View source for Aufgaben:Exercise 3.4: Systematic Convolution Codes

{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Algebraische und polynomische Beschreibung}}

[[File:P_ID2629__KC_A_3_4.png|right|frame|Vorgegebene Filterstrukturen]]
Man spricht von einem systematischen Faltungscode der Rate $R = 1/2$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $k = 1, \ n = 2$, wenn das Codebit $x_i^{(1)}$ gleich dem momentan anliegenden Informationsbit $u_i$ ist. 

Die Übertragungsfunktionsmatrix eines solchen Codes lautet:
:$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} G^{(2)}(D) \hspace{0.05cm}\big ) 
 \hspace{0.05cm}.$$

Der in der oberen Grafik dargestellte <b>Coder A</b> ist sicher nicht systematisch, da für diesen $G^{(1)}(D) &ne; 1$ gilt. Zur Herleitung der Matrix $\mathbf{G}(D)$ verweisen wir auf ein [[früheres Beispiel]], in dem für unseren Standard&ndash;Rate&ndash;1/2&ndash;Coder mit Gedächtnis $m = 2$ ermittelt wurde:
:$${\boldsymbol{\rm G}}(D) \hspace{-0.15cm} & = & \hspace{-0.15cm} \big ( \hspace{0.05cm} G^{(1)}(D)\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} G^{(2)}(D) \hspace{0.05cm}\big ) =\\
 & = & \hspace{-0.15cm} \big ( \hspace{0.05cm} 1 + D + D^2\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} 1 +  D^2 \hspace{0.05cm}\big ) 
 \hspace{0.05cm}.$$

Der <b>Coder A</b> unterscheidet sich gegenüber diesem Beispiel nur durch Vertauschen der beiden Ausgänge. Lautet die Übertragungsfunktionsmatrix eines Codes
:$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} G^{(1)}(D)\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} G^{(2)}(D) \hspace{0.05cm}\big ) 
 \hspace{0.05cm},$$

so gilt für die äquivalente systematische Repräsentation dieses Rate&ndash;1/2&ndash;Faltungscodes allgemein:
:$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} {G^{(2)}(D)}/{G^{(1)}(D)} \hspace{0.05cm}\big ) 
 \hspace{0.05cm}.$$

In der Teilaufgabe (3) ist zu prüfen, welcher der systematischen Anordnungen (entweder <b>Code B</b> oder <b>Code C</b> oder auch beide) äquivalent zum Code A ist.

''Hinweis:'' 
* Die Aufgabe bezieht sich auf die Thematik von [[Kapitel 3.2]].



===Fragebogen===
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+ correct
- false

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|type="{}"}
$xyz \ = \ ${ 5.4 3% } $ab$
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===Musterlösung===
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'''(1)'''&nbsp; 
'''(2)'''&nbsp; 
'''(3)'''&nbsp; 
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'''(5)'''&nbsp; 
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[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^3.2 Algebraische und polynomische Beschreibung^]]