View source for Aufgaben:Exercise 4.11: Analysis of Parity-check Matrices

{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes}}

[[File:P_ID3067__KC_A_4_11_v2.png|right|frame|Produktcode und dessen Beschreibung durch die Prüfmatrix]]
In nebenstehender Grafik ist oben ein Produktcode angegeben, der durch folgende Prüfgleichungen gekennzeichnet ist:
:$$p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
p_2 = u_3 \oplus u_4\hspace{0.05cm},$$
:$$p_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_3\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
p_4 = u_2 \oplus u_4\hspace{0.05cm}.$$

Darunter sind die Prüfmatrizen $\mathbf{H}_1, \ \mathbf{H}_2$ und $\mathbf{H}_3$ angegeben. Zu prüfen ist, welche der Matrizen den gegebenen Produktcode entsprechend der Gleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{H}^{\rm T}$ richtig beschreiben, wenn von folgenden Definitionen ausgegangen wird:
* dem Codewort $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$,
* dem Codewort $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.


Alle $\mathbf{H}$&ndash;Matrizen beinhalten weniger Einsen als Nullen. Dies ist ein Kennzeichen der so genannten <i>Low&ndash;density Parity&ndash;check Codes</i> (kurz: LDPC&ndash;Codes). Bei den praxisrelevanten LDPC&ndash;Codes ist der Einsen&ndash;Anteil allerdings noch geringer als bei diesen Beispielen.

Weiterhin ist für die Aufgabe anzumerken:
* Ein $(n, \ k)$&ndash;Blockcode ist systematisch, wenn die ersten $k \ \rm Bit$ des Codewortes das Informationswort $\underline{u}$ beinhaltet. Mit der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ muss dann die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ mit einer $k &times k$&ndash;Diagonalmatrix enden.
* Ein <i>regulärer Code</i> (hinsichtlich LDPC&ndash;Anwendung) liegt vor, wenn das Hamming&ndash;Gewicht aller Zeilen &nbsp;&#8658;&nbsp; $w_{\rm Z}$ und das Hamming&ndash;Gewicht aller Spalten &nbsp;&#8658;&nbsp; $w_{\rm S}$ jeweils gleich ist. Andernfalls spricht man von einem <i>irregulären LDPC&ndash;Code</i>.
* Die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ eines herkömmlichen linearen $(n, \ k)$&ndash;Blockcodes besteht aus exakt $m = n - k$ Zeilen und $n$ Spalten. Bei den LDPC&ndash;Codes lautet dagegen die Forderung: $m &#8805; n - k$. Das Gleichheitszeichen trifft dann zu, wenn die $m$ Prüfgleichungen statistisch unabhängig sind.
* Aus der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ lässt sich eine untere Schranke für die Coderate $R$ angeben:
:$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]}
\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}
{\rm E}[w_{\rm S}] =\frac{1}{n} \cdot  \sum_{i = 1}^{n}w_{\rm S}(i)
\hspace{0.5cm}{\rm und}\hspace{0.5cm}
{\rm E}[w_{\rm Z}] =\frac{1}{m} \cdot  \sum_{j = 1}^{ m}w_{\rm Z}(j)
\hspace{0.05cm}.$$

# Diese Gleichung gilt für reguläre und irreguläre LDPC&ndash;Codes gleichermaßen, wobei den regulären Codes ${\rm E}[w_{\rm S}] = w_{\rm S}$ und ${\rm E}[w_{\rm Z}] = w_{\rm Z}$ berücksichtigt werden kann.


''Hinweis:''
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes| Grundlegendes zu den Low&ndash;density Parity&ndash;check]]


===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Welche Prüfmatrix beschreibt den vorgegebenen Produktcode (obere Skizze)?
|type="[]"}
+ $\mathbf{H}_1$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$.
- $\mathbf{H}_1$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.
+ $\mathbf{H}_2$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.
- $\mathbf{H}_3$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.

{Für die restlichen Teilaufgaben soll stets von $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ ausgegangen werden. Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$?
|type="[]"}
+ Der Code ist systematisch.
- Der Code ist regulär.
- Für die Coderate gilt $R > 1/2$.
+ Für die Coderate gilt $R = 1/2$.

{Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix $\mathbf{H}_3$?
|type="[]"}
- Es ist kein Zusammenhang zwischen $\mathbf{H}_1$ und $\mathbf{H}_3$ erkennbar.
+ $\mathbf{H}_3$&ndash;Zeilen sind Linearkombinationen von je zwei $\mathbf{H}_1$&ndash;Zeilen.
+ Die vier Prüfgleichungen gemäß $\mathbf{H}_3$ sind linear unabhängig.

{Welche Aussagen gelten für den durch $\mathbf{H}_3$ gekennzeichneten Code?
|type="[]"}
- Der Code ist systematisch.
+ Der Code ist regulär.
+ Für die Coderate gilt $R &#8805; 1/2$.
+ Die Coderate ist $R = 1/2$.
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Mit der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ bezeichnet die Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$ folgende Prüfgleichungen:
:$$u_1 \oplus u_2 \oplus p_1 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
u_3 \oplus u_4 \oplus p_2 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
u_1 \oplus u_3 \oplus p_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
u_2 \oplus u_4 \oplus p_4 = 0\hspace{0.05cm}.$$

Dies entspricht genau den vorne getroffenen Annahmen. Das gleiche Ergebnis erhält man für $\mathbf{H}_2$ und der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.

Dagegen liefern bei gleicher Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$ die beiden anderen Prüfmatrizen keinen sinnvollen Gleichungssatz.
* Entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$:
:$$u_1 \oplus p_1 \oplus u_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
u_2 \oplus p_2 \oplus p_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
p_1 \oplus p_2 \oplus p_4 = 0\hspace{0.05cm},$$
* entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_3$:
:$$u_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_3  \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
u_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_2  \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_3  \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm}u_4  \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}  0\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
p_1  \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_2  \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_3  \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm}u_4  \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}  0\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
p_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_3  \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_4  \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}  0\hspace{0.05cm}.$$


'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
* Der Code ist systematisch, weil $\mathbf{H}_1$ mit einer $4 &times 4$&ndash;Diagonalmatrix endet.
* Bei einem regulären (LDPC)&ndash;Code müssten in jeder Zeile und in jeder Spalte gleich viele Einsen sein. Die erste Bedingung ist erfüllt $(w_{\rm Z} = 3)$, nicht aber die zweite. Vielmehr gibt es (gleich oft) eine Eins bzw. zwei Einsen pro Spalte &nbsp;&#8658;&nbsp; ${\rm E}[w_{\rm S}] = 1.5$.
* Bei einem irregulären Code lautet die untere Schranke für die Coderate:
:$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]}
= 1 - \frac{1.5}{3} = 1/2
\hspace{0.05cm}.$$

* Wegen der gegebenen Codestruktur ($k = 4$ Informationsbits, $m = 4$ Prüfbits &nbsp;&#8658;&nbsp; $n = 8$ Codebits) ist hier die Coderate auch in der herkömmlichen Form angebbar: $R = k/n$ &nbsp;&#8658;&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 4</u> im Gegensatz zur Antwort 3.


'''(3)'''&nbsp; Die $\mathbf{H}_3$&ndash;Zeilen ergeben sich aus Linearkombinationen von $\mathbf{H}_1$&ndash;Zeilen:
* Die erste $\mathbf{H}_3$&ndash;Zeile ist die Summe von Zeile 1 und Zeile 4.
* Die zweite $\mathbf{H}_3$&ndash;Zeile ist die Summe von Zeile 2 und Zeile 3.
* Die dritte $\mathbf{H}_3$&ndash;Zeile ist die Summe von Zeile 1 und Zeile 3.
* Die vierte $\mathbf{H}_3$&ndash;Zeile ist die Summe von Zeile 2 und Zeile 4.


Durch Linearkombinationen werden aus den vier linear unabhängigen Gleichungen bezüglich $\mathbf{H}_1$ nun vier linear unabhängige Gleichungen bezüglich $\mathbf{H}_3$. Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>.


'''(4)'''&nbsp; Hier sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u> richtig:
* Wäre der durch $\mathbf{H}_3$ beschriebene Code systematisch, müsste $\mathbf{H}_3$ mit einer $4 &times 4$&ndash;Diagonalmatrix enden. Dies ist hier nicht der Fall.
* Die Hamming&ndash;Gewichte aller Zeilen sind gleich $(w_{\rm Z} = 4)$ und auch alle Spalten haben jeweils das gleiche Hamming&ndash;Gewicht $(w_{\rm S} = 2)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; der Code ist regulär.
* Daraus ergibt sich für die Coderate $R &#8805; 1 - 2/4 = 1/2$. Da aber auch die vier Zeilen von $\mathbf{H}_3$ vier unabhängige Gleichungen beschreiben, gilt ebenfalls das Gleichheitszeichen &nbsp;&#8658;&nbsp; $R = 1/2$.
{{ML-Fuß}}




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