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{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Lineare Verzerrungen
}}

[[File:P_ID914__LZI_A_2_7.png|right|frame|Betragsfrequenzgang und Phasenfunktion des Zweiwegekanals]]
Wie in [[Aufgaben:2.6_Zweiwegekanal|Aufgabe 2.6]] wird ein Zweiwegekanal betrachtet, für dessen Impulsantwort gelte:
:$$h(t) = \delta ( t - T_1) + \delta ( t - T_2).$$

Entgegen der allgemeinen Darstellung in Aufgabe 2.6 sind hier die beiden Dämpfungsfaktoren gleich: &nbsp; $z_1 = z_2 = 1$. 
*Dies entspricht zum Beispiel beim Mobilfunk einem Echo im Abstand $T_2 - T_1$  in gleicher Stärke wie das Signal auf dem Hauptpfad. 
*Für dieses wird die Laufzeit $T_1$ vorausgesetzt.


Mit den in den Teilaufgaben '''(1)''' ... '''(4)'''  betrachteten Laufzeiten &nbsp;$T_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$T_2 = T = 4 \ \rm ms$&nbsp; erhält man für den Frequenzgang des Zweiwegekanals, dessen Betrag in der oberen Grafik dargestellt ist:
:$$H(f) = 1 +  {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.04cm}2 \pi f T} = 1 +
\cos(2 \pi f T) - {\rm j} \cdot \sin(2 \pi f T)$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.4cm}|H(f)|  = \sqrt{2\left(1 + \cos(2 \pi f
T)\right)}= 2 \cdot |\cos(\pi f T)|.$$

Die untere Grafik zeigt die Phasenfunktion:
:$$b(f) = - {\rm arc} \hspace{0.1cm}H(f) = \arctan \frac{\sin(2 \pi f
T)}{1 + \cos(2 \pi f T)} = \arctan \big[\tan(\pi f T)\big].$$

Hierbei wurde folgende trigonometrische Umformung benutzt:
:$$ \frac{\sin(2 \alpha)}{1 + \cos(2 \alpha)} = \tan(\alpha).$$

Die untere Grafik zeigt diePhasenfunktion für &nbsp;$T_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$T_2 = T = 4 \ \rm ms$:
*Im Frequenzbereich $|f| < 1/(2T)$ steigt $b(f)$ linear an: &nbsp; $b(f) = \pi \cdot f \cdot T.$ 
*Auch in den weiteren Abschnitten der Phasenfunktion nimmt die Phase stets von $-\pi/2$ bis $+\pi/2$ linear zu.


Im Fragenkatalog bezeichnet &nbsp;$y_i(t)$&nbsp; das Signal am Ausgang des Zweiwegekanals, wenn am Eingang das Signal &nbsp;$x_i(t)$&nbsp; anliegt ($ i = 1, 2, 3, 4$). 

Als Eingangssignale werden untersucht:
*ein Rechteckimpuls &nbsp;$x_1(t)$&nbsp; mit der Höhe $1$ zwischen &nbsp;$t= 0$&nbsp; und &nbsp;$t= T$; für &nbsp;$t < 0$&nbsp; und &nbsp;$t > T$&nbsp; ist &nbsp;$x_1(t) = 0$ (an den beiden Sprungstellen tritt jeweils der Wert $0.5$ auf);
*ein Rechteckimpuls &nbsp;$x_2(t)$&nbsp; mit Höhe $1$ im Bereich von $0 ...  2T$;
*ein periodisches Rechtecksignal &nbsp;$x_3(t)$&nbsp; mit der Periodendauer &nbsp;$T = T_0$:
:$$x_3(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\
 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad
\begin{array}{c}   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ {\rm{f\ddot{u}r}}
\\    \end{array}\begin{array}{*{20}c}
{ 0 < t  < T/2,}  \\
{ T/2 < t  < T,}  \\
\end{array}$$
*ein periodisches Rechtecksignal &nbsp;$x_4(t)$&nbsp; mit der Periodendauer &nbsp;$T = 2T_0$:
:$$x_4(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\
 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad
\begin{array}{c}   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ {\rm{f\ddot{u}r}}
\\    \end{array}\begin{array}{*{20}c}
{ 0 < t  < T,}  \\
{ T < t  < 2T.}  \\
\end{array}$$





''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]].
*Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' gelte &nbsp;$T_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$T_2 = T = 4 \ \rm ms$.
*In Teilaufgabe '''(5)''' wird der Fall &nbsp;$T_1 = 1 \ \rm ms$&nbsp; und &nbsp;$T_2  = 5 \ \rm ms$&nbsp; betrachtet. 
 



===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Berechnen Sie das Ausgangssignal $y_1(t)$ für das Eingangssignal $x_1(t)$. Welche der Aussagen sind zutreffend?
|type="[]"}
+ $y_1(t)$ ist wie $x_1(t)$ rechteckförmig.
- $y_1(t)$  ist dreieckförmig.
+ Die absolute Impulsdauer ist $2T$.
+ $y_1(t)$ weist gegenüber $x_1(t)$ Dämpfungsverzerrungen auf.
+ $y_1(t)$ weist gegenüber $x_1(t)$ Phasenverzerrungen auf.


{Berechnen Sie das Signal $y_2(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeitpunkten $t= 0.5 T$, $t= 1.5 T$ und $t= 2.5 T$?
|type="{}"}
$y_2(t = 0.5T) \ = \ $  { 1 3% }
$y_2(t = 1.5T) \ = \ $ { 2 3% }
$y_2(t = 2.5T) \ = \ $ { 1 3% }


{Berechnen Sie das Signal $y_3(t)$. Überprüfen Sie, welche Aussagen zutreffen.
|type="[]"}
+ $y_3(t)$ ist gegenüber $x_3(t)$ unverzerrt.
- $y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ Dämpfungsverzerrungen auf.
- $y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ Phasenverzerrungen auf.


{Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal <i>y</i><sub>4</sub>(<i>t</i>) 
zu?
|type="[]"}
- $y_4(t)$ ist gegenüber $x_4(t)$  unverzerrt.
+ $y_4(t)$  weist gegenüber $x_4(t)$ Dämpfungsverzerrungen auf.
- $y_4(t)$  weist gegenüber $x_4(t)$ Phasenverzerrungen auf.


{Es gelte nun &nbsp;$T_1 = 1 \ \rm ms$&nbsp; und &nbsp;$T_2  = 5 \ \rm ms$. Welche Veränderungen ergeben sich gegenüber den bisherigen Ergebnissen?
|type="[]"}
+ Die obigen Aussagen hinsichtlich Verzerrungen sind weiterhin gültig.
- Fundierte Aussagen sind erst nach einer Neuberechnung möglich.
- Die Kombination &nbsp;$T_1 = 1 \ \rm ms$&nbsp; und &nbsp;$T_2  = 5 \ \rm ms$&nbsp; führt bei allen Signalen zu Verzerrungen.



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Die Lösung im Zeitbereich führt schneller zum Endergebnis:
:$$y_1(t) = x_1(t) \star h(t) = x_1(t) \star \delta (t)
+ x_1(t) \star \delta (t - T) = x_1(t) + x_1(t-T).$$

Somit ist $y_1(t)$ ein Rechteckimpuls der Höhe $1$ und der Breite $2T$.

Zum gleichen Ergebnis &ndash; aber zeitaufwändiger &ndash; kommt man durch die Berechnung im Spektralbereich:
:$$Y_1(f) = X_1(f) \cdot H(f) = T  \cdot \frac {\sin(\pi f T)}{\pi f T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T} \cdot
 \left[  1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T} \right].$$

Die komplexen Exponentialfunktionen können mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]] wie folgt umgewandelt werden:
:$${\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T}
 \left[  1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T} \right] = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T}
 \cdot \left[  {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T} + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T} \right] = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T} \cdot 2 \cos(\pi f T) .$$

Somit kann für das Ausgangsspektrum geschrieben werden:
:$$Y_1(f) = Y_{11}(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T}
 , \; \; {\rm mit }  \; \;
Y_{11}(f) = 2T  \cdot \frac {\sin(\pi f T) \cdot \cos(\pi f T)}{\pi
f T} = 2T  \cdot \frac {\sin(2\pi f T) }{2\pi f T}.$$

[[File:P_ID925__LZI_A_2_7_a.png|right|frame|Eingangs– und Ausgangssignale]]
Hierbei ist die $t = 0$ symmetrischen Rechteck der Breite $2T$. Durch die Phasenfunktion wird dieser in den Bereich $0$ ... $2T$ verschoben und das Ergebnis der Zeitbereichsberechnung bestätigt.

Trotz der Tatsache, dass $y_1(t)$ ebenso wie $x_1(t)$ rechteckförmig ist, liegen hier Verzerrungen vor: 
*Wegen $T_y > T_x$ sind diese linear. Im interessierenden Frequenzbereich (das sind bei einem si&ndash;förmigem Spektrum alle Frequenzen) ist $|H(f)|$ nicht konstant. Also gibt es Dämpfungsverzerrungen.
*Da zudem die Phase nicht im gesamten Bereich linear mit $f$ ansteigt, gibt es auch Phasenverzerrungen &nbsp;&rArr;&nbsp; Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1, 3, 4 und 5</u>.


'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der bereits in (1) angegebenen Gleichung
:$$y_2(t)  = x_2(t) + x_2(t-T)$$

erhält man einen stufenförmigen Verlauf entsprechend zweiten Grafik. Die gesuchten Werte sind:
:$$y_2(t = 0.5 T)   \hspace{0.15cm}\underline{= 1}, \hspace{0.3cm} y_2(t = 1.5 T)   \hspace{0.15cm}\underline{= 2},
\hspace{0.3cm}y_2(t = 2.5 T)  \hspace{0.15cm}\underline{ = 1}.$$


[[File:P_ID927__LZI_A_2_7_c.png|right|frame|Lösungen zu Aufgabe (3) und (4)]]
'''(3)'''&nbsp; Die Periodendauer $T_0 = T$ des periodischen Signals $x_3(t)$ ist genau so groß wie die Verzögerung auf dem zweiten Pfad. Deshalb ist $y_3(t) = 2 \cdot x_3(t) $ und es sind keine Verzerrungen feststellbar.

Die Spektralbereichsberechnung führt zum gleichen Ergebnis. $X_3(f)$ ist ein Linienspektrum mit Anteilen bei den Frequenzen $f  = 0$, 
$f  =  \pm f_0 = \pm 1/T$, $f  =  \pm 3f_0$, usw.. Bei diesen diskreten Frequenzen gilt aber exakt:
:$$|H(f)| = 2, \hspace{0.3cm} b(f) = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow
 \hspace{0.3cm}\tau_{\rm P}(f) = 0.$$

Auch daraus folgt wieder $y_3(t) = 2 \cdot x_3(t) $. Richtig ist somit nur der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.


'''(4)'''&nbsp; Aus der unteren Skizze der zweiten Grafik geht hervor, dass $y_4(t) = 1$ gegenüber $x_4(t)$ verzerrt ist. Dabei handelt es sich um Dämpfungsverzerrungen &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie die folgende Überlegung zeigt. 
*Wegen $T_0 = 2T$ weist das Signal $x_4(t)$ die Grundfrequenz $f_0 = 1/(2T)$ auf. 
*Bei allen ungeraden Vielfachen von $f_0$ hat somit der Frequenzgang Nullstellen. 
*Die einzige verbleibende Spektrallinie von  $Y_4(f)$ liegt bei $f = 0$, wobei gilt:
:$$Y_4(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot \delta (f) = 1 \cdot \delta (f)
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_4(t) = 1.$$


'''(5)'''&nbsp; Der Frequenzgang lautet nun mit $T_1 = 1 \ \rm ms$, $T_2  = 5 \ \rm ms$ und $T = T_2 -T_1 = 4 \ \rm ms$:
:$$H(f) =  {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f
 T_1}+ {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f
 T_2}=  \left[  1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T}
 \right]\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f
 T_1}.$$

Der Klammerausdruck beschreibt den bereits bisher betrachteten Frequenzgang. Der zweite Term bewirkt eine zusätzliche Laufzeit um $ \tau = T_1$, und es gilt für alle Signale ($i = 1, 2, 3, 4$):
$$y_i^{\rm (5)}(t) = y_i(t-T_1).$$

Alle Aussagen hinsichtlich der Verzerrungen sind weiter gültig. Dies entspricht dem <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
{{ML-Fuß}}



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