View source for Aufgaben:Exercise 3.7: Angular Modulation of a Harmonic Oscillation


{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Frequenzmodulation (FM)
}}

[[File:P_ID1103__Mod_Z_3_6.png|right|frame|Möglicher FM–Demodulator]]
Das an einem Empfänger ankommende Signal lautet:
:$$ r(t) = 3\,{\rm V} \cdot \cos \hspace{-0.05cm} \big[2 \pi \cdot 1\,{\rm MHz} \cdot t + 3 \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\big]\hspace{0.05cm}.$$
Bei &nbsp;$r(t)$&nbsp; handelt es sich um ein winkelmoduliertes Signal, das bei der Übertragung weder verzerrt noch durch Rauschen beaufschlagt wurde. Die Signale &nbsp;$v_{\rm PM}(t)$&nbsp; und &nbsp;$v_{\rm FM}(t)$&nbsp; ergeben sich nach idealer Demodulation mittels
* Phasendemodulator, gegeben durch die Gleichung
:$$ v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {K_{\rm PM}} = 2\,{\rm V}^{-1}\hspace{0.05cm},$$
* Frequenzdemodulator, bestehend aus PM–Demodulator, Differenzierer und einer Konstanten $K$. 


Damit alle Signale gleiche Einheiten besitzen, ist diese Konstante $K$ dimensionsbehaftet.





''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]]&nbsp; und auf den Abschnitt &nbsp;[[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation|Signalverläufe bei Frequenzmodulation]].
 
	


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche Aussagen treffen mit Sicherheit zu?
|type="[]"}
+ Es könnte eine PM–Modulation vorliegen.
+ Es könnte eine FM–Modulation vorliegen.
- Die Nachrichtenphase ist sicher &nbsp;$ϕ_{\rm N} = 0$.
+ Die Nachrichtenfrequenz ist sicher &nbsp;$f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$.


{Berechnen Sie das Signal &nbsp;$v_{\rm PM}(t)$&nbsp; nach dem Phasendemodulator. Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$?
|type="{}"}
$v_{\rm PM}(t = 0) \ = \ $ { 1.5 3% } $\ \rm V$ 

{Berechnen Sie das Signal &nbsp;$v_{\rm FM}(t)$. Wie groß ist die Nachrichtenphase &nbsp;$ϕ_{\rm N}$?
|type="{}"}
$ϕ_{\rm N} \ = \ $ { 90 3% } $\ \rm Grad$ 

{Wie groß ist &nbsp;$K$&nbsp; zu wählen, damit die Amplitude von &nbsp;$v_{\rm FM}(t)$&nbsp; gleich &nbsp;$1.5 \ \rm  V$&nbsp; ist?
|type="{}"}
$K\ = \ $ { 6.28 3% } $\ \rm \cdot 10^4 \ 1/s$

{Welche der folgenden Aussagen treffen für das FM–modulierte Signal zu?
|type="[]"}
+ Der Phasenhub beträgt &nbsp;$ϕ_{\rm max} = 3$.
+ Der Frequenzhub beträgt &nbsp;$Δf_{\rm A} = 30 \ \rm  kHz$.
+ Es treten Augenblicksfrequenzen zwischen &nbsp;$0.97\ \rm   MHz$&nbsp; und &nbsp;$1.03 \ \rm   MHz$&nbsp; auf.
- Mit &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm  kHz$&nbsp; würde sich am Phasenhub nichts ändern.
+ Mit &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm  kHz$&nbsp; würde sich am Frequenzhub nichts ändern.
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
*Aus der Gleichung für $r(t)$ kann lediglich abgelesen werden, dass es sich um eine Winkelmodulation handelt, nicht jedoch, ob eine Phasenmodulation (PM) oder eine Frequenzmodulation (FM) vorliegt. 
*Aufgrund der Gleichung steht fest, dass die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$ beträgt. 
*Die Phase $ϕ_{\rm N} = 0$ des Quellensignals würde dagegen nur zutreffen, wenn eine Phasenmodulation vorläge. 


'''(2)'''&nbsp;  Mit der Modulatorkonstanten $K_{\rm PM} = 2 \ \rm V^{–1}$ erhält man hierfür:
:$$v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) = \frac{3}{2\,{\rm V}^{-1}} \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
Für den Zeitpunkt $t = 0$ gilt deshalb:
:$$v_{\rm PM}(t = 0) = {A_{\rm N}} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.5\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$


'''(3)'''&nbsp;  Für das Ausgangssignal $v_{\rm FM}(t)$ des FM–Demodulators – bestehend aus PM–Demodulator und Differenzierer – kann man schreiben:
:$$v_{\rm FM}(t)  =  \frac{{\rm d}v_{\rm PM}(t)}{{\rm d}t} \cdot K = \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot (- \sin(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t))=  \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot \cos(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t + 90^\circ)\hspace{0.05cm}.$$
Die Nachrichtenphase ist somit $ϕ_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= 90^\circ}$.


'''(4)'''&nbsp;  In diesem Fall muss gelten: &nbsp; $ K ={2 \pi \cdot f_{\rm N}} \hspace{0.15cm}\underline { = 6.28 \cdot 10^{4} \,\,{1}/{ s}} \hspace{0.05cm}.$


'''(5)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2, 3 und 5</u>:
*Der Phasenhub ist identisch mit dem Modulationsindex, der aus der angegebenen Gleichung abgelesen werden kann:
:$$\phi_{\rm max} = \eta = 3 = \frac{\Delta f_{\rm A}}{ f_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$
*Damit erhält man den Frequenzhub $Δf_{\rm A} = 3 · f_{\rm N} = 30 \ \rm kHz$. 
*Mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 1 \ \rm MHz$ kann somit die Augenblicksfrequenz $f_{\rm T}(t)$ nur Werte zwischen $1±0.03 MHz$ annehmen.


Es gilt also auch folgende Aussage:
Bei halber Nachrichtenfrequenz verdoppelt sich der Phasenhub $η$, während der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ davon nicht beeinflusst wird:
:$$\eta = \frac{K_{\rm PM} \cdot A_{\rm N}}{ f_{\rm N}} = 6 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_{\rm A} = \eta \cdot f_{\rm N} = 6 \cdot 5\,{\rm kHz} = 30\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$


{{ML-Fuß}}



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