View source for Aufgaben:Exercise 4.2: Low-Pass for Signal Reconstruction


{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Pulscodemodulation
}}

[[File:P_ID1608__Mod_A_4_2.png|right|frame|Kontinuierliche und diskrete Spektren (Beispiele)]]
Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei verschiedene Quellensignale $q_{\rm kon}(t)$ und $q_{\rm dis}(t)$, deren Betragsspektren $|Q_{\rm kon}(f)|$ und $|Q_{\rm dis}(f)|$ grafisch dargestellt sind. Die höchste in den Signalen vorkommende Frequenz ist jeweils $4 \ \rm kHz$.
* Von der Spektralfunktion $Q_{\rm kon}(f)$ ist nicht mehr bekannt, als dass es sich um ein kontinuierliches Spektrum handelt, wobei gilt:
:$$Q_{\rm kon}(|f| \le 4\,{\rm kHz}) \ne 0 \hspace{0.05cm}.$$
* Das Spektrum $Q_{\rm dis}(f)$ beinhaltet Spektrallinien bei $±1  \ \rm kHz$, $±2 \ \rm  kHz$, $±3  \ \rm kHz$ und $±4  \ \rm kHz$. Somit gilt:
:$$q_{\rm dis}(t) = \sum_{i=1}^{4}C_i \cdot \cos (2 \pi \cdot f_i \cdot t - \varphi_i),$$
:Amplitudenwerte: &nbsp;  $C_1 = 1.0 \ \rm  V$, $C_2 = 1.8 \ \rm  V$, $C_3 = 0.8  \ \rm V$, $C_4 = 0.4  \ \rm V.$

:Die Phasenwerte $φ_1$, $φ_2$ und $φ_3$ liegen jeweils im Bereich $±18^\circ$ und es gilt $φ_4 = 90^\circ$.


Die Signale werden jeweils mit der Frequenz $f_{\rm A}$ abgetastet und sofort einem idealen, rechteckförmigen Tiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ zugeführt. Dieses Szenario gilt zum Beispiel für
* die störungsfreie Pulsamplitudenmodulation (PAM) und
* die störungsfreie Pulscodemodulation (PCM) bei unendlich großer Quantisierungsstufenzahl $M$.


Das Ausgangssignal des (rechteckförmigen) Tiefpasses wird als Sinkensignal $v(t)$ bezeichnet, und für das Fehlersignal gilt $ε(t) = v(t) - q(t)$. Dieses ist nur dann von Null verschieden, wenn die Parameter der Abtastung $($Abtastfrequenz $f_{\rm A})$ und/oder der Signalrekonstruktion $($Grenzfrequenz $f_{\rm G})$ nicht bestmöglich dimensioniert sind.






''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Abtastung_und_Signalrekonstruktion|Abtastung und Signalrekonstruktion]].
 


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche Aussagen treffen für &nbsp;$f_{\rm A} = 8\  \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm G} = 4\  \rm  kHz$&nbsp; zu?
|type="[]"}
+ Das Signal &nbsp;$q_{\rm kon}(t)$&nbsp; lässt sich vollständig rekonstruieren: &nbsp; $ε_{\rm kon}(t) = 0$.
- Das Signal &nbsp;$q_{\rm dis}(t)$&nbsp; lässt sich vollständig rekonstruieren: &nbsp; $ε_{\rm dis}(t) = 0$.


{Welche Aussagen treffen für &nbsp;$f_{\rm A} = 10\  \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm G} = 5\  \rm kHz$&nbsp; zu?
|type="[]"}
+ Das Signal &nbsp;$q_{\rm dis}(t)$&nbsp; lässt sich vollständig rekonstruieren: &nbsp; $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
- $ε_{\rm dis}(t)$&nbsp; ist eine harmonische Schwingung mit &nbsp;$4 \  \rm kHz$.
- $ε_{\rm dis}(t)$&nbsp; ist eine harmonische Schwingung mit &nbsp;$6 \  \rm kHz$.

{Welche Aussagen treffen für &nbsp;$f_{\rm A} = 10\  \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm G} = 3.5\  \rm kHz$&nbsp; zu?
|type="[]"}
- Das Signal &nbsp;$q_{\rm dis}(t)$&nbsp; lässt sich vollständig rekonstruieren: &nbsp; $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
+ $ε_{\rm dis}(t)$&nbsp; ist eine harmonische Schwingung mit &nbsp;$4 \  \rm kHz$.
- $ε_{\rm dis}(t)$&nbsp; ist eine harmonische Schwingung mit &nbsp;$6 \  \rm kHz$.

{Welche Aussagen treffen für &nbsp;$f_{\rm A} = 10\  \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm G} = 6.5\  \rm kHz$ zu?
|type="[]"}
- Das Signal &nbsp;$q_{\rm dis}(t)$&nbsp; lässt sich vollständig rekonstruieren: &nbsp; $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
- $ε_{\rm dis}(t)$&nbsp; ist eine harmonische Schwingung mit &nbsp;$4 \  \rm kHz$.
+ $ε_{\rm dis}(t)$&nbsp; ist eine harmonische Schwingung mit &nbsp;$6 \  \rm kHz$.

</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>erste Aussage</u>: 
*Die Abtastung von $q_{\rm dis}(t)$ mit der Abtastfrequenz $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$ führt zu einem irreversiblen Fehler, da $Q_{\rm dis}(f)$ einen diskreten Spektralanteil (Diraclinie) bei $f_4 = 4\ \rm  kHz$ beinhaltet und der Phasenwert $φ_4 ≠ 0$ ist. 
*Mit dem hier angegebenen Phasenwert $φ_4 = 90^\circ$ (4 kHz– Sinuskomponente) gilt $ε_{\rm dis}(t) = v_{\rm dis}(t) - q_{\rm dis}(t) = -0.4 \ \rm  V · \sin(2π · f_4 · t)$. Siehe auch Musterlösung zur Aufgabe 4.2Z. 
*Dagegen kann das Signal $q_{\rm kon}(t)$ mit dem kontinuierlichen Spektrum $Q_{\rm kon}(f)$ auch dann mit einem Rechteck–Tiefpass (mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 4\ \rm   kHz$) vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz $f_{\rm A} = 8\ \rm   kHz$ verwendet wurde. Für alle Frequenzen ungleich $f_4$ ist das Abtasttheorem erfüllt. 
*Der Anteil der $f_4$–Komponente am gesamten Spektrum $Q_{\rm kon}(f)$ ist aber nur verschwindend klein &nbsp; ⇒ &nbsp; ${\rm Pr}(f_4) → 0$, solange das Spektrum bei $f_4$ keine Diraclinie aufweist.


'''(2)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
*Mit $f_{\rm A} = 10\ \rm   kHz$ wird das Abtasttheorem in beiden Fällen erfüllt.
* Mit $f_{\rm G}  = f_{\rm A} /2$ sind beide Fehlersignale $ε_{\rm kon}(t)$ und $ε_{\rm dis}(t)$ identisch Null.
*Die Signalrekonstruktion funktioniert darüber hinaus auch dann, solange $f_{\rm G} > 4 \ \rm   kHz$ und $f_{\rm G} < 6 \ \rm  kHz$ gilt.


'''(3)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
*Mit $f_{\rm G} = 3.5 \ \rm  kHz$ entfernt der Tiefpass fälschlicherweise den $4 kHz$–Anteil, das heißt dann gilt:
:$$ v_{\rm dis}(t) = q_{\rm dis}(t) - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm dis}(t) = - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$

[[File:P_ID1609__Mod_A_4_2d.png|P_ID1609__Mod_A_4_2d.png|right|frame|Signalrekonstruktion mit zu großer Grenzfrequenz]]
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
*Durch die Abtastung mit $f_{\rm A} = 10\ \rm   kHz$ ergibt sich das rechts skizzierte periodische Spektrum:
*Der Tiefpass entfernt alle diskreten Frequenzanteile mit $|f| ≥ 7\ \rm    kHz$, nicht aber den $6\ \rm    kHz$–Anteil. 

Das Fehlersignal $ε_{\rm dis}(t) = v_{\rm dis}(t) – q_{\rm dis}(t)$ ist dann eine harmonische Schwingung mit
* der Frequenz $f_6 = f_{\rm A} – f_4 = 6\  \rm kHz$,
* der Amplitude $A_4$ des $f_4$–Anteils,
* der Phase $φ_{-4} = -φ_4$ des $Q(f)$–Anteils bei $f = -f_4$.

{{ML-Fuß}}



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