View source for Aufgaben:Exercise 2.11: Envelope Demodulation of an SSB Signal


{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation
}}

[[File:P_ID1047__Mod_A_2_10.png|right|frame|(Normierte) Hüllkurve bei der <br>Einseitenband–Modulation]]
Wir betrachten die Übertragung des Cosinussignals
:$$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)$$
gemäß dem Modulationsverfahren „OSB–AM mit Träger”. Beim Empfänger wird das hochfrequente Signal mittels eines [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulators]] in den NF-Bereich zurückgesetzt.

Der Kanal wird als ideal vorausgesetzt, so dass das Empfangssignal  &nbsp;$r(t)$&nbsp; identisch mit dem Sendesignal  &nbsp;$s(t)$&nbsp; ist. Mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis
:$$ \mu = \frac{A_{\rm N}}{2 \cdot A_{\rm T}}$$
kann für das äquivalente Tiefpass–Signal auch geschrieben werden:
:$$r_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \left( 1 + \mu \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot \hspace{0.03cm}\hspace{0.03cm}t} \right) \hspace{0.05cm}$$

Die Hüllkurve – also der Betrag dieses komplexen Signals – kann durch geometrische Überlegungen ermittelt werden. Man erhält abhängig vom Parameter &nbsp;$μ$:
:$$a(t ) = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 + 2 \mu \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)}\hspace{0.05cm}.$$
In der Grafik ist die zeitabhängige Hüllkurve &nbsp;$a(t)$&nbsp; für &nbsp;$μ = 1$&nbsp; und &nbsp;$μ = 0.5$&nbsp; dargestellt. Als gestrichelte Vergleichskurven sind jeweils die in der Amplitude angepassten Cosinusschwingungen eingezeichnet, die für eine verzerrungsfreie Demodulation Voraussetzung wären.

*Das periodische Signal &nbsp;$a(t)$&nbsp; kann durch eine [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]] angenähert werden:
:$$a(t ) = A_{\rm 0} + A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t) + A_{\rm 2} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} \cdot t)+ A_{\rm 3} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t)\hspace{0.05cm}+\text{...}$$
*Die Fourierkoeffizienten wurden mit Hilfe eines Simulationsprogrammes ermittelt. Für &nbsp;$μ = 1$&nbsp; ergaben sich folgende Werte:
:$$A_{\rm 0} = 1.273\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.849\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = -0.170\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 3} = 0.073\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 4} = 0.040\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
*Entsprechend ergab die Simulation mit &nbsp;$μ = 0.5$:
:$$A_{\rm 0} = 1.064\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.484\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = 0.058\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
:Die hier nicht angegebenen Werte können bei der Klirrfaktorberechnung  vernachlässigt werden. 
*Das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; ergibt sich aus &nbsp;$a(t)$&nbsp; wie folgt:
:$$v(t) = 2 \cdot \big [a(t ) - A_{\rm 0} \big ] \hspace{0.05cm}.$$
:Der Faktor $2$ korrigiert dabei die Amplitudenminderung durch die ESB–AM, während die Subtraktion des Gleichsignalkoeffizienten &nbsp;$A_0$&nbsp; den Einfluss des Hochpasses innerhalb des Hüllkurvendemodulators berücksichtigt.


Für die Fragen '''(1)''' bis '''(3)''' wird &nbsp;$A_{\rm N} = 2 \ \rm V$, $A_{\rm T} = 1 \ \rm V$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $μ = 1$&nbsp; vorausgesetzt, während ab Frage '''(4)''' für den Parameter &nbsp;$μ = 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  $A_{\rm N} = A_{\rm T} = 1 \ \rm V$&nbsp; gelten soll.





''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenbandmodulation]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;   [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation#Seitenband.E2.80.93zu.E2.80.93Tr.C3.A4ger.E2.80.93Verh.C3.A4ltnis|Seitenband-zu-Träger-Verhältnis]].
*Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse auch mit der Faustformel, die besagt, dass bei der Hüllkurvendemodulation eines ESB–AM–Signals mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis &nbsp;$μ$&nbsp; der Klirrfaktor &nbsp;$K ≈ μ/4$&nbsp; beträgt.
 





===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Geben Sie den Maximalwert und den Minimalwert des Sinkensignals &nbsp;$v(t)$&nbsp; für &nbsp;$μ = 1$&nbsp; an.
|type="{}"}
$v_{\rm max} \ = \ $ { 1.454 3% } $\ \rm V$
$v_{\rm min} \ = \ $ { -2.62--2.48 } $\ \rm V$

{Berechnen Sie den Klirrfaktor für &nbsp;$μ = 1$.
|type="{}"}
$K \ = \ $ { 22.3 3%  } $\ \text{%}$

{Woran erkennt man die nichtlinearen Verzerrungen im vorliegenden Signal &nbsp;$v(t)$?
|type="[]"}
+ Die untere Cosinushalbwelle ist spitzförmiger als die obere.
- Der Gleichsignalanteil &nbsp;${\rm Ε}\big[v(t)\big ] = 0$.

{Geben Sie den Maximalwert und den Minimalwert des Sinkensignals &nbsp;$v(t)$&nbsp; für &nbsp;$μ = 0.5$&nbsp; an.
|type="{}"}
$v_{\rm max} \ = \ $ { 0.872 3% } $\ \rm V$
$v_{\rm min} \ = \ $ { -2.19--2.07 } $\ \rm V$

{Berechnen Sie den Klirrfaktor für &nbsp;$μ = 0.5$.
|type="{}"}
$K \ = \ $ { 12 3% } $\ \text{%}$ 

{Wie lautet die obere Schranke &nbsp;$K_{\rm max}$&nbsp; für den Klirrfaktor bei ZSB–AM mit &nbsp;$m = 0.5$&nbsp; und Hüllkurvendemodulation, wenn ein Seitenband durch den Kanal gedämpft wird.
|type="{}"}
$K_{\rm max} \ = \ ${ 6.25 3% } $\ \text{%}$ 



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Der Maximalwert $a_{\rm max} = 2\ \rm  V$ und der Minimalwert $a_{\rm min} = 0$ können aus der Grafik abgelesen oder über die angegebene Gleichung berechnet werden:
:$$ a_{\rm max}  =  A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 + 2 \mu}= A_{\rm T} \cdot (1+ \mu) = 2\,{\rm V} \hspace{0.05cm},$$
:$$a_{\rm min}  =  A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 - 2 \mu}= A_{\rm T} \cdot (1- \mu) = 0 \hspace{0.05cm}.$$
Für die Extremwerte des Sinkensignals folgt daraus:
:$$ v_{\rm max}  = 2 \cdot [a_{\rm max} - A_{\rm 0}] = 2 \cdot [2\,{\rm V} - 1.273\,{\rm V}] \hspace{0.15cm}\underline {=1.454\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$
:$$ v_{\rm min}  =  -2 \cdot A_{\rm 0} \hspace{0.15cm}\underline {= -2.546\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$


'''(2)'''&nbsp; Unter Vernachlässigung der Fourierkoeffizienten $A_5$, $A_6$, usw. erhält man:
:$$K = \frac{\sqrt{A_2^2 + A_3^2+ A_4^2 }}{A_1}= \frac{\sqrt{0.170^2 + 0.073^2 + 0.040^2 }{\,\rm V}}{0.849\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 22.3 \%}.$$
Die Näherung $K ≈ μ/4$ liefert hier den Wert $25\%$.


'''(3)'''&nbsp; Nur der <u>erste Lösungsvorschlag</u> ist richtig. Aufgrund des Hochpasses innerhalb des Hüllkurvendemodulators wäre der Gleichsignalanteil auch dann $0$, wenn keine Verzerrungen vorlägen.


'''(4)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe (1) gilt hier:
:$$v_{\rm max}  =  2 \cdot [a_{\rm max} - A_{\rm 0}] = 2 \cdot [1.5\,{\rm V} - 1.064\,{\rm V}] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.872\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$
:$$ v_{\rm min}  =  -2 \cdot A_{\rm 0} \hspace{0.15cm}\underline {= -2.128\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$


'''(5)'''&nbsp; Bei kleinerem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis ergibt sich auch ein kleinerer Klirrfaktor:
:$$K = \frac{0.058{\,\rm V}}{0.484\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 12 \%}.$$
Die Näherung $K ≈ μ/4$ ergibt hier $12.5\%$. Daraus kann geschlossen werden, dass die angegebene Faustformel bei kleinerem $μ$ genauer ist.


'''(6)'''&nbsp; Der Klirrfaktor ist dann am größten, wenn eines der Seitenbänder völlig abgeschnitten wird. Da aber der Hüllkurvendemodulator keinerlei Kenntnis davon hat, ob 
*eine ESB–AM, oder 
*eine durch denm Kanal extrem beeinträchtigte ZSB–AM 

vorliegt, gibt $K_{\rm max} ≈ μ/4$ gleichzeitig eine obere Schranke für die ZSB–AM an.

Ein Vergleich der Parameter $m = A_{\rm N}/A_{\rm T}$ und $μ = A_{\rm N}/(2A_{\rm T})$ führt zum Ergebnis: 
:$$K_{\rm max} = \frac{\mu}{4} = \frac{m}{8} \hspace{0.15cm}\underline {=6.25 \%}.$$
{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^2.4  Einseitenbandmodulation^]]