View source for Aufgaben:Exercise 1.08: Comparison of ASK and BPSK


{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation
}}

[[File:P_ID1680__Dig_A_4_1.png|right|frame|Bitfehlerwahrscheinlichkeiten <br>von ASK und BPSK]]
Die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten der Modulationsarten &nbsp;''Amplitude Shift Keying''&nbsp; (ASK) und &nbsp;''Binary Shift Keying''&nbsp; (BPSK) werden oft durch die beiden folgenden Gleichungen angegeben:
:$$p_{\rm ASK}  = \ {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )  = \ {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{2 \cdot N_0 }} \right ),$$
:$$ p_{\rm BPSK} = \ {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )  = \ {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{ N_0 }} \right ).$$

Diese beiden Gleichungen sind in der beigefügten Tabelle ausgewertet. Dabei gilt:
*$E_{\rm B}$&nbsp; gibt die mittlere Energie pro Bit an.
*$N_{0}$&nbsp; ist die Rauschleistungsdichte.
*Zwischen den Fehlerfunktionen &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; und &nbsp;${\rm erfc}(x)$&nbsp; besteht ein fester Zusammenhang.


Anzumerken ist, dass diese Gleichungen nicht allgemein gelten, sondern nur unter gewissen idealisierten Bedingungen. Diese Voraussetzungen sollen in dieser Aufgabe herausgearbeitet werden.






''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]].
 
*Sie können die Ergebnisse mit dem Applet [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] überprüfen.



===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welcher Zusammenhang besteht zwischen &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; und &nbsp;${\rm erfc}(x)$?
|type="[]"}
- Es gilt &nbsp;${\rm Q}(x)= 2 \cdot{\rm erfc}(x)$,
+ Es gilt &nbsp;${\rm Q}(x)= 0.5 \cdot{\rm erfc}(x)/\sqrt{2})$,
-  Es gilt &nbsp;${\rm erfc}(x)= 0.5 \cdot{\rm Q}(x)/\sqrt{2})$.

{Wann gelten die angegebenen Gleichungen für die Fehlerwahrscheinlichkeits?
|type="[]"}
+  Sie gelten nur für den AWGN–Kanal.
+ Sie gelten nur für den Matched–Filter–Empfänger (oder Varianten).
-  Die Gleichungen berücksichtigen Impulsinterferenzen.
-  Die Gleichungen gelten nur bei rechteckförmigen Signalen.


{Wie lauten die Fehlerwahrscheinlichkeiten für &nbsp;$10 \cdot  \lg \ E_{\rm B}/N_{0} = 12\, \rm dB$?
|type="{}"}
$ p_{\rm ASK} \ = \ $ { 0.343 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
$ p_{\rm BPSK} \ = \ $ { 0.901 3% } $\ \cdot 10^{-8}$

{Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten ergeben sich für &nbsp;$E_{\rm B}/N_{0} = 8$?
|type="{}"}
$ p_{\rm ASK} \ = \ $ { 0.241 3% } $\ \cdot 10^{-2}$
$ p_{\rm BPSK} \ = \ $ { 0.336 3% } $\ \cdot 10^{-4}$

{Die Fehlerwahrscheinlichkeit soll nicht größer werden als &nbsp;$10^{-8}$. Wie groß ist das erforderliche &nbsp;$10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; bei ASK?
|type="{}"}
$(E_{\rm B}/N_{0})_{\rm min} \ = \ $ { 15 3% } $\ \rm dB $



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Bereits aus den Gleichungen auf der Angabenseite ist ersichtlich, dass der <u>Lösungsvorschlag 2</u> richtig ist. Die Definitionsgleichungen lauten:
:$$\rm Q (\it x) = \ \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u
\hspace{0.05cm},$$
:$$\rm erfc (\it x)  = \ \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm
\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u
\hspace{0.05cm}.$$
Durch einfache Substitutionen kann der oben genannte Zusammenhang einfach nachgewiesen werden:
:$$\rm Q ( x) = 1/2 \cdot \rm erfc (x/\sqrt{2}) \hspace{0.05cm}.$$

'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>beiden ersten Lösungsvorschläge:</u> 
*Die Gleichungen gelten nur für den AWGN&ndash;Kanal und für einen optimalen Binärempfänger, zum Beispiel entsprechend des Matched&ndash;Filter&ndash;Ansatzes. 
*Impulsinterferenzen &ndash; verursacht durch den Kanal oder das Empfangsfilter &ndash; werden damit nicht erfasst. 
*Die genaue Sendeimpulsformung spielt dagegen keine Rolle, solange das Empfangsfilter $H_{\rm E}(f)$ an das Sendespektrum angepasst ist. Vielmehr gilt:
*Zwei unterschiedliche Sendeimpulsformer $H_{\rm S}(f)$ führen zur genau gleichen Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn sie die gleiche Energie pro Bit aufweisen.


'''(3)'''&nbsp; Diese Ergebnisse können direkt aus der Tabelle abgelesen werden:
:$$p_{\rm ASK} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.343 \cdot 10^{-4}},\hspace{0.3cm}p_{\rm BPSK} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.901 \cdot 10^{-8}}.$$


'''(4)'''&nbsp; Mit $E_{\rm B}/N_{0} = 8\  \Rightarrow \ 10  \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_{0} \approx 9 \ \rm dB$ erhält man folgende Fehlerwahrscheinlichkeiten:
:$$p_{\rm ASK} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.241 \cdot 10^{-2}},\hspace{0.3cm}p_{\rm BPSK} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.336 \cdot 10^{-4}}.$$

'''(5)'''&nbsp; Aus der Teilaufgabe (3) folgt, dass bei der binären Phasenmodulation $10  \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_{0} \approx 12 \ \rm dB$ erfüllt sein muss, damit $p_{\rm BPSK} \approx 10^{-8}$ möglich ist. Die angegebenen Gleichungen zeigen aber auch, dass die ASK–Kurve um $3 \ \rm dB$ (exakt $3.01 \ \rm dB$) rechts von der BPSK–Kurve liegt. Daraus folgt:
:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/N_{\rm 0})_{\rm min}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 15\,\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$


{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^1.5 Lineare digitale Modulation^]]