View source for Signal Representation/Discrete Fourier Transform (DFT)

 
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==Argumente für die diskrete Realisierung der Fouriertransformation==
<br>
Die&nbsp; '''Fouriertransformation'''&nbsp; gemäß der bisherigen Beschreibung im Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Aperiodische Signale &ndash; Impulse]]&nbsp; weist aufgrund der unbegrenzten Ausdehnung des Integrationsintervalls eine unendlich hohe Selektivität auf und ist deshalb ein ideales theoretisches Hilfsmittel der Spektralanalyse.

Sollen die Spektralanteile&nbsp; $X(f)$&nbsp; einer Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; numerisch ermittelt werden, so sind die allgemeinen Transformationsgleichungen
 
:$$\begin{align*}X(f) & =  \int_{-\infty
 }^{+\infty}x(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi f t}\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} \text{Hintransformation}\hspace{0.7cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} \text{Erstes Fourierintegral}
 \hspace{0.05cm},\\
x(t) & =  \int_{-\infty
 }^{+\infty}\hspace{-0.15cm}X(f) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi f t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f\hspace{0.35cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}
\text{Rücktransformation}\hspace{0.4cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} \text{Zweites Fourierintegral}
 \hspace{0.05cm}\end{align*}$$

aus zwei Gründen ungeeignet:
*Die Gleichungen gelten ausschließlich für zeitkontinuierliche Signale. Mit Digitalrechnern oder Signalprozessoren kann man jedoch nur zeitdiskrete Signale verarbeiten.
*Für eine numerische Auswertung der beiden Fourierintegrale ist es erforderlich, das jeweilige Integrationsintervall auf einen endlichen Wert zu begrenzen.


{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Daraus ergibt sich folgende Konsequenz:}$&nbsp;

Ein&nbsp; '''kontinuierliches Signal'''&nbsp; muss vor der numerischen Bestimmung seiner Spektraleigenschaften zwei Prozesse durchlaufen, nämlich
*den der&nbsp; '''Abtastung'''&nbsp; zur Diskretisierung, und
*den der&nbsp; '''Fensterung'''&nbsp; zur Begrenzung des Integrationsintervalls.}}


Im Folgenden wird ausgehend von einer aperiodischen Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; und dem dazugehörigen Fourierspektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; eine für die Rechnerverarbeitung geeignete zeit– und frequenzdiskrete Beschreibung schrittweise entwickelt.


==Zeitdiskretisierung &ndash; Periodifizierung im Frequenzbereich==
<br>
Die folgenden Grafiken zeigen einheitlich links den Zeitbereich und rechts den Frequenzbereich. Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit sind $x(t)$ und $X(f)$ jeweils reell und gaußförmig.

[[File:P_ID1132__Sig_T_5_1_S2_neu.png|center|frame|Diskretisierung im Zeitbereich – Periodifizierung im Frequenzbereich]]

Entsprechend dem Kapitel [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]] kann man die Abtastung des Zeitsignals $x(t)$ durch die Multiplikation mit einem Diracpuls $p_{\delta}(t)$ beschreiben. Es ergibt sich das im Abstand $T_{\rm A}$ abgetastete Zeitsignal
 
:$${\rm A}\{x(t)\} =  \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\cdot
 \delta (t- \nu \cdot T_{\rm A}
 )\hspace{0.05cm}.$$

Dieses abgetastete Signal $\text{A}\{ x(t)\}$ transformieren wir nun in den Frequenzbereich. Der Multiplikation des Diracpulses $p_{\delta}(t)$ mit $x(t)$ entspricht im Frequenzbereich die Faltung von $P_{\delta}(f)$ mit $X(f)$. Es ergibt sich das periodifizierte Spektrum $\text{P}\{ X(f)\}$, wobei $f_{\rm P}$ die Frequenzperiode der Funktion $\text{P}\{ X(f)\}$ angibt:
 
:$${\rm A}\{x(t)\} \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} {\rm P}\{X(f)\} =  \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}
 X (f- \mu \cdot f_{\rm P} )\hspace{0.5cm} {\rm mit }\hspace{0.5cm}f_{\rm
 P}= {1}/{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$

Dieser Zusammenhang wurde ebenfalls bereits im Kapitel [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]  hergeleitet, jedoch mit etwas anderer Nomenklatur:
*Das abgetastete Signal nennen wir nun $\text{A}\{ x(t)\}$ anstelle von $x_{\rm A}(t)$.
* Die '''Frequenzperiode''' wird nun mit $f_{\rm P}$ = $1/T_{\rm A}$ anstelle von $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$ bezeichnet.

Diese Nomenklaturänderung wird auf den nachfolgenden Seiten begründet.

Die obige Grafik zeigt den hier beschriebenen Funktionalzusammenhang. Hierzu ist anzumerken:
*Die Frequenzperiode $f_{\rm P}$ wurde hier bewusst klein gewählt, so dass die Überlappung der zu summierenden Spektren deutlich zu erkennen ist.
*In der Praxis sollte $f_{\rm P}$ aufgrund des Abtasttheorems mindestens doppelt so groß sein wie die größte im Signal $x(t)$ enthaltene Frequenz.
*Ist dies nicht erfüllt, so muss mit '''Aliasing''' gerechnet werden – siehe Kapitel [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT|Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT]].


==Frequenzdiskretisierung &ndash; Periodifizierung im Zeitbereich==
<br>
Die Diskretisierung von $X(f)$ lässt sich ebenfalls durch eine Multiplikation mit einem Diracpuls beschreiben. Es ergibt sich das im Abstand $f_{\rm A}$ abgetastete Spektrum:
 
:$${\rm A}\{X(f)\} =  X(f) \cdot   \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}
 f_{\rm A} \cdot \delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } ) =  \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}
 f_{\rm A} \cdot X(\mu \cdot f_{\rm A } ) \cdot\delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } )\hspace{0.05cm}.$$

Transformiert man den hier verwendeten Frequenz–Diracpuls (mit Impulsgewichten $f_{\rm A}$) in den Zeitbereich, so erhält man mit $T_{\rm P} = 1/f_{\rm A}$:
 
:$$\sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}
 f_{\rm A} \cdot \delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } ) \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}
 \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty}
  \delta (t- \nu \cdot T_{\rm P } ) \hspace{0.05cm}.$$

Die Multiplikation mit $X(f)$ entspricht im Zeitbereich der Faltung mit $x(t)$. Man erhält das im Abstand $T_{\rm P}$ periodifizierte Signal $\text{P}\{ x(t)\}$:
 
:$${\rm A}\{X(f)\} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}
 {\rm P}\{x(t)\} = x(t) \star \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty}
  \delta (t- \nu \cdot T_{\rm P } )= \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty}
  x (t- \nu \cdot T_{\rm P } ) \hspace{0.05cm}.$$

[[File:P_ID1134__Sig_T_5_1_S3_neu.png|right|frame|Diskretisierung im Frequenzbereich – Periodifizierung im Zeitbereich]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
Dieser Zusammenhang ist in der Grafik veranschaulicht: 
*Aufgrund der groben Frequenzrasterung ergibt sich in diesem Beispiel für die Zeitperiode $T_{\rm P}$ ein relativ kleiner Wert.
* Deshalb  unterscheidet sich das (blaue) periodifizierte Zeitsignal $\text{P}\{ x(t)\}$ aufgrund von Überlappungen deutlich von $x(t)$.}}


==Finite Signaldarstellung==
<br>
[[File:P_ID1135__Sig_T_5_1_S4_neu.png|right|frame|Finite Signale der Diskreten Fouriertransformation (DFT)]]
Zur so genannten ''finiten Signaldarstellung'' kommt man, 
*wenn sowohl die Zeitfunktion $x(t)$ 
*als auch die Spektralfunktion $X(f)$ 


ausschließlich durch ihre Abtastwerte angegeben werden.
<br clear=all>
Die Grafik ist wie folgt zu interpretieren:
*Im linken Bild blau eingezeichnet ist die Funktion $\text{A}\{ \text{P}\{ x(t)\}\}$. Diese ergibt sich durch Abtastung der periodifizierten Zeitfunktion $\text{P}\{ x(t)\}$ mit äquidistanten Diracimpulsen im Abstand $T_{\rm A} = 1/f_{\rm P}$.
*Im rechten Bild grün eingezeichnet ist die Funktion $\text{P}\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$. Diese ergibt sich durch Periodifizierung (mit $f_{\rm P}$) der abgetasteten Spektralfunktion $\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$. 
*Zwischen dem blauen finiten Signal und dem grünen finiten Signal besteht eine Fourierkorrespondenz, und zwar folgende:
 
:$${\rm A}\{{\rm P}\{x(t)\}\} \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} {\rm P}\{{\rm A}\{X(f)\}\} \hspace{0.05cm}.$$

*Die Diraclinien der periodischen Fortsetzung $\text{P}\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$ der abgetasteten Spektralfunktion fallen allerdings nur dann in das gleiche Frequenzraster wie diejenigen von $\text{A}\{ X(f)\}$, wenn die Frequenzperiode $f_{\rm P}$ ein ganzzahliges Vielfaches $(N)$ des Frequenzabtastabstandes $f_{\rm A}$ ist.
*Deshalb muss bei Anwendung der finiten Signaldarstellung stets die folgende Bedingung erfüllt sein, wobei für die natürliche Zahl $N$ in der Praxis meist eine Zweierpotenz verwendet wird (der obigen Grafik liegt der Wert $N = 8$ zugrunde):
 
:$$f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A} \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} {1}/{T_{\rm A}}= N \cdot f_{\rm A} \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}
 N \cdot f_{\rm A}\cdot T_{\rm A} = 1\hspace{0.05cm}.$$

*Bei Einhaltung der Bedingung $N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1$ ist die Reihenfolge von Periodifizierung und Abtastung vertauschbar. Somit gilt:
 
:$${\rm A}\{{\rm P}\{x(t)\}\} = {\rm P}\{{\rm A}\{x(t)\}\}\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
 {\rm P}\{{\rm A}\{X(f)\}\} = {\rm A}\{{\rm P}\{X(f)\}\}\hspace{0.05cm}.$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$&nbsp;
*Die Zeitfunktion $\text{P}\{ \text{A}\{ x(t)\}\}$ besitzt die Periode $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$. 
*Die Periode im Frequenzbereich ist $f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A}$. 
*Zur Beschreibung des diskretisierten Zeit– und Frequenzverlaufs reichen somit jeweils $N$ '''komplexe Zahlenwerte''' in Form von Impulsgewichten aus.}}


{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
Es liegt ein impulsartiges Signal $x(t)$ in abgetasteter Form vor, wobei  der Abstand zweier Abtastwerte $T_{\rm A} = 1\, {\rm &micro; s}$ beträgt: 
*Nach einer diskreten Fouriertransformation mit $N = 512$ liegt das Spektrum $X(f)$ in Form von Abtastwerten im Abstand $f_{\rm A} = (N \cdot T_{\rm A})^{–1} \approx 1.953\,\text{kHz} $ vor. 
*Vergrößert man den DFT&ndash;Parameter auf  $N= 2048$, so ergibt sich ein feineres Frequenzraster mit $f_{\rm A} \approx 488\,\text{Hz}$.}}


==Von der kontinuierlichen zur diskreten Fouriertransformation==
<br>
Aus dem herkömmlichen&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]]
 
:$$X(f) =\int_{-\infty
 }^{+\infty}x(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm} {\rm d}t$$

entsteht durch Diskretisierung&nbsp; $(\text{d}t \to T_{\rm A}$,&nbsp;  $t \to \nu \cdot T_{\rm A}$,&nbsp;  $f \to \mu \cdot f_{\rm A}$,&nbsp;  $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} = 1/N)$&nbsp; die abgetastete und periodifizierte Spektralfunktion
 
:$${\rm P}\{X(\mu \cdot f_{\rm A})\} = T_{\rm A} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
  {\rm P}\{x(\nu \cdot T_{\rm A})\}\cdot  {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}
 \cdot \hspace{0.05cm}\mu /N} \hspace{0.05cm}.$$

Es ist berücksichtigt, dass aufgrund der Diskretisierung jeweils die periodifizierten Funktionen einzusetzen sind. 

Aus Gründen einer vereinfachten Schreibweise nehmen wir nun die folgenden Substitutionen vor:
*Die&nbsp; $N$&nbsp; '''Zeitbereichskoeffizienten'''&nbsp; seien mit der Laufvariablen&nbsp; $\nu = 0$, ... , $N - 1$:
:$$d(\nu) =
  {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big|}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
*Die&nbsp; $N$&nbsp; '''Frequenzbereichskoeffizienten'''&nbsp; seien mit der Laufvariablen&nbsp; $\mu = 0,$ ... , $N$ – 1:
:$$D(\mu) = f_{\rm A} \cdot
  {\rm P}\left\{X(f)\right\}{\big|}_{f \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
*Abkürzend wird für den von&nbsp; $N$&nbsp; abhängigen&nbsp;  '''komplexen Drehfaktor'''&nbsp;  geschrieben:
:$$w  = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N}
 = \cos \left(  {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left(  {2 \pi}/{N}\right)
 \hspace{0.05cm}.$$ 

[[File:P_ID2730__Sig_T_5_1_S5_neu.png|right|frame|Zur Definition der Diskreten Fouriertransformation (DFT) mit&nbsp; $N=8$]]
{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$&nbsp;

Unter dem Begriff&nbsp;  '''Diskrete Fouriertransformation'''&nbsp; (kurz '''DFT''')&nbsp; versteht man die Berechnung der&nbsp; $N$&nbsp; Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; aus den&nbsp; $N$&nbsp; Signalkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$:
 
:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
  d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}. $$

In der Grafik erkennt man an einem Beispiel 
*die&nbsp; $N = 8$&nbsp; Signalkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; an der blauen Füllung, 
*die&nbsp; $N = 8$&nbsp; Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; an der grünen Füllung.}}


==Inverse Diskrete Fouriertransformation==
<br>
Die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) beschreibt das&nbsp;  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|zweite Fourierintegral]]
 
:$$\begin{align*}x(t) & =  \int_{-\infty
 }^{+\infty}X(f) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}
 t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f\end{align*}$$

in diskretisierter Form: &nbsp; $d(\nu) =
  {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big|}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm
  A}}\hspace{0.01cm}.$

[[File:P_ID2731__Sig_T_5_1_S6_neu.png|right|frame|Zur Definition der IDFT mit&nbsp; $N=8$]]
{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$&nbsp;

Unter dem Begriff&nbsp;  '''Inversen Diskreten Fouriertransformation'''&nbsp; (kurz '''IDFT''')&nbsp; versteht man die Berechnung der Signalkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; aus den Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$:
 
:$$d(\nu) =  \sum_{\mu = 0 }^{N-1}
 D(\mu) \cdot  {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

Mit den Laufvariablen&nbsp; $\nu = 0,  \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$&nbsp; und&nbsp; $\mu = 0,  \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$&nbsp; gilt auch hier:
:$$d(\nu) =
  {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big \vert}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm
  A} }\hspace{0.01cm},$$
 
:$$D(\mu) = f_{\rm A} \cdot
  {\rm P}\left\{X(f)\right\}{\big \vert}_{f \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm A} }
  \hspace{0.01cm},$$

:$$w  = {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N}
 \hspace{0.01cm}.$$}}

 
Ein Vergleich zwischen der&nbsp; [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)#Von_der_kontinuierlichen_zur_diskreten_Fouriertransformation|DFT]]&nbsp; und IDFT zeigt, dass genau der gleiche Algorithmus verwendet werden kann. Die einzigen Unterschiede der IDFT gegenüber der DFT sind:
*Der Exponent des Drehfaktors ist mit unterschiedlichem Vorzeichen anzusetzen.
*Bei der IDFT entfällt die Division durch&nbsp; $N$.


==Interpretation von DFT und IDFT==
<br>
Die Grafik zeigt die diskreten Koeffizienten im Zeit– und Frequenzbereich zusammen mit den periodifizierten zeitkontinuierlichen Funktionen.

[[File:P_ID1136__Sig_T_5_1_S7_neu.png|center|frame|Zeit&ndash; und Frequenzbereichskoeffizienten der DFT]]

Bei Anwendung von DFT bzw. IDFT ist zu beachten:
*Nach obigen Definitionen besitzen die DFT–Koeffizienten&nbsp; $d(ν)$&nbsp; und&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; stets die Einheit der Zeitfunktion. 
*Dividiert man&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; durch&nbsp; $f_{\rm A}$, so erhält man den Spektralwert&nbsp; $X(\mu \cdot f_{\rm A})$.
*Die Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; müssen stets komplex angesetzt werden, um auch ungerade Zeitfunktionen berücksichtigen zu können.
*Um auch Bandpass–Signale im äquivalenten Tiefpass&ndash;Bereich transformieren zu können, verwendet man meist auch komplexe Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$.
*Als Grundintervall für&nbsp; $\nu$&nbsp; und&nbsp;  $\mu$&nbsp; definiert man meist – wie in obiger Grafik – den Bereich von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $N - 1$. 
*Mit den komplexwertigen Zahlenfolgen&nbsp; $\langle \hspace{0.1cm}d(\nu)\hspace{0.1cm}\rangle  = \langle \hspace{0.1cm}d(0), \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , d(N-1) \hspace{0.1cm}\rangle$  &nbsp; sowie &nbsp; $\langle \hspace{0.1cm}D(\mu)\hspace{0.1cm}\rangle  =   \langle \hspace{0.1cm}D(0), \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , D(N-1) \hspace{0.1cm}\rangle$&nbsp; werden DFT und IDFT ähnlich wie die herkömmliche Fouriertransformation symbolisiert:
:$$\langle \hspace{0.1cm} D(\mu)\hspace{0.1cm}\rangle \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-(N)\!-\!\!\!-\!\!\hspace{0.05cm}\circ\, \hspace{0.2cm} \langle \hspace{0.1cm} d(\nu) \hspace{0.1cm}\rangle  \hspace{0.05cm}.$$ 
*Ist die Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; bereits auf den Bereich&nbsp; $0 \le t \lt N \cdot T_{\rm A}$&nbsp; begrenzt, dann geben die von der IDFT ausgegebenen Zeitkoeffizienten direkt die Abtastwerte der Zeitfunktion an:  &nbsp; $d(\nu) = x(\nu \cdot T_{\rm A}).$
*Ist&nbsp; $x(t)$&nbsp; gegenüber dem Grundintervall verschoben, so muss man die im&nbsp; $\text{Beispiel 3}$&nbsp; gezeigte Zuordnung zwischen&nbsp; $x(t)$&nbsp; und den Koeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; wählen.


{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
Die obere Grafik zeigt den unsymmetrischen Dreieckimpuls&nbsp; $x(t)$, dessen absolute Breite kleiner ist als&nbsp; $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$. 

[[File:P_ID1139__Sig_T_5_1_S7b_neu.png|right|frame|Zur Belegung der DFT-Koeffizienten  mit&nbsp; $N=8$]]

Die untere Skizze zeigt die zugeordneten DFT–Koeffizienten gültig für&nbsp;  $N = 8$

*Für&nbsp;  $\nu = 0,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , N/2 = 4$&nbsp; gilt&nbsp; $d(\nu) = x(\nu \cdot T_{\rm A})$:

:$$d(0) = x (0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}
d(1) = x (T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}
d(2) = x (2T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, $$
:$$d(3) = x (3T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}
d(4) = x (4T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$ 
*Dagegen sind die Koeffizienten&nbsp; $d(5)$,&nbsp; $d(6)$&nbsp; und&nbsp; d$(7)$&nbsp; wie folgt zu setzen:

:$$d(\nu) = x \big ((\nu\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm} N ) \cdot T_{\rm   A}\big )  $$

:$$ \Rightarrow \hspace{0.2cm}d(5) = x (-3T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.35cm}
d(6) = x (-2T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.35cm}
d(7) = x (-T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$ }}

==Aufgaben zum Kapitel==
<br>
[[Aufgaben:Aufgabe_5.2:_Inverse_Diskrete_Fouriertransformation|Aufgabe 5.2: Inverse Diskrete Fouriertransformation]]

[[Aufgaben:Aufgabe_5.2Z:_DFT_eines_Dreieckimpulses|Aufgabe 5.2Z: DFT eines Dreieckimpulses]]

    
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