View source for Aufgaben:Exercise 1.7: Ternary Markov Chain


{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Markovketten
}}

[[File:P_ID453__Sto_A_1_7.png|right|Ternäre Markovkette]]
Wir betrachten eine Markovkette mit den drei möglichen Ereignissen $A$, $B$ und $C$ 
*Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind der Grafik zu entnehmen. 
*Ein Übergang von $A$ nach $C$ und umgekehrt ist somit nicht möglich:

:$$p_\text{AC} = p_\text{CA} = 0.$$ 

Die drei Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Startzeitpunkt $\nu = 0$ sind wie folgt gegeben:
 
:$${\rm Pr}(A_0) = 0,$$

:$${\rm Pr}(B_0) = 1,$$

:$${\rm Pr}(C_0) = 0.$$
 
''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
*Insbesondere wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten#Matrix-Vektordarstellung|Matrix-Vektordarstellung]] Bezug genommen.
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Geben Sie die Übergangsmatrix ${\mathbf{P}}$ und die Übergangswahrscheinlichkeiten $p_\text{AA}$, $p_\text{BB}$ und $p_\text{CC}$ an.
|type="{}"}
$p_\text{AA} \ = $ { 0.25 3% }
$p_\text{BB} \ = $ { 0. }
$p_\text{CC} \ = $ { 0.75 3% }

{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $\nu = 1$.
|type="{}"}
${\rm Pr}(A_1) \ = $ { 0.75 3% }

{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $\nu = 2$.
|type="{}"}
${\rm Pr}(A_2) \ = ${ 0.1875 3% }

{Welche Wahrscheinlichkeiten werden sich sehr lange nach Einschalten der Markovkette einstellen $(ν \rightarrow \infty)$? Wie groß ist insbesondere die ergodische Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A)$?
|type="{}"}
${\rm Pr}(A) \ =$ { 0.333 3% }




</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Allgemein bzw. in diesem Sonderfall muss gelten:
:$$p_{\rm AA} = 1 - p_{\rm AB} - p_{\rm AC} \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm} p_{\rm AA} = 1 - 0.75 -0 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25},$$
:$$p_{\rm BB} = 1 - p_{\rm BA} - p_{\rm BC} \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm} p_{\rm BB} = 1 - 0.75 -0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0},$$
:$$p_{\rm CC} = 1 - p_{\rm CA} - p_{\rm CB} \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm} p_{\rm CC} = 1 - 0 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75}.$$
Damit lautet die &Uuml;bergangsmatrix:
:$${\mathbf{P}} = \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4 & 0 \\ 3/4 & 0 & 1/4  \\ 0 & 1/4 & 3/4  \end{array} \right] .$$


'''(2)'''&nbsp; Wegen ${\rm Pr}(B_0) = 1$ und $p_\text{BB}  = 0$ kann zum Zeitpunkt $\nu = 1$ das Ereignis $B$ nicht auftreten und das Ereignis $A$ ist sehr viel wahrscheinlicher als das Ereignis $C$:
:$$\hspace{0.15cm}\underline {{\rm Pr}(A_1) = 0.75}; \hspace{0.5cm} {\rm Pr}(B_1) = 0; \hspace{0.5cm}{\rm Pr}(C_1) = 0.25.$$
Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Anwendung der Vektor-Matrixdarstellung.


'''(3)'''&nbsp; F&uuml;r den Wahrscheinlichkeitsvektor zum Zeitpunkt $\nu = 2$ gilt:
:$${\mathbf{p}^{(\nu = 2)}} = {\mathbf{P}}^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(\nu =1 )}}= \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4&  0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0& 1/4& 3/4  \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 3/4 \\ 0  \\ 1/4  \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3/16 \\ 10/16  \\ 3/16 \end{array} \right] .$$
Damit ist die Ereigniswahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A_2) = 3/16\hspace{0.15cm}\underline {=  0.1875}$.

'''(4)'''&nbsp; Zur Lösung dieser Aufgabe sollen verschiedene M&ouml;glichkeiten angegeben werden. 
*Zum einen das L&ouml;sen eines Gleichungssystems mit drei Unbekannten:
:$${\rm Pr}(A) = 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A)  \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B),$$
:$${\rm Pr}(B) = 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A)  \hspace{2.8cm} + \hspace{0.1cm} 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(C),$$
:$${\rm Pr}(C) = \hspace{2.8cm} 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B)  \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(C).$$
:Aus der ersten Gleichung erh&auml;lt man ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$, aus der letzten ${\rm Pr}(C) = {\rm Pr}(A)$. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich $1$ ist, folgt $ {\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(C) = 1/3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx  0.333}$.
*Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Analyse der &Uuml;bergangsmatrix. Da die Summe jeder Spalte gleich $1$ ist (das hei&szlig;t: die Summe einer jeden Zeile der transponierten Matrix ergibt ebenfalls $1$), ist offensichtlich, dass alle Ereigniswahrscheinlichkeiten gleich sein m&uuml;ssen. 

*Auch durch kurzes Nachdenken h&auml;tte man das Ergebnis ohne Rechnung vorhersagen k&ouml;nnen. Da bei jedem Ereignis die Zahlenwerte bei den abgehenden Pfeilen (nur zu anderen Ereignissen) mit denen bei den ankommenden gleich sind, ist nicht einzusehen, warum eines der Ereignisse bevorzugt sein sollte.
{{ML-Fuß}}



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