View source for Applets:Lineare Verzerrungen periodischer Signale

{{LntAppletLink|verzerrungen}} 

==Programmbeschreibung==
<br>
Dieses Applet veranschaulicht die Auswirkungen von linearen Verzerrungen (Dämpfungsverzerrungen und Phasenverzerrungen) anhand 
*des Eingangssignals &nbsp; $x(t) = x_1(t) + x_2(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Leistung }P_x, $
*des Ausgangssignals &nbsp;  $y(t) = \alpha_1 \cdot  x_1(t-\tau_1)  +  \alpha_2  \cdot  x_2(t-\tau_2)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Leistung }P_y,$
*des Matching&ndash;Ausgangssignals &nbsp;  $z(t) = k_{\rm M} \cdot  y(t-\tau_{\rm M})  +  \alpha_2  \cdot  x_2(t-\tau_2)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Leistung }P_z,$ und
*des Differenzsignals &nbsp;  $\varepsilon(t) = z(t) - x(t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Leistung }P_\varepsilon.$


Die Amplituden&ndash; und Phasenanpassung des Ausgangssignals $y(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Matching&rdquo;  erlaubt die Unterscheidung 
*zwischen einer Dämpfungsverzerrung und einer frequenzunabhängigen Dämpfung, sowie
*zwischen einer Phasenverzerrung und einer reinen Laufzeit. 


Als Maß für die Stärke der linearen Verzerrungen wird die Verzerrungsleistung (englisch: Distortion Power) $P_{\rm D}$ ausgegeben.

==Theoretischer Hintergrund==
<br>
Lineare Verzerrungen treten üblicherweise in Form von
* Dämpfungsverzerrungen $\alpha_i$ und
* Phasenverzerrungen $\tau_i$ auf.
Ist $\alpha_1 \ne \alpha_2$ und $\tau_1 = \tau_2$, so liegen ausschließlich Dämpfungsverzerrungen vor. 
Dagegen führt $\alpha_1  = \alpha_2$ und $\tau_1 \ne \tau_2$ zu reinen Phasenverzerrungen.<br />
Ein Signal $y(t)$ ist gegenüber $x(t)$ unverzerrt, wenn $\alpha_1 = \alpha_2$ und $\tau_1 und \tau_2$ gilt.


{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Berechnungsvorschrift:}$&nbsp; Setzt sich das periodisches Signal $x(t)$ wie in diesem Applet aus zwei Anteilen $x_1(t)$ und  $x_2(t)$ zusammen, dann gilt mit $A_1 \ne 0$, $f_1 \ne 0$, $A_2 \ne 0$, $f_2 \ne 0$ für Grundfrequenz und Periodendauer:

:$$f_0 = {\rm ggT}(f_1, \ f_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}T_0 = 1/f_0,$$ 
wobei &bdquo;ggT&rdquo; den ''größten gemeinsamen Teiler'' bezeichnet.}}


{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiele:}$ &nbsp; Im Folgenden bezeichnen $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierten Signalfrequenzen: 

'''(a)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 3.0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.0) = 1.0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  1.0\ \rm ms$;

'''(b)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 3.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.5)= 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  2.0\ \rm ms$;

'''(c)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 2.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 2.5) = 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  2.0\ \rm ms$;

'''(d)''' &nbsp; $f_1' = 0.9$, &nbsp; $f_2' = 2.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(0.9, \ 2.5) = 0.1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  10.0 \ \rm ms$;

'''(e)''' &nbsp; $f_2' = \sqrt{2} \cdot f_1' $ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(f_1', \ f_2') \to 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 \to \infty$&nbsp; &rArr; &nbsp; Das Signal $x(t)$ ist nicht periodisch.}}


$\text{Anmerkung:}$&nbsp; Die Periodendauer könnte auch als ''kleinstes gemeinsame Vielfache'' (kgV) entsprechend $T_0 = {\rm kgV}(T_1, \ T_2)$ ermittelt werden:

'''(c)''' &nbsp; $T_1 = 1.0\ \rm ms$, &nbsp; $T_2 = 0.4\ \rm kHz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 = {\rm kgV}(1.0, \ 0.4) \ \rm ms =  2.0\ \rm ms$

Bei allen anderen Parameterwerten würde es aber zu numerischen Problemen kommen, zum Beispiel 

'''(a)''' &nbsp; $T_1 = 1.0\ \rm ms$ und $T_2 = 0.333\text{...} \ \rm ms$ besitzen aufgrund der begrenzten Darstellung reeller Zahlen kein kleinstes gemeinsames Vielfaches.

==Vorschlag für die Versuchsdurchführung==
<br>
BlaBla
 
{{BlaueBox|TEXT=  
'''(1)''' &nbsp; Für das Sendesignal $x(t)$ gelte $A_1 = 0.8\ {\rm V}, \ A_2 = 0.6\ {\rm V}, \ f_1 = 0.5\ {\rm kHz}, \ f_2 = 1.5\ {\rm kHz}, \ \varphi_1 = 90^\circ, \ \varphi_2 = 0^\circ$. 
:Wie groß ist die Periodendauer $T_0$? Welche Leistung $P_x$ weist dieses Signal auf? Wo können Sie diesen Wert im Programm ablesen? }}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}T_0 = \big [\hspace{-0.1cm}\text{ größter gemeinsamer Teiler }(0.5  \ {\rm kHz}, \ 1.5  \ {\rm kHz})\big ]^{-1} =  2.0 \ {\rm ms};$ 

$\hspace{1.85cm} P_x = A_1^2/2 + A_2^2/2 = 0.5 \ {\rm V^2} = P_\varepsilon\text{, wenn }k_{\rm M} = 0 \ \Rightarrow \ z(t) \equiv 0$.

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(2)''' &nbsp; Variieren Sie bei sonst gleicher Einstellung wie unter '''(1)''' die Phase $\varphi_2$ im gesamten möglichen Bereich $\pm 180^\circ$. Wie ändern sich $T_0$ und $P_x$?}}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Keine Veränderungen:}\hspace{0.2cm} T_0 = 2.0 \ {\rm ms}; \hspace{0.2cm} P_x =  0.5 \ {\rm V^2}$.

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(3)''' &nbsp; Variieren Sie bei sonst gleicher Einstellung wie unter '''(1)''' die Frequenz $f_2$ im Bereich $0 \le f_2 \le 5\ {\rm kHz}$. Wie ändert sich die Signalleistung $P_x$?}}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Keine Veränderungen, falls }f_2 \ne 0\text{ oder } f_2 \ne f_1\text{:}\hspace{0.3cm} P_x =  0.5 \ {\rm V^2}\text{.} \hspace{0.2cm} T_0 \text{ ändert sich, falls }f_2\text{ kein Vielfaches von }f_1$.

$\hspace{1.85cm}\text{Falls }f_2 = 0\text{:}\hspace{0.2cm} P_x = A_1^2/2 + A_2^2 = 0.68 \ {\rm V^2}$. $\hspace{3cm}\text{Allgemeine Formel noch überprüfen}$

$\hspace{1.85cm}\text{Falls }f_2 = f_1\text{:}\hspace{0.2cm} P_x = [A_1\cos(\varphi_1) + A_2\cos(\varphi_2)]^2/2 + [A_1\sin(\varphi_1) + A_2\sin(\varphi_2)]^2/2 \text{.}\hspace{0.2cm} \varphi_1 = 90^\circ, \ \varphi_2 = 0^\circ\text{:}\hspace{0.3cm} P_x =  0.5 \ {\rm V^2}\text{.} $

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(4)''' &nbsp; Ausgehend vom bisherigen Sendesignal $x(t)$ gelte für den Kanal: $\alpha_1 = \alpha_2 = 0.5, \ \tau_1 = \tau_2  = 0.5\ {\rm ms}$. Zudem sei  $k_{\rm M} = 1 \text{ und } \tau_{\rm M} = 0$ . 
:Gibt es lineare Verzerrungen? Wie groß ist die Empfangsleistung $P_y$ und die Leistung $P_\varepsilon$ des Differenzsignals $\varepsilon(t) = z(t) - x(t)$?  }}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t) = 0.5 \cdot x(t- 1\ {\rm ms})\text{ ist unverzerrt, nur gedämpft und verzögert.}$  

$\hspace{1.85cm}\text{Empfangsleistung:}\hspace{0.2cm} P_y = (A_1/2)^2/2 + (A_2/2)^2/2 = 0.125 \ {\rm V^2}\text{. }\hspace{0.2cm} P_\varepsilon \text{ ist deutlich größer:} \hspace{0.2cm} P_\varepsilon = 0.625 \ {\rm V^2}.$

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(5)''' &nbsp; Variieren Sie bei sonst gleicher Einstellung wie unter '''(4)''' die Matchingparameter $k_{\rm M} \text{ und } \tau_{\rm M}$. Wie groß ist die Verzerrungsleistung $P_{\rm D}$?}}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm D}\text{ ist gleich der Leistung }P_\varepsilon  \text{ des Differenzsignals bei bestmöglicher Anpassung:} \hspace{0.2cm}k_{\rm M} = 2 \text{ und } \tau_{\rm M}=T_0 - 0.5\ {\rm ms} = 1.5\ {\rm ms}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}z(t) = x(t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varepsilon(t) = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}P_{\rm D} = P_\varepsilon = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\text{weder Dämpfungs- noch Phasenverzerrungen.}$  

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(6)''' &nbsp; Für den Kanal gelte nun $\alpha_1 = 0.5, \hspace{0.15cm}\underline{\alpha_2 = 0.2}, \ \tau_1 = \tau_2  = 0.5\ {\rm ms}$. Wie groß sind nun die Verzerrungsleistung $P_{\rm D}$ und das $\rm SDR$ $\rho_{\rm D}$?}}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm D} = P_\varepsilon  \text{ bei bestmöglicher Anpassung:} \hspace{0.2cm}k_{\rm M}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2.24} \text{ und } \tau_{\rm M}=T_0 - 0.5\ {\rm ms} = 1.5\ {\rm ms}\text{:} \hspace{0.2cm}P_{\rm D} =  0.059 \ {\rm V^2}$

$\hspace{1.85cm}\text{Nur Dämpfungsverzerrungen.} \hspace{0.3cm}\text{Signal-zu-Verzerrung-Leistungsverhältnis}\rho_{\rm D} = P_x/P_\varepsilon \approx 8.5$.  

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(7)''' &nbsp; Für den Kanal gelte nun $\alpha_1 = \alpha_2 = 0.5, \ \tau_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 2\ {\rm ms} }, \  \tau_2  = 0.5\ {\rm ms}$. Wie groß sind nun $P_{\rm D}$ und $\rho_{\rm D}$?}}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm D} = P_\varepsilon  \text{ bei bestmöglicher Anpassung:} \hspace{0.2cm}k_{\rm M}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2.24} \text{ und } \tau_{\rm M}=T_0 - 0.5\ {\rm ms} = 1.5\ {\rm ms}\text{:} \hspace{0.2cm}P_{\rm D} =  0.059 \ {\rm V^2}$

$\hspace{1.85cm}\text{Nur Dämpfungsverzerrungen.} \hspace{0.3cm}\text{Signal-zu-Verzerrung-Leistungsverhältnis}\rho_{\rm D} = P_x/P_\varepsilon \approx 8.5$.  

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(6)''' &nbsp; Wählen Sie die letzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall Parameters&rdquo; und ändern Sie $f_2' = 0.6$. Speichern Sie diese Einstellung mit &bdquo;Store Parameters&rdquo;:}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(0.2,0.6) = 0.2$.

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(7)''' &nbsp; Wie groß ist bei gleicher Einstellung der maximale Signalwert $x_{\rm max}\text{?}$}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.39 \ \rm V$ mit $t_* = 0.3 \ \rm ms$ und $T_0 = 5.0 \ \rm ms$
{{BlaueBox|TEXT=  
'''(8)''' &nbsp; Wählen Sie die letzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall  Parameters&rdquo; und ändern Sie $\varphi_2 = 0^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Cosinusschwingungen:}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max}  =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.5 \ \rm V$, also gleich $A_1 + A_2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $t_* = 0$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(9)''' &nbsp; Wählen Sie die vorletzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall  Parameters&rdquo; und ändern Sie $\varphi_1 = 90^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Sinusschwingungen:}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max} = 1.08 \ \rm V$, also ungleich $A_1 + A_2$&nbsp; &rArr; &nbsp; $t_* = 0.6 \ \rm ms$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.



==Zur Handhabung des Applets==
[[File:Periodendauer_fertig_version1.png|left]]
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe per Slider

&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Bereich der graphischen Darstellung

&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Variationsmöglichkeit für die  graphische Darstellung

&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen

&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; graphische Verdeutlichung durch rote Linie

&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Ausgabe von $x_{\rm max}$ und der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellung der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$ durch grüne Punkte

&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Einstellung der Zeit $t_*$ für die Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

'''Details zum obigen Punkt (C)'''
 
&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Zoom&ndash;Funktionen &bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern), &bdquo;$-$&rdquo; (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Verschieben mit &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts),  &bdquo;$\uparrow$&rdquo; &bdquo;$\downarrow$&rdquo; und &bdquo;$\rightarrow$&rdquo;

'''Andere Möglichkeiten''':

&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Gedrückte Shifttaste und Scrollen:  Zoomen im Koordinatensystem,

&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.
<br clear = all>


==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert. 
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bettina_Hirner_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Bettina Hirner]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] ). 
*2018 wurde dieses Programm  von [[Jimmy HeDavid Jobst]] im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28am_LNT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]])  auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet &nbsp; &rArr; &nbsp; Applet-Variante 1.
*Parallel dazu erarbeitete [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bastian_Siebenwirth_.28Bachelorarbeit_LB_2017.29|Bastian Siebenwirth]] im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]])  die HTML5-Variante 2.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|periode|Applet in neuem Tab öffnen}} 

[[Category:Applets|^Periodendauer^]]