View source for Applets:Binomial- und Poissonverteilung (Applet)


==Programmbeschreibung==
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Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und graphische Darstellung von Wahrscheinlichkeiten von

*Binomialverteilungen: 
$$\hspace{1.5cm}p_\mu = {\rm Pr}(z=\mu)={I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu},$$

$\hspace{0.7cm}$wobei $I$ die Anzahl der binären und statisch voneinander unabhängigen Zufallsgrößen $b_i$ und

$\hspace{0.7cm}p={\rm Pr}(b_i=1)$ die Erfolgswahrscheinlichkeit  darstellt, und


*Poissonverteilungen: 
$$\hspace{1.5cm}p_\mu = {\rm Pr}(z=\mu)=\frac{ \lambda^\mu}{\mu!}\cdot {\rm e}^{-\lambda},$$

$\hspace{0.7cm}$wobei die Rate$\lambda$ aus $\lambda=I\cdot p$ berechnet werden kann.


Da gleichzeitig bis zu zwei Verteilungsfunktionen eingestellt werden können, können Binomial- und Poissonverteilungen einfach miteinander verglichen werden.

==Theoretischer Hintergrund==
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=== Poissonverteilung als Grenzfall der Binomialverteilung===
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==Versuchsdurchführung==
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In der folgenden Beschreibung bedeutet

*Blau: Verteilungsfunktion 1 (im Applet blau markiert)

*Rot: Verteilungsfunktion 2 (im Applet rot markiert)


{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''&nbsp; Setzen Sie Blau: Binomialverteilung $(I=5, p=0.4)$ und Rot: Binomialverteilung $(I=10, p=0.2)$.
:Wie lauten die Wahrscheinlichkeiten ${rm Pr}(z=0)$ und ${\rm Pr}(z=1)$?}}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Blau: }{\rm Pr}(z=0)=0.6^5=7.78\%, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z=1)=0.4 \cdot 0.6^4=25.92\%$

$\hspace{1.85cm}\text{Rot: }{\rm Pr}(z=0)=0.8^10=10.74\%, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z=1)=0.2 \cdot 0.8^9=26.84\%$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''&nbsp; Es gelten die Einstellungen von (1). Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(3 \le z \le 5)$?}}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Es gilt }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z=3) + {\rm Pr}(z=4) + {\rm Pr}(z=5)\text{, oder}$

$\hspace{3.25cm}{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z \le 5) - {\rm Pr}(z \le 2)$

$\hspace{1.85cm}\text{Blau: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 1 - 0.6826 = 0.3174$

$\hspace{1.85cm}\text{Rot: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.9936 - 0.6778 = 0.3158$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''&nbsp; Es gelten die Einstellungen von (1). Wie unterscheiden sich Mittelwert $m_1$ und Streuung $\sigma$?}}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Mittelwert: }m_1 = I \cdot p\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} m_1 = 1 \text{ für beide Verteilungen}$.

$\hspace{1.85cm}\text{Streuung: }\sigma = m_1^2 - m_2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma_{\rm Blau} = 1.1 \le \sigma_{\rm Rot} = 1.26$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''&nbsp; Setzen Sie Blau: Binomialverteilung $(I=15, p=0.3)$ und Rot: Poissonverteilung $(\lambda=4.5)$.
:Welche Unterschiede ergeben sich in Mittelwert $m_1$ und Streuung $\sigma$ zwischen beiden Verteilungen?}}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Poisson: }\hspace{0.2cm}m_1 = \lambda,\hspace{0.2cm} \sigma = {\sqrt \lambda}$

$\hspace{1.85cm} \text{Blau: }\hspace{0.2cm} m_1 = 4.5, \hspace{0.3cm}\sigma = 1.77$

$\hspace{1.85cm} \text{Rot: }\hspace{0.2cm} m_1 = 4.5, \hspace{0.3cm}\sigma = 2.12$