Signalwerten $r(t)$ und $r(t+ \Delta t)$ eignet sich die [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen| Autokorrelationsfunktion]] (AKF):

::<math>\varphi_r ({\rm \Delta}t) = {1}/{2} \cdot {\rm E}\left [ r(t) \cdot r^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ]
 \hspace{0.05cm}.</math>

Gegenüber der Definition unter obigem Link sind folgende Unterschiede zu erkennen:
*Die AKF&ndash;Variable ist hier mit $\Delta t$ anstelle von$\tau$ bezeichnet, da wir in diesem Buch das &bdquo;$\tau$&rdquo; noch für die 2D&ndash;Impulsantwort $h(t, \hspace{0.05cm}\tau)$ benötigen.<br>

*Das äquivalente Tiefpass&ndash;Signal $r(t)$ ist komplex. Durch den Faktor $1/2$ bezieht sich aber die AKF $\varphi_r ({\rm \Delta}t)$ und insbesondere die Leistung $\varphi_r ({\rm \Delta}t = 0)$ auf das Bandpass&ndash;Signal $r_{\rm BP}(t)$.<br><br>

Beim <i>Rayleigh&ndash;Fading</i>&ndash;Kanalmodell gilt $r(t) = s(t) \cdot z(t)$. Damit ergibt sich für dessen AKF:

::<math>\varphi_r ({\rm \Delta}t) = {1}/{2} \cdot {\rm E}\left [ s(t) \cdot z(t) \cdot s^{\star}(t + {\rm \Delta}t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ] = \varphi_s ({\rm \Delta}t) \cdot \varphi_z ({\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.</math>

Für die AKF von Sendesignal  $s(t)$ und multiplikativem Faktor  $s(t)$  gelten folgende Definitionen:

::<math> \varphi_s ({\rm \Delta}t)= {1}/{2} \cdot {\rm E}\left [ s(t) \cdot s^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ]
 \hspace{0.05cm},</math>
::<math>\varphi_z ({\rm \Delta}t) =   {\rm E}\left [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ]\hspace{0.05cm}.</math>

Der Faktor $1/2$ ist nur bei der AKF&ndash;Berechnung von BP&ndash;Signalen im äquivalenten TP&ndash;Bereich zu berücksichtigen, nicht jedoch bei $\varphi_z ({\rm \Delta}t)$. Ansonsten würde sich $\varphi_r ({\rm \Delta}t) \ne  \varphi_s ({\rm \Delta}t)  \cdot \varphi_z ({\rm \Delta}t)$ ergeben.<br>

Aufgrund der Definition $\varphi_z ({\rm \Delta}t) =   {\rm E}\left [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ]$ ist die AKF auch bei einer komplexen Zeitfunktion $z(t)$ stets reell und zudem bezüglich $ {\rm \Delta}t$ gerade. Berücksichtigen wir weiterhin, dass
*$z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot  y(t) $  ist,<br>

*$x(t)$ und $y(t)$ gleiche statistische Eigenschaften aufweisen, und<br>

*es zwischen $x(t)$ und $y(t)$ keine statistischen Bindungen gibt,<br><br>

so lässt sich für die AKF des komplexen Faktors   $z(t)$ schreiben:

::<math>\varphi_z ({\rm \Delta}t) = \varphi_x ({\rm \Delta}t) + \varphi_y ({\rm \Delta}t) = 2 \cdot \varphi_x ({\rm \Delta}t) 
 \hspace{0.05cm}.</math>

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Fazit:}$&nbsp; Daraus ergibt sich folgende Vereinfachung:
*Zur Ermittlung der statistischen Bindungen der komplexen Größe $z(t)$ muss nur einer der beiden Gaußschen Zufallsprozesse betrachtet werden. Im Folgenden sei dies $x(t)$.<br>

*Wir berechnen zuerst die Autokorrelationsfunktion $\varphi_x ({\rm \Delta}t) = {\rm E}[x(t) \cdot x(t + {\rm \Delta}t)]$ des Realteils und anschließend auch dessen Leistungsdichtespektrum (LDS)

::<math>{\it \Phi}_x (f_{\rm D}) = \int_{-\infty}^{+\infty}  \varphi_x ({\rm \Delta}t) \cdot 
 {\rm e} ^{ -{\rm j} \cdot 2 \pi \cdot f_{\rm D} \cdot {\rm \Delta}t} \hspace{0.15cm}{\rm d}({\rm \Delta}t)
 \hspace{0.3cm}  \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.3cm} \varphi_x ({\rm \Delta}t)  
 \hspace{0.05cm}.</math>

*Für die entsprechenden Kenngrößen des komplexen Zufallsprozesses $z(t)$ gilt dann:

::<math>\varphi_z ({\rm \Delta}t) =  2 \cdot \varphi_x ({\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 {\it \Phi}_z (f_{\rm D}) =  2 \cdot {\it \Phi}_x (f_{\rm D})  
 \hspace{0.05cm}.</math>

*Die LDS&ndash;Variable ist die [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung|Dopplerfrequenz]] $f_{\rm D}$, da beim Mobilfunk der <i>Dopplereffekt</i> die Ursache der statistischen Bindungen ist. Dieser Effekt wird auf der nächsten Seite erläutert.}}

== Phänomenologische Beschreibung des Dopplereffekts==
<br>
Die statistischen Bindungen innerhalb der reellen &bdquo;Signale&rdquo; $x(t)$ und  $y(t)$ bzw. innerhalb der komplexen Größe $z(t)$ sind auf den Dopplereffekt zurückzuführen. Dieser wurde Mitte des 19. Jahrhunderts von dem österreichischen Mathematiker, Physiker und Astronomen [https://de.wikipedia.org/wiki/Christian_Doppler Christian Andreas Doppler] theoretisch vorhergesagt und nach ihm benannt.<br>

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Definition:}$&nbsp; Als '''Dopplereffekt''' bezeichnet man die Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen jeder Art, die sich dann ergibt, wenn sich Quelle (Sender) und Beobachter (Empfänger) relativ zueinander bewegen.}}<br>

Qualitativ lässt sich der Dopplerreffekt wie folgt beschreiben:
*Nähern sich Beobachter und Quelle einander an, so erhöht sich aus Sicht des Beobachters die Frequenz, egal, ob sich der Beobachter bewegt oder die Quelle oder beide.<br>

*Entfernt sich die Quelle vom Beobachter oder der Beobachter von der Quelle, so nimmt der Beobachter eine niedrigere Frequenz wahr, als tatsächlich gesendet wurde.<br><br>

{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir betrachten die Tonhöhenänderung des <i>Martinhorns</i> eines Rettungswagens. Solange sich das Fahrzeug nähert, hört der Beobachter einen höheren Ton als bei stehendem Wagen. Entfernt sich der Rettungswagen, so wird ein tieferer Ton wahrgenommen.<br>

Den gleichen Effekt stellt man auch bei einem <i>Autorennen</i> fest. Die Frequenzänderungen und der &bdquo;Sound&rdquo; sind dabei um so deutlicher, je schneller die Autos fahren.}}<br>

Den Sachverhalt kann man sich in diesem Lerntutorial mit dem interaktiven Applet [[Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]] verdeutlichen.

[[File:P ID2113 Mob T 1 3 S2a v1.png|right|frame|Ausgangslage: '''(S)''' und '''(E)''' bewegen sich nicht|class=fit]]
Einige Eigenschaften dieses noch aus dem Physikunterricht bekannten Effekts sollen nun anhand von Bildschirmabzügen dieser Animation dargestellt werden, wobei natürlich die dynamischen Programmeigenschaften verloren gehen.<br>

Die erste Grafik zeigt die Ausgangssituation: 
*Der ruhende Sender '''(S)''' gibt die konstante Frequenz $f_{\rm S}$ ab. 
*Die Wellenausbreitung ist in der Grafik durch konzentrische Kreise um '''(S)''' veranschaulicht. 
*Beim ebenfalls ruhenden Empfänger '''(E)''' kommt dann natürlich die Frequenz $f_{\rm E} = f_{\rm S}$ an.
<br>
[[File:P ID2114 Mob T 1 3 S2b v2.png|left|frame|Dopplereffekt: '''(S)''' bewegt sich auf ruhenden '''(E)''' zu]]
<br><br>Der nächste Schnappschuss zeigt den Fall, dass sich der Sender '''(S)''' mit konstanter Geschwindigkeit $v$ von seinem Startpunkt '''(S)'''<sub>0</sub> auf den Empfänger '''(E)''' zu bewegt hat.<br>
*Das Diagramm zeigt, dass die vom Empfänger wahrgenommene Frequenz $f_{\rm E}$ (blaue Schwingung) um etwa $20\%$ größer ist als die Frequenz $f_{\rm S}$ am Sender (rote Schwingung). 
*Aufgrund der Bewegung des Senders sind nun die Kreise nicht mehr konzentrisch.
<br>
[[File:P ID2115 Mob T 1 3 S2c v2.png|right|frame|Dopplereffekt: '''(S)''' entfernt sich vom ruhenden '''(E)''' ]]
<br><br><br><br><br><br><br><br>
Die rechts dargestellte Szenerie ergibt sich, wenn sich der Sender '''(S)''' vom Empfänger '''(E)''' entfernt:
* Dann ist die Empfangsfrequenz $f_{\rm E}$ (blaue Schwingung) um etwa 20% kleiner als die gesendete Frequenz $f_{\rm S}$.<br>
<br clear=all>
{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Zu berücksichtigen ist allerdings:}$&nbsp; 
*Alle diese Angaben gelten für unrealistisch große Geschwindigkeit $(v = c/5)$, wobei $c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$ die Lichtgeschwindigkeit angibt. Beim Mobilfunk sind die Abweichungen zwischen $f_{\rm S}$ und $f_{\rm E}$ meist nur ein Bruchteil der Sendefrequenz.
*Die exakte Gleichung für die Empfangsfrequenz $f_{\rm E}$ unter Einbeziehung eines Winkels $\alpha$ zwischen der Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie Sender&ndash;Empfänger lautet:
::<math>f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c \cdot \cos(\alpha)} 
\hspace{0.05cm}.</math>
*Wie in der [[Aufgabe 1.4Z]] gezeigt werden soll, kann man bei realistischen Geschwindigkeiten $(v \ll c)$ von der folgenden Näherung ausgehen, bei der die durch die [https://de.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A4tstheorie Relativitätstheorie] beschriebenen Effekte unberücksichtigt bleiben:
::<math>f_{\rm E} \approx f_{\rm S} \cdot \left [1 +{v}/{c} \cdot \cos(\alpha) \right ] \hspace{0.05cm}.</math>}}


== Dopplerfrequenz und deren Verteilung==
<br>
Wir fassen die Aussagen der letzten Seite nochmals kurz zusammen, wobei wir von der zweiten, also der nichtrelativistischen Gleichung ausgehen:
*Bei einer Relativbewegung zwischen Sender (Quelle) und Empfänger (Beobachter) kommt es zu einer Verschiebung um die Dopplerfrequenz $f_{\rm D} =  f_{\rm E} - f_{\rm S}$. 

*Eine positive Dopplerfrequenz $(f_{\rm E} > f_{\rm S})$ ergibt sich dann, wenn sich Sender und Empfänger (relativ) aufeinander zu bewegen. Eine negative Dopplerfrequenz $(f_{\rm E} < f_{\rm S})$ bedeutet, dass sich Sender und Empfänger (direkt oder unter einem Winkel) voneinander entfernen.<br>

*Die maximale Frequenzverschiebung tritt auf, wenn sich Sender und Empfänger direkt aufeinander zu bewegen &nbsp; &#8658; &nbsp; Winkel $\alpha = 0^\circ$. Dieser Maximalwert hängt in erster Näherung von der Sendefrequenz $ f_{\rm S}$ und der Geschwindigkeit $v$ ab ($c$ ist die Lichtgeschwindigkeit):

::<math>f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = f_{\rm S} \cdot  {v}/{c}  \hspace{0.05cm}.</math>

*Erfolgt die Relativbewegung unter einem beliebigen Winkel $\alpha$ zur Verbindungslinie Sender&ndash;Empfänger, so entsteht eine Dopplerverschiebung um 

::<math>f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S} = f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot  \cos(\alpha)  
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} - \hspace{-0.05cm}f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \le f_{\rm D} \le + \hspace{-0.05cm}f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}
 \hspace{0.05cm}.</math>


{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Fazit:}$&nbsp; Unter der Annahme gleichwahrscheinlicher Bewegungsrichtungen (Gleichverteilung für den Winkel $\alpha$ im Bereich $- \pi \le \alpha \le +\pi$ ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (hier mit &bdquo;wdf&rdquo; bezeichnet) der Dopplerfrequenz im Bereich $- f_\text{D, max} \le f_{\rm D} \le + f_\text{D, max}$:

::<math>{\rm wdf}(f_{\rm D}) = \frac{1}{2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot \sqrt {1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 }  }
 \hspace{0.05cm}.</math>

Außerhalb des Bereichs  zwischen $-f_{\rm D}$ und $+f_{\rm D}$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte identisch 0.}}<br>

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Herleitung:}$&nbsp;Die entstehende Dopplerfrequenz in Abhängigkeit des Bewegungswinkels $\alpha$   lautet:

::<math>f_{\rm D} = f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot  \cos(\alpha) = g(\alpha) 
 \hspace{0.05cm}.</math>

Wir bezeichnen diese Funktion mit $g(\alpha)$ und gehen davon aus, dass $\alpha$ alle Winkelwerte zwischen $\pm \pi$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annimmt. Dann ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit der Dopplerfrequenz entsprechend dem Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]] im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;:

[[File:P ID3103 Mob T 1 3 S3 v2.png|right|frame|Zur Berechnung der WDF der Dopplerfrequenz|class=fit]]
::<math>{\rm wdf}(f_{\rm D})=\frac{ {\rm wdf}(\alpha)}{\vert g'(\alpha)\vert}\Bigg \vert_{\hspace{0.1cm} \alpha=h(f_{\rm D})} 
 \hspace{0.05cm}</math>

Verwendet sind hier 
*die  Ableitung $g'(\alpha)= - f_\text{D, max} \cdot \sin(\alpha)$ 
*und die Umkehrfunktion $ \alpha = h(f_{\rm D})$. 

Im Beispiel lautet die Umkehrfunktion: 
:$$ \alpha = \arccos(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}).$$<br>

<br> <br> <br> <br>  <br> <br>   
Die Grafik veranschaulicht den Rechengang zur Bestimmung der Dopplerfrequenz&ndash;WDF: 

*Da die Kennlinie $ g(\alpha) = f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot  \cos(\alpha)$  zwischen der Dopplerfrequenz $f_{\rm D}$ und dem Winkel $\alpha$ auf  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$ begrenzt ist, ist für $f_{\rm D}$ kein Wert außerhalb dieses Bereichs möglich.<br>

*Bei der Transformation von Zufallsgrößen muss zwischen Bereichen mit positiver und negativer Steigung der Transformationskennlinie unterschieden werden. Die $\alpha$&ndash;Werte zwischen$-\pi$ und $0$ (positive Steigung der Transformationskennlinie) liefern das Ergebnis

::<math>{\rm wdf}(f_{\rm D})=\frac{1/(2\pi)}{f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot  \sin(\alpha)} \Bigg \vert_{\hspace{0.1cm} \alpha=\arccos(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})} = \frac{(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  )^{-1} }{  \sin(\arccos(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}))} = \frac{1}{2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 }  }
 \hspace{0.05cm}.</math>
*Aus Symmetriegründen trägt der positive $\alpha$&ndash;Bereich in gleicher Weise bei, so dass im inneren Bereich insgesamt gilt:

::<math>{\rm wdf}(f_{\rm D}) = \frac{1}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 }  }
 \hspace{0.05cm}.</math>

*Winkel im Bereich um $\alpha = \pm \pi/2$ führen zu einer kleinen Dopplerfrequenz &nbsp; &#8658; &nbsp; $f_{\rm D} \approx 0$ (violette Markierung). Aufgrund der relativ großen Steigung der cosinusförmigen Kennlinie $g(\alpha)$ bei $\alpha = \pm \pi/2$ ist der WDF&ndash;Wert bei $f_{\rm D} \approx 0$ allerdings sehr klein.<br>

*Kleine Winkel (um $\alpha \approx 0$) führen dagegen zur maximalen Dopplerfrequenz &nbsp; &#8658; &nbsp; $f_{\rm D} \approx f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$ (rote Markierung). Aufgrund der nahezu horizontalen Kennlinie $g(\alpha)$ ist hier die $f_{\rm D}$&ndash;WDF deutlich größer. Für $f_{\rm D} \equiv f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$ ergibt sich sogar ein unendlich großer Wert.<br>

*Winkel um $\alpha = \pm \pi$ führen zur Dopplerfrequenz $f_{\rm D} \approx -f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$ (grüne Markierung). Auch hier ist die Kennlinie nahezu horizontal und es ergibt sich wiederum ein großer WDF&ndash;Wert.}}<br><br>

== AKF und LDS bei Rayleigh–Fading ==
<br>
Wir setzen nun eine in alle Richtungen gleich abstrahlende Antenne voraus. Dann ist das Doppler&ndash;LDS formgleich mit der WDF der Dopplerfrequenzen. Für ${\it \Phi}_x(f_{\rm D})$ muss die WDF noch mit der Leistung $\sigma^2$ des Gaußprozesses multipliziert werden, und für das resultierende LDS ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$ des komplexen Faktors $z(t) =  x(t) + {\rm j} \cdot y(t) $ gilt nach Verdoppelung:

::<math>{\it \Phi}_z(f_{\rm D}) =
\left\{ \begin{array}{c} (2\sigma^2)/( \pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}) \cdot \left [  1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 \right ]^{-0.5} \\
0  \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} |f_{\rm D}| \le f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}
\\  {\rm sonst} \\ \end{array}
 \hspace{0.05cm}.</math>

Man bezeichnet diesen Verlauf nach [http://ethw.org/William_C._Jakes,_Jr. William C. Jakes Jr.] als das '''Jakes&ndash;Spektrum'''. Die Verdoppelung ist notwendig, da wir bisher nur den Beitrag des Realteils  $x(t)$ betrachtet haben. <br>

Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) erhält man nach [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation:]]

::<math>\varphi_z ({\rm \Delta}t) =  2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm},</math>

mit der <i>Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung</i> (Definition und Reihenentwicklung):

::<math>{\rm J }_0 (u) = \frac{1}{ 2\pi} \cdot  \int_{0}^{2\pi} {\rm e }^{- {\rm j }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}u \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\cos(\alpha)} \,{\rm d} \alpha \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm}
 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot (u/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)}
 \hspace{0.05cm}.</math>

Die Zahlenwerte dieser Funktion erhalten Sie über [[Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung|dieses Applet]]. <br>

[[File:P_ID2117__Mob_T_1_3_S4_v2.png|right|frame|Doppler–LDS und Zeitfunktion (Betrag in dB) bei Rayleigh-Fading mit Dopplereffekt]]
{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Links dargestellt ist das Jakes&ndash;Spektrum   
*für $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = 50 \ \rm Hz$ (blaue Kurve) bzw. 
*für  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = 100 \ \rm Hz$ (rote Kurve).
 

Beim [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM#Zellularstruktur_von_GSM|GSM&ndash;D&ndash;Netz]] $(f_{\rm S} = 900 \ \rm MHz)$ entspricht dies den Geschwindigkeiten $v = 60 \ \rm  km/h$ bzw. $v = 120 \ \rm  km/h$. Beim E&ndash;Netz $(f_{\rm S} = 1.8 \ \rm GHz)$ sind die Geschwindigkeiten nur halb so groß.<br>


Das rechte Bild zeigt den logarithmierten Betrag von $z(t)$. Man erkennt das doppelt so schnelle Fading des roten Kurvenverlaufs. Die Rayleigh&ndash;WDF ist in beiden Fällen gleich.}}<br>


==Aufgaben zum Kapitel==
<br>
[[Aufgaben:1.4_Rayleigh–WDF_%26_Jakes–LDS|Aufgabe 1.4: Rayleigh–WDF & Jakes–LDS]]

[[Aufgaben:1.4Z_Zum_Dopplereffekt|Aufgabe 1.4Z: Zum Dopplereffekt]]


[[Aufgaben:1.5 Nachbildung des Jakes–Spektrums|A1.5 Nachbildung des Jakes–Spektrums]]

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