View source for Exercise 2.4Z: Characteristics Measurement


{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Nichtlineare Verzerrungen
}}

[[File:P_ID898__LZI_Z_2_4.png|right|frame|Vorgegebene Kennlinie $y(x)$]]
Von einem nichtlinearen System ist bekannt, dass die Kennlinie wie folgt dargestellt werden kann:
:$$y(t) =  c_1  \cdot x(t) + c_2  \cdot x^2(t).$$

Da die Verzerrungen nichtlinear sind, ist kein Frequenzgang $H(f)$ angebbar.

Zur Bestimmung des dimensionslosen Koeffizienten $c_1$ sowie des quadratischen Koeffizienten $c_2$ werden nun verschiedene Rechteckimpulse $x(t)$ &ndash; jeweils gekennzeichnet durch ihre Amplituden $A_x$ und Breiten $T_x$  &ndash; an den Eingang gelegt und jeweils die Impulsamplitude $A_y$ am Ausgang gemessen. 

Die ersten drei Versuchen ergeben folgende Werte:
* $A_x = 1 \ {\rm V}, \; \; T_x = 8 \ {\rm ms}$ :&nbsp;&nbsp; $A_y = 0.55 \ {\rm V}$,
* $A_x = 2 \ {\rm V}, \; \; T_x = 4 \ {\rm ms}$ :&nbsp;&nbsp; $A_y = 1.20 \ {\rm V}$,
* $A_x = 3 \ {\rm V}, \; \; T_x = 2 \ {\rm ms}$ :&nbsp;&nbsp; $A_y = 1.95 \ {\rm V}$.

Bei den Teilaufgaben (3) und (4) sei das Eingangssignal $x(t)$ eine harmonische Schwingung, da nur für eine solche ein Klirrfaktor angebbar ist. 

Dagegen wird für die Teilaufgabe (5) ein Dreieckimpuls mit Amplitude $A_x = 3 \ {\rm V}$ und der einseitigen Impulsdauer $T_x = 2 \ {\rm ms}$ betrachtet:
:$$x(t) =  A_x \cdot \left[ 1 - {|t|}/{T_x}\right]  $$






''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|Nichtlineare Verzerrungen]].
 
*Im Fragenkatalog werden folgende Abkürzungen benutzt:
:$$y_1(t) =  c_1  \cdot x(t), \hspace{0.5cm} y_2(t) = c_2  \cdot
x^2(t).$$



===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche Aussagen treffen für den Ausgangsimpuls $y(t)$ zu, wenn am Eingang ein Rechteckimpuls $x(t)$ mit Amplitude $A_x$ und Dauer $T_x$ anliegt?
|type="[]"}
- Der Ausgangsimpuls $y(t)$ ist dreieckförmig.
- Die Amplituden am Eingang und Ausgang sind gleich &nbsp; &rArr; &nbsp; $A_y = A_x$.
+ Die Impulsdauer wird durch das System nicht verändert &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_y = T_x$.


{Berechnen Sie die beiden ersten (dimensionslosen) Koeffizienten der Taylorreihe.
|type="{}"}
$c_1 \ = \ $ { 0.5 3% }
$c_2 \ = \ $  { 0.05 3% } $\ \rm 1/V$


{Welcher Klirrfaktor $K$ wird mit dem Testsignal $x(t) = 1 \ {\rm V} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$ gemessen? &nbsp; &rArr; &nbsp; $A_x = 1\ \rm  V$.
|type="{}"}
$K \ = \ $  { 5 3% } $\ \%$


{Welcher Klirrfaktor wird mit dem Testsignal $x(t) = 3 \ {\rm V} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$ gemessen? &nbsp; &rArr; &nbsp; $A_x = 3\ \rm  V$.
|type="{}"}
$K \ = \ $ { 15 3% } $\ \%$


{Welcher Ausgangsimpuls $y(t)$ ergibt sich bei dreieckförmigem Eingangsimpuls? Wie lauten die Signalwerte bei $ t = 0$ und $ t = T_x/2$?
|type="{}"}
$y(t = 0) \ = \ $ { 1.95 3% } $\ \rm V$
$y(t = T_x/2) \ = \ $  { 0.8625 3% } $\ \rm V$



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
*Ist der Eingangsimpuls $x(t)$ rechteckförmig, so ist auch  $x^2(t)$ ein Rechteck mit Höhe $A_x^2$ im Bereich von $0$ bis $T_x$ und außerhalb $0$. 
*Auch das gesamte Ausgangssignal $y(t)$ ist somit rechteckförmig mit der Amplitude
:$$A_y= c_1 \cdot A_x + c_2 \cdot A_x^2 .$$
*Für die Impulsdauer gilt $T_y  = T_x$. 


'''(2)'''&nbsp; Mit den beiden ersten Parametersätzen kann folgendes lineares Gleichungssystem angegeben werden:
:$$c_1  \cdot 1\,{\rm V} + c_2 \cdot (1\,{\rm V})^2  = 0.55\,{\rm
 V},$$
:$$c_1  \cdot  2\,{\rm V} + c_2 \cdot (2\,{\rm V})^2  = 1.20\,{\rm
 V}.\hspace{0.05cm}$$

Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit $-2$ und Addition der beiden Gleichungen erhält man:
:$$c_2 \cdot 2\,{\rm V}^2  = 0.1\,{\rm
 V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_2   \hspace{0.15cm}\underline{= 0.05\,{1/\rm
 V}}.$$
Der Linearkoeffizient ist somit $c_1   \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}.$

Der dritte Parametersatz kann genutzt werden, um das Ergebnis zu kontrollieren:
:$$c_1  \cdot 3\,{\rm V} + c_2 \cdot (3\,{\rm V})^2  = 0.5 \cdot 3\,{\rm
 V}+ 0.05 \  {1}/{\rm V}\cdot 9\,{\rm V}^2  = 1.95\,{\rm
 V}.$$


'''(3)'''&nbsp; Die Angabe eines Klirrfaktors bedingt die Verwendung einer harmonischen Schwingung am Eingang. 

Ist $X_+(f) = 1 \ {\rm V} \cdot \delta (f - f_0)$, so lautet das Spektrum des analytischen Signals am Ausgang:
:$$ Y_{+}(f)={c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f) + c_1\cdot A_x \cdot \delta(f- f_0)+ {c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f- 2 f_0). $$

Die Diracfunktion bei $f = 0$  folgt aus der trigonometrischen Umformung $\cos^2(\alpha) = 1/2 + 1/2 \cdot \cos(\alpha).$
 
Mit $A_1 = c_1 \cdot A_x =  0.5 \ {\rm V} $ und  $A_2 = (c_2/2) \cdot A_x^2 =  0.025 \ {\rm V}^2 $
ergibt sich somit für den Klirrfaktor:
:$$K= \frac{A_2}{A_1}= \frac{c_2/2 \cdot A_x}{c_1 }= \frac{0.025}{0.5}  \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \%}.$$


'''(4)'''&nbsp; Entsprechend der Musterlösung zur letzten Teilaufgabe ist $K$ proportional zu $A_x$. Deshalb erhält man nun $K \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \%}.$


'''(5)'''&nbsp; Nun lautet das Ausgangssignal:
:$$y(t)=  c_1\cdot A_x \cdot \left( 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{T_x}\right) +\hspace{0.1cm}
 {c_2}\cdot A_x^2 \cdot \left( 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{T_x}\right)^2.$$

Zum Zeitpunkt $t = 0$ bzw. $t = T_x/2$ treten folgende Werte auf:
:$$y(t=0) = c_1\cdot A_x  + {c_2}\cdot A_x^2  \hspace{0.15cm}\underline{= 1.95\,{\rm
 V}},$$
:$$y(t=T_x/2) =  c_1\cdot A_x \cdot {1}/{2} + \hspace{0.1cm}{c_2}\cdot A_x^2 \cdot {1}/{4}= 0.75\,{\rm
 V}+ 0.1125\,{\rm  V} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8625\,{\rm
 V}}.$$
{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^2.2 Nichtlineare Verzerrungen^]]