View source for Aufgaben:Exercise 1.3Z: Exponentially Decreasing Impulse Response


{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Zeitbereich}}

[[File:P_ID819__LZI_Z_1_3.png |right|frame|Abfallende Impulsantwort]]
Gemessen wurde die Impulsantwort $h(t)$ eines LZI–Systems, 
*die für alle Zeiten $t < 0$ identisch $0$ ist,
*sich zur Zeit $t > 0$ sprungartig verändert, und 
*für $t > 0$ entsprechend einer Exponentialfunktion abfällt:
:$$h(t) = {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
Der Funktionsparameter sei $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$. In der Teilaufgabe '''(3)''' ist nach der 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ gefragt, die wie folgt implizit definiert ist: 
:$$|H(f = f_{\rm G})| = {1}/{\sqrt{2}} \cdot|H(f = 0)| .$$






''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Systembeschreibung im Zeitbereich]] 
*Gegeben ist das folgende bestimmte Integral: 
:$$\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2}  \hspace{0.1cm}{\rm d}x = {\pi}/{2} .$$
 




===Fragebogen===


<quiz display=simple>
{Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$. Welcher Wert ergibt sich für $f = 0$?
|type="{}"}
$H(f = 0) \ = \ $ { 1 3% }


{Welchen Wert besitzt die Impulsantwort zur Zeit $t = 0$? 
|type="{}"}
$h(t = 0)  \ = \ $ { 500 3% } &nbsp;$\rm 1/s$


{Berechnen Sie die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$.
|type="{}"}
$f_{\rm G}  \ =\ $ { 159 3% } &nbsp;$\rm Hz$


{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
|type="[]"}
+ Das betrachtete System ist kausal.
- Das betrachtete System hat Hochpass–Charakter. 
- Liegt am Systemeingang ein Cosinussignal der Frequenz $f_{\rm G}$ an, so ist das Ausgangssignal ebenfalls cosinusförmig. 



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Der Frequenzgang $H(f)$ ist die Fouriertransformierte von $h(t)$:
:$$H(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j}2\pi ft}\hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T}) t}\hspace{0.15cm}
{\rm d}t.$$ 
Die Integration führt zum Ergebnis:
:$$H(f)  = \left[ \frac{-1/T}{{\rm j}2\pi f+{1}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T})
t}\right]_{0}^{\infty}= \frac{1}{1+{\rm j} \cdot 2\pi fT}.$$
Bei der Frequenz $f = 0$ hat der Frequenzgang den Wert $H(f = 0) \; \underline{= 1}$. 


'''(2)'''&nbsp; Dieser Frequenzgang kann mit Real– und Imaginärteil auch wie folgt geschrieben werden: 
:$$H(f)  =  \frac{1}{1+(2\pi fT)^2} -{\rm j} \cdot  \frac{2\pi fT}{1+(2\pi fT)^2}.$$
Die Impulsantwort an der Stelle $t = 0$ ist gleich dem Integral über $H(f)$. Da der Imaginärteil ungerade ist, muss nur über den Realteil integriert werden. Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft erhält man: 
:$$h(t=0)=2 \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+(2\pi fT)^2}  \hspace{0.1cm}{\rm
 d}f = \frac{1}{\pi T} \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2}  \hspace{0.1cm}{\rm d}x .$$
Unter Benutzung des angegebenen bestimmten Integrals mit dem Resultat $π/2$ ergibt sich: 
:$$h(t=0)= \frac{1}{2 T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 500\cdot 1/s}}.$$
Dieses Ergebnis zeigt auch, dass die Impulsantwort bei $t = 0$ gleich dem Mittelwert aus dem links&ndash; und dem rechtsseitigen Grenzwert ist. 


'''(3)'''&nbsp; Der Amplitudengang lautet bei dieser Aufgabe bzw. allgemein mit der 3dB-Grenzfrequenz $f_{\rm G}$: 
:$$|H(f)|  =  \frac{1}{\sqrt{1+(2\pi fT)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+(f/f_{\rm G})^2}}.$$
Durch Koeffizientenvergleich erhält man: 
:$$f_{\rm G} =   \frac{1}{2\pi T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 159 \hspace{0.1cm} Hz}}.$$


'''(4)'''&nbsp; Richtig ist  <u> der erste Lösungsvorschlag}</u>.:
*Wegen $h(t) = 0$ für $t < 0$ ist das System tatsächlich kausal. Es handelt sich um einen Tiefpass erster Ordnung. 
*Dagegen müsste ein Hochpass folgende Bedingung erfüllen: 
:$$H(f = 0) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm}{\rm d}t = 0.$$
*$H(f)$ ist eine komplexe Funktion. Der Phasengang lautet (siehe [[Aufgaben:Aufgabe_1.1Z:_Tiefpass_1._und_2._Ordnung|Aufgabe 1.1Z]]): 
:$$b(f) = \arctan {f}/{f_{\rm G}}.$$
*Für die Frequenz $f = f_{\rm G}$ erhält man $b(f = f_{\rm G}) = π/4 = 45^\circ$. 
*Liegt am Eingang ein Cosinussignal der Frequenz $f = f_{\rm G}$ an, so ergibt sich für das Ausgangssignal:
:$$y(t) = K \cdot \cos( 2 \pi f_{\rm G} t - 45^{\circ}).$$
*Dieses Signal ist zwar eine harmonische Schwingung, aber kein Cosinussignal. 

{{ML-Fuß}}



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