View source for Aufgaben:Exercise 1.17: About the Channel Coding Theorem

{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung



}}

[[File:P_ID2412__KC_A_1_16.png|right|frame|Kanalkapazität (grün) und Coderaten (rote Punkte) einiger etablierter Systeme]]

Die Grafik zeigt die maximal zulässige Coderate&nbsp; $R < C$&nbsp; gemäß Shannons&nbsp; [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t|Kanalcodierungstheorem]]:

*Die grüne Grenzkurve gibt die Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; für den AWGN–Kanal unter der Voraussetzung eines binären Eingangssignals („BPSK”) an.

*In der&nbsp;  [[Aufgaben:1.17Z_BPSK–Kanalkapazität|Aufgabe 1.17Z]]&nbsp; wird hierfür eine einfache Näherung angegeben. Mit der zweiten Abszisse
 
:$$x = \frac {1.6\,{\rm dB} + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 }{1\,{\rm dB}}$$

:ergibt sich näherungsweise:

:$$C \approx \hspace{0.15cm} \left\{ \begin{array}{c} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x} \\ \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x > 0, \\ \\{\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x < 0. \end{array}$$
 
*Gilt&nbsp; $R < C$, so kann ein Code gefunden werden, der bei unendlich langen Blöcken&nbsp; $(n → ∞)$&nbsp; zur Fehlerwahrscheinlichkeit &bdquo;Null&rdquo; führt. Wie dieser Code aussieht, ist durch das Kanalcodierungstheorem nicht festgelegt und spielt für diese Aufgabe auch keine Rolle.


In die Grafik als Punkte eingezeichnet sind die Kenngrößen etablierter Codiersysteme: 
*Die Punkte&nbsp; $\rm X$,&nbsp; $\rm Y$&nbsp; und&nbsp; $\rm Z$&nbsp; markieren drei Hamming–Codes unterschiedlicher Codelängen, nämlich mit&nbsp; $n = 7$,&nbsp; $n = 15$&nbsp; und&nbsp; $n = 31$. 
*Das Codiersystem&nbsp; $\rm W$&nbsp; ist durch die Kenngrößen&nbsp; $R = 0.5$&nbsp; und&nbsp; $10 \ · \ \lg {E_{\rm B}/N_0} = 3 {\rm dB}$&nbsp; gekennzeichnet.







''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel&nbsp;  [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung|Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung]]. 
* Die informationstheoretische Grenze „Kanalkapazität” bezieht sich auf die Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $\rm BER =0$. 
*Die eingezeichneten Punkte realer Übertragungssysteme ergeben sich dagegen unter der Annahme&nbsp; $\rm BER = 10^{–5}$.
 




===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Welche der Punkte gehören zu welchem Hamming–Code? ''Hinweis:'' &nbsp; Die Grafik wurde für&nbsp; $\rm BER = 10^{–5}$&nbsp; erstellt.
|type="[]"}
+ $\rm X$&nbsp; bezeichnet den&nbsp; $(7, 4, 3)$–Hamming–Code.
+ $\rm Y$&nbsp; bezeichnet den&nbsp; $(15, 11, 3)$–Hamming–Code.
+ $\rm Z$&nbsp; bezeichnet den&nbsp; $(31, 26, 3)$–Hamming–Code.

{In welche Richtung(en) werden sich die Punkte&nbsp; $\rm X$,&nbsp; $\rm Y$&nbsp; und&nbsp; $\rm Z$&nbsp; verschieben, wenn die Grafik für&nbsp; $\rm BER = 10^{–10}$&nbsp; erstellt werden soll?
|type="[]"}
- Nach links,
+ nach rechts,
- nach oben.

{Bis zu welcher Coderate&nbsp; $R_{\rm max}$&nbsp; könnte man ein System mit gleichem&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0} = 3 \ {\rm dB}$&nbsp; wie System  &nbsp;$\rm W$&nbsp; betreiben?
|type="{}"}
$R_{\rm max} \ = \ $ {  0.84 3% }

{Um welchen Faktor &nbsp;$A > 1$&nbsp; könnte die Sendeleistung von System &nbsp;$\rm W$&nbsp; nach der Kanalkapazitätskurve mit&nbsp; $ R = 0.5$&nbsp; herabgesetzt werden?
|type="{}"}
$A \ = \ $ { 1.94 3% }
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>alle Lösungsvorschläge</u>: 
*Aus der Grafik erkennt man bereits, dass die Rate von &nbsp;$\rm Z$&nbsp; größer ist als die Rate von &nbsp;$\rm Y$&nbsp;  und die Rate von &nbsp;$\rm Y$&nbsp; größer ist als die Rate von &nbsp;$\rm X$. 
*Die tatsächlichen Raten dieser drei Systeme sind $R_{\rm X} = 4/7 = 0.571$, $R_{\rm Y} = 11/15 = 0.733$ und $R_{\rm Z} = 26/31 = 0.839$.
*Da zudem der $(31, 26, 3)$–Hamming–Code &nbsp; ⇒ &nbsp; Code &nbsp;$\rm Z$&nbsp; die größte Codewortlänge $n$ aufweist, benötigt er trotz größerer Coderate&nbsp; $R$&nbsp;  für&nbsp; ${\rm BER} = 10^{–5}$&nbsp; ein geringeres&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; als die beiden anderen Hamming–Codes.



'''(2)'''&nbsp; Richtig ist <u>die Antwort 2</u>: 
*Für eine kleinere Bitfehlerrate benötigt man stets ein größeres $E_{\rm B}/N_{0}$. 
*Eine vertikale Verschiebung gibt es nicht, da sich auch mit $\rm BER = 10^{–10}$ an den Coderaten nichts ändert.



'''(3)'''&nbsp; Für den logarithmierten AWGN–Parameter $10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} = 3 \ {\rm dB}$ ergibt sich die vorne angegebene Hilfsgröße $x = 1.6 + 3 = 4.6.$ Damit erhält man:
 
:$$R_{\rm max} = C (x = 4.6)= 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 4.6} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.84} \hspace{0.05cm}.$$



'''(4)'''&nbsp;  Entsprechend der vorgegebenen Gleichung gilt nun:
:$$1 -  {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x} = 0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x = \frac{-{\rm ln}(0.5)}{-0.4} = 1.73\hspace{0.3cm} 
\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 1.73 - 1.6 = 0.13 \,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$  

$10 · \lg {E_{\rm B}/N_0}$ könnte demnach um $3 \ \rm dB - 0.13 \ dB = 2.87 \ dB$ herabgesetzt werden, also um den Faktor $A = 10^{0.287}\hspace{0.15cm} \underline{= 1.94} \hspace{0.05cm}.$
{{ML-Fuß}}



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