View source for Aufgaben:Exercise 4.09: Recursive Systematic Convolutional Codes

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[[File:P_ID3040__KC_A_4_9_v1.png|right|frame|Zustandsübergangsdiagramm eines RSC–Codes]]
In der [[Aufgaben:4.08_Wiederholung_zu_den_Faltungscodes|Aufgabe A4.8]] wurden bereits wichtige Eigenschaften von Faltungscodes aus dem Zustandsübergangsdiagramm abgeleitet, wobei von einer nichtrekursiven Filterstruktur ausgegangen wurde.

Nun wird ein Rate&ndash;1/2&ndash;RSC&ndash;Code in ähnlicher Weise behandelt. Hierbei steht &bdquo;RSC&rdquo; für &bdquo;Recursive Systematic Convolutional&rdquo;.

Die Übertragungsfunktionsmatrix eines RSC&ndash;Faltungscodes kann wie folgt angegeben werden:
:$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \left [  1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} G^{(2)}(D)/G^{(1)}(D)  \right ] 
 \hspace{0.05cm}.$$

Ansonsten gelten hier die genau gleichen Voraussetzungen wie bei Aufgabe A4.8. Wir verweisen wieder auf folgende Theorieseiten:

[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Systematische_Faltungscodes|Systematische Faltungscodes (1)]]

[[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Darstellung_im_Zustands.C3.BCbergangsdiagramm|Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm (1)]]

[[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Definition_der_freien_Distanz|Definition der freien Distanz (1)]]

[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#GF.282.29.E2.80.93Beschreibungsformen_eines_Digitalen_Filters|GF(2)&ndash;Beschreibungsformen eines Digitalen Filters (2)]]

[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder| Anwendung der $D$&ndash;Transformation auf Rate&ndash;1/n&ndash;Faltungscodes (2)]]

[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Filterstruktur_bei_gebrochen.E2.80.93rationaler_.C3.9Cbertragungsfunktion|Filterstruktur bei gebrochen&ndash;rationaler Übertragungsfunktion]]

Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand $S_0$ ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet &bdquo;$u_i | x_i^{(1)}x_i^{(2)}$&rdquo;. Bei einem systematischen Code gilt dabei:
* Das erste Codebit ist identisch mit dem Informationsbit: $\hspace{0.2cm} x_i^{(1)} = u_i &#8712; \{0, \, 1\}$.
* Das zweite Codebit ist das Prüfbit (Paritybit): $\hspace{0.2cm} x_i^{(2)} = p_i &#8712; \{0, \, 1\}$.


''Hinweise:''
* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes|Grundlegendes zu den Turbocodes]].
* Ähnliche Aufgaben finden Sie in den Kapiteln 3.1 bis 3.3.
* In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende vektoriellen Größen verwendet:
** Informationssequenz: $\hspace{0.2cm} \underline{u} = (u_1, \, u_2, \, ...)$,
** Paritysequenz: $\hspace{0.2cm} \underline{p} = (p_1, \, p_2, \, ...)$,
** Impulsantwort: $\hspace{0.2cm} \underline{g} = (g_1, \, g_2, \, ...); \hspace{0.2cm}$ diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$.



===Fragebogen===
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$xyz \ = \ ${ 5.4 3% } $ab$
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===Musterlösung===
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[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^4.3 Grundlegendes zu den Turbocodes^]]