View source for Applets:Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion

{{LntAppletLink|abtastung}}
 
==Programmbeschreibung==
<br>
Das Applet behandelt die Systemkomponenten&nbsp; &bdquo;Abtastung&rdquo;&nbsp; und&nbsp; &bdquo;Signalrekonstruktion&rdquo;, zwei Komponenten, die zum Beispiel für das Verständnis der&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]]&nbsp; $({\rm PCM})$&nbsp; von großer Wichtigkeit sind.&nbsp; Die obere Grafik zeigt das für dieses Applet zugrundeliegende Modell.&nbsp; Darunter gezeichnet sind die Abtastwerte&nbsp; $x(\nu \cdot T_{\rm A})$&nbsp; des zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$. Die (unendliche) Summe über alle diese Abtastwerte bezeichnen wir als das abgetastete Signal&nbsp; $x_{\rm A}(t)$. 

[[File:Abtastung_1_version4.png|center|frame|Oben: &nbsp;&nbsp; Zugrundeliegendes Modell für Abtastung und Signalrekonstruktion<br>Unten: &nbsp; Beispiel zur Zeitdiskretisierung des zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$]]
*Beim Sender wird aus dem zeitkontinuierlichen Quellensignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; das zeitdiskrete (abgetastete) Signal&nbsp; $x_{\rm A}(t)$&nbsp; gewonnen.&nbsp; Man nennt diesen Vorgang&nbsp; '''Abtastung'''&nbsp; oder&nbsp; '''A/D&ndash;Wandlung'''.  
*Der entsprechende Programmparameter für den Sender ist die Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A}= 1/T_{\rm A}$. In der unteren Grafik ist der Abtastabstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; eingezeichnet. 
*Beim Empfänger wird aus dem zeitdiskreten Empfangssignal&nbsp; $y_{\rm A}(t)$&nbsp; das zeitkontinuierliche Sinkensignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; erzeugt &nbsp; &rArr; &nbsp; '''Signalrekonstruktion'''&nbsp; oder&nbsp; '''D/A&ndash;Wandlung'''&nbsp;  entsprechend dem Empfänger&ndash;Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm E}(f)$. 


Das Applet berücksichtigt nicht die PCM&ndash;Blöcke&nbsp; &bdquo;Quantisierung&rdquo;, &nbsp;&bdquo;Codierung / Decodierung&rdquo; und der Digitale Übertragungskanal ist als ideal angenommen.&nbsp; 

[[File:Abtastung_2_neu.png|right|frame|Empfänger&ndash;Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm E}(f)$]]
Daraus ergeben sich folgende Konsequenzen:
*Im Programm ist vereinfachend&nbsp; $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$&nbsp; gesetzt.
* Bei geeigneten Systemparametern ist somit auch das Fehlersignal &nbsp; $\varepsilon(t) = y(t)-x(t)\equiv 0$&nbsp; möglich. 


Das Abtasttheorem und die Signalrekonstruktion lassen sich im Frequenzbereich besser erklären.&nbsp; Im Programm werden deshalb auch alle Spektralfunktionen angezeigt:

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;$X(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x(t)$,&nbsp; $X_{\rm A}(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x_{\rm A}(t)$,&nbsp; $Y(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ y(t)$,&nbsp; $E(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ \varepsilon(t).$&nbsp;

Parameter für den Empfänger&ndash;Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; sind die Grenzfrequenz und der Rolloff&ndash;Faktor&nbsp; (siehe untere Grafik):
:$$f_{\rm G} = \frac{f_2 +f_1}{2},\hspace{1cm}r = \frac{f_2 -f_1}{f_2 +f_1}.$$

''Hinweise:''

'''(1)''' &nbsp; Alle Signalwerte sind normiert auf&nbsp; $\pm 1$&nbsp; zu verstehen.&nbsp; 

'''(2)''' &nbsp; Die Leistungsberechnung erfolgt durch Integration über die jeweilige Periodendauer&nbsp; $T_0$:
:$$P_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x^2(t)\ {\rm d}t,\hspace{0.8cm}P_\varepsilon = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} \varepsilon^2(t).$$

'''(3)''' &nbsp; Die <u>Signalleistung</u>&nbsp; $P_x$&nbsp; und die <u>Verzerrungsleistung</u>&nbsp; $P_\varepsilon$&nbsp; werden ebenfalls normiert ausgegeben, was implizit den Bezugswiderstand&nbsp; $R = 1\, \rm \Omega$&nbsp; voraussetzt.&nbsp;

'''(4)''' &nbsp; Daraus kann der <u>Signal&ndash;Verzerrungs&ndash;Abstand</u>&nbsp; $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)$&nbsp; berechnet werden.
 
'''(5)''' &nbsp; Besteht die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; bei positiven Frequenzen aus&nbsp; $I$&nbsp; Diraclinien mit den (eventuell komplexen) Gewichten&nbsp; $X_1$, ... , $X_I$, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;so gilt für die Sendeleistung unter Berücksichtigung der spiegelbildlichen Linien bei den negativen Frequenzen:

:$$P_x = 2 \cdot \sum_{i=1}^I |X_k|^2.$$

'''(6)''' &nbsp; Entsprechend gilt für die Verzerrungsleistung, wenn die Spektralfunktion&nbsp; $E(f)$&nbsp; im Bereich&nbsp; $f>0$&nbsp; genau&nbsp; $J$&nbsp; Diraclinien mit Gewichten&nbsp; $E_1$, ... , $E_J$&nbsp; aufweist: 

:$$P_\varepsilon = 2 \cdot \sum_{j=1}^J |E_j|^2.$$  






 
==Theoretischer Hintergrund==


===Beschreibung der Abtastung im Zeitbereich===

[[File:P_ID1120__Sig_T_5_1_S1_neu.png|center|frame|Zur Zeitdiskretisierung des zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$]]

Im Folgenden verwenden wir für die Beschreibung der Abtastung folgende Nomenklatur:
*Das zeitkontinuierliche Signal sei&nbsp; $x(t)$.
*Das in äquidistanten Abständen&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; abgetastete zeitdiskretisierte Signal sei&nbsp; $x_{\rm A}(t)$.
*Außerhalb der Abtastzeitpunkte&nbsp; $\nu \cdot T_{\rm A}$&nbsp; gilt stets&nbsp; $x_{\rm A}(t) \equiv 0$.
*Die Laufvariable&nbsp; $\nu$&nbsp; sei&nbsp; [[Signal_Representation/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Reelle_Zahlenmengen|ganzzahlig]]:  &nbsp; &nbsp; $\nu \in \mathbb{Z} =  \{\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm} , –3, –2, –1, \hspace{0.2cm}0, +1, +2, +3, \text{...} \hspace{0.05cm}\} $.
*Dagegen ergibt sich zu den äquidistanten Abtastzeitpunkten mit der Konstanten&nbsp; $K$:
 
:$$x_{\rm A}(\nu \cdot T_{\rm A}) = K \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$

Die Konstante hängt von der Art der Zeitdiskretisierung ab. Für die obige Skizze gilt&nbsp; $K = 1$.
<br><br>
===Beschreibung der Abtastung mit Diracpuls===

Im Folgenden gehen wir von einer geringfügig anderen Beschreibungsform aus.&nbsp; Die folgenden Seiten werden zeigen, dass diese gewöhnungsbedürftigen Gleichungen durchaus zu sinnvollen Ergebnissen führen, wenn man sie konsequent  anwendet.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitionen:}$&nbsp;

* Unter&nbsp; '''Abtastung'''&nbsp; verstehen wir hier die Multiplikation des zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit einem&nbsp; '''Diracpuls''':

:$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.05cm}.$$

*Der&nbsp; '''Diracpuls (im Zeitbereich)'''&nbsp; besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, jeweils im gleichen Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; und alle mit gleichem Impulsgewicht&nbsp; $T_{\rm A}$:
 
:$$p_{\delta}(t) =  \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot
 \delta(t- \nu \cdot T_{\rm A}
 )\hspace{0.05cm}.$$}}
 

Aufgrund dieser Definition ergeben sich für das abgetastete Signal folgende Eigenschaften:
:$$x_{\rm A}(t) =  \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\cdot
 \delta (t- \nu \cdot T_{\rm A}
 )\hspace{0.05cm}.$$

*Das abgetastete Signal zum betrachteten Zeitpunkt&nbsp; $(\nu \cdot T_{\rm A})$&nbsp; ist gleich&nbsp; $T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A}) · \delta (0)$.
*Da&nbsp; $\delta (t)$&nbsp; zur Zeit&nbsp; $t = 0$&nbsp; unendlich ist, sind eigentlich alle Signalwerte&nbsp; $x_{\rm A}(\nu \cdot T_{\rm A})$&nbsp; ebenfalls unendlich groß und auch der oben eingeführte Faktor&nbsp; $K$.
*Zwei Abtastwerte&nbsp; $x_{\rm A}(\nu_1 \cdot T_{\rm A})$&nbsp; und&nbsp; $x_{\rm A}(\nu_2 \cdot T_{\rm A})$&nbsp; unterscheiden sich jedoch  im gleichen Verhältnis wie die Signalwerte&nbsp; $x(\nu_1 \cdot T_{\rm A})$&nbsp; und&nbsp; $x(\nu_2 \cdot T_{\rm A})$.
*Die Abtastwerte von&nbsp; $x(t)$&nbsp; erscheinen in den Impulsgewichten der Diracfunktionen:
*Die zusätzliche Multiplikation mit&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; ist erforderlich, damit&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_{\rm A}(t)$&nbsp; gleiche Einheit besitzen.&nbsp; Beachten Sie hierbei, dass&nbsp; $\delta (t)$&nbsp; selbst die Einheit „1/s” aufweist.


===Beschreibung der Abtastung im Frequenzbereich===

Zum Spektrum des abgetasteten Signals&nbsp; $x_{\rm A}(t)$&nbsp; kommt man durch Anwendung des&nbsp; [[Signal_Representation/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Frequenzbereich|Faltungssatzes]]. Dieser besagt, dass der Multiplikation im Zeitbereich die Faltung im Spektralbereich entspricht:
 
:$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
 X_{\rm A}(f) = X(f) \star P_{\delta}(f)\hspace{0.05cm}.$$

Entwickelt man den&nbsp; Diracpuls&nbsp; $p_{\delta}(t)$ &nbsp; (im Zeitbereich) &nbsp; in eine&nbsp; [[Signal_Representation/Fourierreihe|Fourierreihe]]&nbsp; und transformiert diese unter Anwendung des&nbsp; [[Signal_Representation/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]&nbsp; in den Frequenzbereich, so ergibt sich mit dem Abstand&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; zweier benachbarter Diraclinien im Frequenzbereich  folgende Korrespondenz &nbsp; &rArr; &nbsp; [[Signal_Representation/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Beweis]]:
 
:$$p_{\delta}(t) =  \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot
 \delta(t- \nu \cdot T_{\rm A}
 )\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} P_{\delta}(f) =  \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} \delta
 (f- \mu \cdot f_{\rm A} ).$$

[[File:P_ID1121__Sig_T_5_1_S3_NEU.png|right|frame|Diracpuls im Zeit- und Frequenzbereich  mit&nbsp; $T_{\rm A} = 50\ {\rm &micro;s}$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 20\ \text{kHz}$]]
Das Ergebnis besagt:
*Der Diracpuls&nbsp; $p_{\delta}(t)$&nbsp; im Zeitbereich besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, jeweils im gleichen Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; und alle mit gleichem Impulsgewicht&nbsp; $T_{\rm A}$.
*Die Fouriertransformierte von&nbsp; $p_{\delta}(t)$&nbsp;  ergibt wiederum einen Diracpuls, aber nun im Frequenzbereich  &nbsp; ⇒  &nbsp; $P_{\delta}(f)$.
*Auch&nbsp; $P_{\delta}(f)$&nbsp; besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, nun im jeweiligen Abstand&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; und alle mit dem Impulsgewicht&nbsp; $1$.
*Die Abstände der Diraclinien in Zeit– und Frequenzbereich folgen demnach dem&nbsp; [[Signal_Representation/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz]]: &nbsp; $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$


Daraus folgt: &nbsp; Aus dem Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; wird durch Faltung mit der um&nbsp; $\mu \cdot f_{\rm A}$&nbsp; verschobenen Diraclinie:
 
:$$X(f) \star \delta
 (f- \mu \cdot f_{\rm A}
 )= X (f- \mu \cdot f_{\rm A}
 )\hspace{0.05cm}.$$

Wendet man dieses Ergebnis auf alle Diraclinien des Diracpulses an, so erhält man schließlich:
 
:$$X_{\rm A}(f) = X(f) \star \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} \delta
 (f- \mu \cdot f_{\rm A}
 ) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm A}
 )\hspace{0.05cm}.$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$&nbsp; Die Abtastung des analogen Zeitsignals&nbsp; $x(t)$&nbsp; in äquidistanten Abständen&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; führt im Spektralbereich zu einer&nbsp; '''periodischen Fortsetzung'''&nbsp; von&nbsp; $X(f)$&nbsp; mit dem Frequenzabstand&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$.}}


[[File:P_ID1122__Sig_T_5_1_S4_neu.png|right|frame|Spektrum des abgetasteten Signals]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
Die obere Grafik zeigt&nbsp; '''(schematisch!)'''&nbsp; das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; eines Analogsignals&nbsp; $x(t)$, das Frequenzen bis&nbsp; $5 \text{ kHz}$&nbsp; beinhaltet.

Tastet man das Signal mit der Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A}\,\text{ = 20 kHz}$, also im jeweiligen Abstand&nbsp; $T_{\rm A}\, = {\rm 50 \, &micro;s}$&nbsp; ab, so erhält man das unten skizzierte periodische Spektrum&nbsp; $X_{\rm A}(f)$. 
*Da die Diracfunktionen unendlich schmal sind, beinhaltet das abgetastete Signal&nbsp;  $x_{\rm A}(t)$&nbsp; auch beliebig hochfrequente Anteile. 
*Dementsprechend ist die Spektralfunktion&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; des abgetasteten Signals bis ins Unendliche ausgedehnt.}}


===Signalrekonstruktion===

[[File:P_ID1123__Sig_T_5_1_S5a_neu.png|right|frame|Gemeinsames Modell von &bdquo;Signalabtastung&rdquo; und &bdquo;Signalrekonstruktion&rdquo;]]
Die Signalabtastung ist bei einem digitalen Übertragungssystem kein Selbstzweck, sondern sie muss irgendwann wieder rückgängig gemacht werden.&nbsp; Betrachten wir zum Beispiel das folgende System: 
*Das Analogsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit der  Bandbreite&nbsp; $B_{\rm NF}$&nbsp; wird wie oben beschrieben abgetastet. 
*Am Ausgang eines idealen Übertragungssystems liegt das ebenfalls zeitdiskrete Signal&nbsp; $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$&nbsp; vor. 
*Die Frage ist nun, wie der Block &nbsp; '''Signalrekonstruktion''' &nbsp; zu gestalten ist, damit auch&nbsp; $y(t) = x(t)$&nbsp; gilt.

[[File:P_ID1124__Sig_T_5_1_S5b_neu.png|right|frame|Frequenzbereichsdarstellung der &bdquo;Signalrekonstruktion&rdquo;]]
<br>Die Lösung ist einfach, wenn man die Spektralfunktionen betrachtet: &nbsp; 

Man erhält aus&nbsp; $Y_{\rm A}(f)$&nbsp; das Spektrum&nbsp; $Y(f) = X(f)$&nbsp; durch ein Tiefpass&nbsp;Filter mit dem&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Frequenzgang]]&nbsp; $H_{\rm E}(f)$, der&nbsp;

*die tiefen Frequenzen unverfälscht durchlässt:
:$$H_{\rm E}(f) = 1 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |f| \le B_{\rm
  NF}\hspace{0.05cm},$$
*die hohen Frequenzen vollständig unterdrückt:
:$$H_{\rm E}(f) = 0 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |f| \ge f_{\rm A} - B_{\rm
  NF}\hspace{0.05cm}.$$
 
Weiter ist aus der nebenstehenden Grafik zu erkennen: &nbsp; Solange die beiden oben genannten Bedingungen erfüllt sind, kann&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; im Bereich von&nbsp; $B_{\rm NF}$&nbsp; bis&nbsp; $f_{\rm A}–B_{\rm NF}$&nbsp; beliebig geformt sein kann, 
*beispielsweise linear abfallend (gestrichelter Verlauf) 
*oder auch rechteckförmig, 


===Das Abtasttheorem===

Die vollständige Rekonstruktion des Analogsignals&nbsp; $y(t)$&nbsp; aus dem abgetasteten Signal&nbsp; $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$&nbsp; ist nur möglich, wenn die Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; entsprechend der Bandbreite&nbsp; $B_{\rm NF}$&nbsp; des Nachrichtensignals richtig gewählt wurde. 

Aus der obigen Grafik  erkennt man, dass folgende Bedingung erfüllt sein muss: &nbsp; $f_{\rm A} - B_{\rm   NF} > B_{\rm   NF} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm A} > 2 \cdot  B_{\rm   NF}\hspace{0.05cm}.$
 
{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Abtasttheorem:}$&nbsp; Besitzt ein Analogsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; nur Spektralanteile im Bereich&nbsp; $\vert f \vert < B_{\rm NF}$, so kann dieses aus seinem abgetasteten Signal&nbsp; $x_{\rm A}(t)$&nbsp; nur dann vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastrate hinreichend groß ist:
:$$f_{\rm A} ≥ 2 \cdot B_{\rm NF}.$$ 

Für den Abstand zweier Abtastwerte muss demnach gelten:
 
:$$T_{\rm A} \le \frac{1}{ 2 \cdot B_{\rm   NF} }\hspace{0.05cm}.$$}}


Wird bei der Abtastung der größtmögliche Wert &nbsp; ⇒ &nbsp; $T_{\rm A} = 1/(2B_{\rm NF})$&nbsp; herangezogen, 
*so muss zur Signalrekonstruktion des Analogsignals aus seinen Abtastwerten 
*ein idealer, rechteckförmiger Tiefpass mit der Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 1/(2T_{\rm A})$&nbsp; verwendet werden.


{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Die Grafik zeigt oben das auf&nbsp; $\pm\text{ 5 kHz}$&nbsp; begrenzte Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; eines Analogsignals, unten das Spektrum&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; des im Abstand&nbsp; $T_{\rm A} =\,\text{ 100 &micro;s}$&nbsp; abgetasteten Signals &nbsp; ⇒ &nbsp; $f_{\rm A}=\,\text{ 10 kHz}$. 
[[File:P_ID1125__Sig_T_5_1_S6_neu.png|right|frame|Abtasttheorem im Frequenzbereich]]
Zusätzlich eingezeichnet ist der Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; des tiefpassartigen Empfangsfilters zur Signalrekonstruktion, dessen Grenzfrequenz exakt&nbsp; $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 5\,\text{ kHz}$&nbsp; betragen muss.


*Mit jedem anderen&nbsp; $f_{\rm G}$–Wert ergäbe sich&nbsp; $Y(f) \neq X(f)$. 
*Bei&nbsp; $f_{\rm G} < 5\,\text{ kHz}$&nbsp; fehlen die oberen&nbsp; $X(f)$–Anteile.
* Bei&nbsp; $f_{\rm G} > 5\,\text{ kHz}$&nbsp; kommt es aufgrund von Faltungsprodukten zu unerwünschten Spektralanteilen in&nbsp; $Y(f)$.


Wäre am Sender die Abtastung mit einer Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A} < 10\ \text{ kHz}$&nbsp;  erfolgt  &nbsp; ⇒  &nbsp;  $T_{\rm A} >100 \ {\rm &micro;  s}$, so wäre das Analogsignal&nbsp; $y(t) = x(t)$&nbsp; aus den Abtastwerten&nbsp; $y_{\rm A}(t)$&nbsp; auf keinen Fall rekonstruierbar.}}
<br clear=all>
==Versuchsdurchführung==
<br>
[[File:Aufgaben_2D-Gauss.png|right]]

*Wählen Sie zunächst die Nummer&nbsp; ('''1''', ... , '''10''')&nbsp; der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
*Die Nummer&nbsp; '''0'''&nbsp; entspricht einem &bdquo;Reset&rdquo;:&nbsp; Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
*Alle Signalwerte sind normiert auf&nbsp; $\pm 1$&nbsp; zu verstehen.&nbsp; Auch die ausgegebenen Leistungen sind normierte Größen.  


{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''&nbsp; Für das Quellensignal gelte&nbsp; $x(t) = A \cdot \cos (2\pi \cdot f_0 \cdot t -\varphi)$&nbsp; mit&nbsp; $f_0 = \text{4 kHz}$.&nbsp; Abtastung mit&nbsp; $f_{\rm A} = \text{10 kHz}$.&nbsp; Rechteck&ndash;Tiefpass;&nbsp; Grenzfrequenz:&nbsp;  $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$. <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Interpretieren Sie die ausgegebenen Grafiken und bewerten Sie die vorliegende Signalrekonstruktion für alle erlaubten Parameterwerte von&nbsp;$A$&nbsp; und&nbsp;$\varphi$. }}

:*&nbsp;Das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; besteht aus zwei Diraclinien bei&nbsp; $\pm \text{4 kHz}$, jeweils mit Impulsgewicht &nbsp;$0.5$. 
:*&nbsp;Durch die periodische Fortsetzung hat&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; Linien gleicher Höhe bei&nbsp; $\pm \text{4 kHz}$,&nbsp; $\pm \text{6 kHz}$,&nbsp; $\pm \text{14 kHz}$,&nbsp; $\pm \text{16 kHz}$,&nbsp; $\pm \text{24 kHz}$,&nbsp; $\pm \text{26 kHz}$,&nbsp; usw.
:*&nbsp;Der Rechteck&ndash;Tiefpass mit der Grenzfrequenz&nbsp;  $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$&nbsp; entfernt alle Linien bis auf die beiden bei&nbsp; $\pm \text{4 kHz}$&nbsp; &rArr; &nbsp;$Y(f) =X(f)$&nbsp; &rArr; &nbsp;$y(t) =x(t)$&nbsp; &rArr; &nbsp; $P_\varepsilon = 0$.
:*&nbsp;Die Signalrekonstruktion funktioniert hier perfekt&nbsp; $(P_\varepsilon = 0)$&nbsp; und zwar für alle Amplituden&nbsp;$A$&nbsp; und beliebige Phasen&nbsp;$\varphi$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''&nbsp; Es gelte weiter&nbsp; $A=1$,&nbsp; $f_0 = \text{4 kHz}$,&nbsp; $\varphi=0$,&nbsp; $f_{\rm A} = \text{10 kHz}$,&nbsp; $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$.&nbsp; Welchen Einfluss haben hier die Rolloff&ndash;Faktoren&nbsp; $r=0.2$,&nbsp; $r=0.5$&nbsp; und &nbsp; $r=1$?   <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Geben Sie die jeweiligen Leistungen&nbsp; $P_x$&nbsp; und&nbsp; $P_\varepsilon$&nbsp; an.&nbsp; für welche&nbsp; $r$&ndash;Werte ist&nbsp; $P_\varepsilon= 0$?&nbsp; Gelten diese Ergebnisse auch für andere&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $\varphi$?  }}

:*&nbsp;Die Signalleistung ist mit&nbsp; $|X_1|=0.5$&nbsp; gleich&nbsp; $P_x = 2\cdot 0.5^2 = 0.5$.&nbsp; Die Verzerrungsleistung&nbsp; $P_\varepsilon$&nbsp; hängt signifikant vom Rolloff&ndash;Faktor&nbsp; $r$&nbsp; ab.
:*&nbsp;Für&nbsp; $r \le 0.2$&nbsp; ist&nbsp; $P_\varepsilon=0$.&nbsp; Die&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&ndash;Linie bei&nbsp; $f_0 = \text{4 kHz}$&nbsp; wird durch den Tiefpass nicht verändert und die unerwünschte&nbsp; Linie bei&nbsp; $\text{6 kHz}$&nbsp; voll unterdrückt.
:*&nbsp;$r = 0.5$&nbsp;:&nbsp; $Y(f = \text{4 kHz}) = 0.35$,&nbsp; $Y(f = \text{6 kHz}) = 0.15$&nbsp; &rArr; &nbsp; $|E(f = \text{4 kHz})| = |E(f = \text{6 kHz})|= 0.15$&nbsp; &rArr; &nbsp;$P_\varepsilon = 0.09$&nbsp; &rArr; &nbsp;$10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=7.45\ \rm dB$.
:*$r = 1.0$&nbsp;:&nbsp; $Y(f = \text{4 kHz}) = 0.3$,&nbsp; $Y(f = \text{6 kHz}) = 0.2$&nbsp; &rArr; &nbsp; $|E(f = \text{4 kHz})| = |E(f = \text{6 kHz})|= 0.2$&nbsp; &rArr; &nbsp;$P_\varepsilon = 0.16$&nbsp; &rArr; &nbsp;$10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=4.95\ \rm dB$.
:*&nbsp;Für alle&nbsp; $r$&nbsp; ist&nbsp; $P_\varepsilon$&nbsp; unabhängig von&nbsp; $\varphi$.&nbsp; Die Amplitude&nbsp; $A$&nbsp; beeinflusst&nbsp; $P_x$&nbsp; und&nbsp; $P_\varepsilon$&nbsp; in gleicher Weise &nbsp; &rArr; &nbsp; der Quotient ist jeweils unabhängig von&nbsp; $A$.  
    
{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''&nbsp; Nun gelte&nbsp; $A=1$,&nbsp; $f_0 = \text{5 kHz}$,&nbsp; $\varphi=0$,&nbsp; $f_{\rm A} = \text{10 kHz}$,&nbsp; $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$,&nbsp; $r=0$&nbsp; $($Rechteck&ndash;Tiefpass$)$.&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis der Signalrekonstruktion.}}

:*&nbsp;$X(f)$&nbsp; besteht aus zwei Diraclinien bei&nbsp; $\pm \text{5 kHz}$&nbsp; $($Gewicht &nbsp;$0.5)$. &nbsp;Durch die periodische Fortsetzung hat&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; Linien bei&nbsp; $\pm \text{5 kHz}$,&nbsp; $\pm \text{15 kHz}$,&nbsp; $\pm \text{25 kHz}$,&nbsp; usw.
:*&nbsp; Der Rechteck&ndash;Tiefpass entfernt die Linien bei&nbsp; $\pm \text{15 kHz}$,&nbsp; $\pm \text{25 kHz}$,&nbsp;  Die Linien bei&nbsp; $\pm \text{5 kHz}$&nbsp; werden wegen&nbsp; $H_{\rm E}(\pm f_{\rm G}) = H_{\rm E}(\pm \text{5 kHz}) = 0.5$ halbiert 
:*&nbsp;&nbsp; &rArr; &nbsp;  $\text{Gewichte von }X(f = \pm \text{5 kHz})$:&nbsp; $0.5$ &nbsp; | &nbsp; $\text{Gewichte von }X(f_{\rm A} = \pm \text{5 kHz})$:&nbsp; $1.0$; &nbsp; &nbsp; | &nbsp; $\text{Gewichte von }Y(f = \pm \text{5 kHz})$:&nbsp; $0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $Y(f)=X(f)$.
:*&nbsp;Die Signalrekonstruktion funktioniert also auch hier perfekt&nbsp; $(P_\varepsilon = 0)$.&nbsp; Das gilt auch für die Phase&nbsp; $\varphi=180^\circ$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $x(t) = -A \cdot \cos (2\pi \cdot f_0 \cdot t)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''&nbsp; Es gelten weiter die Einstellungen von&nbsp; '''(3)'''&nbsp; mit Ausnahme von&nbsp; $\varphi=30^\circ$.&nbsp; Interpretieren Sie die Unterschiede gegenüber der Einstellung&nbsp; '''(3)''' &nbsp; &rArr; &nbsp; $\varphi=0^\circ$.}}

:*&nbsp;Die Phasenbeziehung geht verloren.&nbsp; Das Sinkensignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; verläuft cosinusförmig&nbsp; $(\varphi_y=0^\circ)$&nbsp; mit um&nbsp; $\cos(\varphi_x)$&nbsp; kleinerer Amplitude als das Quellensignal&nbsp; $x(t)$.
:*&nbsp;Begründung im Frequenzbereich:&nbsp; Bei der periodische Fortsetzung von&nbsp; $X(f)$&nbsp; &rArr;&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; sind nur die Realteile zu addieren.&nbsp; Die Imaginärteile löschen sich aus.
:*&nbsp;Die&nbsp; $f_0$&ndash;Diraclinie von&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ist reell, die von&nbsp; $X(f)$&nbsp; komplex und die von&nbsp; $E(f)$&nbsp; imaginär &nbsp; &rArr; &nbsp; $\varepsilon(t)$&nbsp; verläuft minus&ndash;sinusförmig &nbsp; &rArr; &nbsp;   $P_\varepsilon = 0.125$. 

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''&nbsp; Verdeutlichen Sie sich nochmals das Ergebnis von&nbsp; '''(4)'''&nbsp; im Vergleich zu den Einstellungen&nbsp; $f_0 = \text{5 kHz}$,&nbsp; $\varphi=30^\circ$,&nbsp; $f_{\rm A} = \text{11 kHz}$,&nbsp; $f_{\rm G} = \text{5.5 kHz}$.}}
:*&nbsp;Bei dieser Einstellung hat das&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&ndash;Spektrum auch einen positiven Imaginärteil bei&nbsp; $\text{5 kHz}$&nbsp; und einen negativen Imaginärteil gleicher Höhe bei&nbsp; $\text{6 kHz}$.
:*&nbsp;Der Rechteck&ndash;Tiefpass mit der Grenzfrequenz&nbsp; $\text{5.5 kHz}$&nbsp; entfernt diesen zweiten Anteil.&nbsp; Somit ist bei dieser Einstellung&nbsp; $Y(f) =X(f)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $P_\varepsilon = 0$.
:*&nbsp;Jede&nbsp; $f_0$&ndash;Schwingung beliebiger Phase ist fehlerfrei aus seinen Abtastwerten rekonstruierbar, falls&nbsp; $f_{\rm A} =  2 \cdot f_{\rm 0} + \mu, \ f_{\rm G}= f_{\rm A}/2$&nbsp; $($beliebig kleines $\mu>0)$.
:*&nbsp;Bei <u>wertkontinuierlichem</u> Spektrum mit &nbsp; $X(|f|> f_0) \equiv 0$&nbsp; &rArr; &nbsp; $\big[$keine Diraclinien bei $\pm f_0 \big ]$  genügt grundsätzlich die Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A} =  2 \cdot f_{\rm 0}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''&nbsp; Es gelten weiter die Einstellungen von&nbsp; '''(3)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''&nbsp; mit Ausnahme von&nbsp; $\varphi=90^\circ$.&nbsp; Interpretieren Sie die Darstellungen im Zeit&ndash; und Frequenzbereich.}}     
:*&nbsp;Das Quellensignal wird genau bei seinen Nulldurchgängen abgetastet &nbsp; &rArr; &nbsp; $x_{\rm A}(t) \equiv 0$&nbsp; &rArr; &nbsp; &nbsp;$y(t) \equiv 0$&nbsp; &rArr; &nbsp;$\varepsilon(t)=-x(t)$&nbsp; &rArr; &nbsp;$P_\varepsilon = P_x$&nbsp; &rArr; &nbsp;$10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=0\ \rm dB$.
:*&nbsp;Beschreibung im Frequenzbereich:&nbsp; Wie in&nbsp; '''(4)'''&nbsp; löschen sich die Imaginärteile von&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; aus.&nbsp; Auch die Realteile von&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; sind wegen des Sinusverlaufs Null.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''&nbsp; Nun betrachten wir das&nbsp; $\text {Quellensignal 2}$.&nbsp; Die weiteren Parameter seien&nbsp; $f_{\rm A} = \text{5 kHz}$,&nbsp; $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$,&nbsp; $r=0$.&nbsp; Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}     
:*&nbsp;Das Quellensignal besitzt Spektralanteile bis&nbsp; $\pm \text{2 kHz}$.&nbsp; Die Signalleistung ist $P_x = 2 \cdot \big[0.1^2 + 0.25^2+0.15^2\big]= 0.19 $.&nbsp; 
:*&nbsp;Mit der Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A} = \text{5 kHz}$&nbsp; sowie den Empfängerparametern&nbsp; $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$&nbsp; und&nbsp;  $r=0$ funktioniert die Signalrekonstruktion perfekt:&nbsp; $P_\varepsilon = 0$.
:*&nbsp;Ebenso mit dem Trapez&ndash;Tiefpass mit&nbsp; $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$, wenn für den Rolloff&ndash;Faktor gilt:&nbsp;   $r \le 0.2$.  

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''&nbsp; Was passiert, wenn die Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = \text{1.5 kHz}$&nbsp; des Rechteck&ndash;Tiefpasses zu klein ist?&nbsp; Interpretieren Sie insbesondere das Fehlersignal&nbsp; $\varepsilon(t)=y(t)-x(t)$.}}  
:*&nbsp;Das Fehlersignal&nbsp; $\varepsilon(t)=-0.3 \cdot \cos(2\pi \cdot \text{2 kHz} \cdot t -60^\circ)=0.3 \cdot \cos(2\pi \cdot \text{2 kHz} \cdot t +120^\circ)$&nbsp; ist gleich dem (negierten) Signalanteil bei&nbsp; $\text{2 kHz}$.&nbsp; '''Stimmt das?'''
:*&nbsp;Die Verzerrungsleistung ist&nbsp; $P_\varepsilon(t)=2 \cdot 0.15^2= 0.045$&nbsp; und der Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungsabstand&nbsp; $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=10 \cdot \lg \ (0.19/0.045)= 6.26\ \rm dB$.  

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''&nbsp; Was passiert, wenn die Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = \text{3.5 kHz}$&nbsp; des Rechteck&ndash;Tiefpasses zu groß ist?&nbsp; Interpretieren Sie insbesondere das Fehlersignal&nbsp; $\varepsilon(t)=y(t)-x(t)$.}}
:*&nbsp;Das Fehlersignal&nbsp; $\varepsilon(t)=0.3 \cdot \cos(2\pi \cdot \text{3 kHz} \cdot t +60^\circ)$&nbsp; ist nun gleich dem vom Tiefpass nicht entfernten $\text{3 kHz}$&ndash;Anteil des Sinkensignals&nbsp; $y(t)$.&nbsp; '''Stimmt das?'''
:*&nbsp;Gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(8)'''&nbsp; verändert sich die Frequenz von&nbsp; $\text{2 kHz}$&nbsp; auf&nbsp; $\text{3 kHz}$&nbsp; und auch die Phasenbeziehung.
:*&nbsp;Die Amplitude dieses&nbsp; $\text{3 kHz}$&ndash;Fehlersignals ist gleich der Amplitude des&nbsp; $\text{2 kHz}$&ndash;Anteils von$x(t)$.&nbsp; Auch hier gilt&nbsp; $P_\varepsilon(t)= 0.045$,&nbsp; $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)= 6.26\ \rm dB$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''&nbsp; Abschließend betrachten wir das&nbsp; $\text {Quellensignal 4}$&nbsp; $($Anteile bis&nbsp; $\pm \text{4 kHz})$, sowie&nbsp; $f_{\rm A} = \text{5 kHz}$,&nbsp; $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$,&nbsp; $0 \le r\le 1$.&nbsp; Interpretation der Ergebnisse.}}     
:*&nbsp;Bis zum Rolloff&ndash;Faktor&nbsp; $r=0.2$&nbsp; funktioniert die Signalrekonstruktion perfekt&nbsp; $(P_\varepsilon = 0)$.&nbsp; Erhöht man&nbsp; $r$, so nimmt&nbsp; $P_\varepsilon$&nbsp; kontinuierlich zu und&nbsp; $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)$&nbsp; ab.  
:*&nbsp;Mit&nbsp; $r=1$&nbsp; werden die Signalfrequenzen&nbsp; $\text{0.5 kHz}$,&nbsp; ...,&nbsp; $\text{4 kHz}$&nbsp; abgeschwächt, umso mehr, je höher die Frequenz ist, zum Beispiel&nbsp; $H_{\rm E}(f=\text{4 kHz}) = 0.6$.
:*&nbsp;Ebenso beinhaltet&nbsp; $Y(f)$&nbsp; aufgrund der periodischen Fortsetzung auch Anteile bei den Frequenzen&nbsp; $\text{6 kHz}$,&nbsp; $\text{7 kHz}$,&nbsp; $\text{8 kHz}$,&nbsp; $\text{9 kHz}$&nbsp; und&nbsp; $\text{9.5 kHz}$.
:*&nbsp;Zu den Abtastzeitpunkten&nbsp; $t\hspace{0.05cm}' = n \cdot T_{\rm A}$&nbsp; stimmen&nbsp; $x(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; und&nbsp; $y(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; exakt überein  &nbsp; &rArr; &nbsp; $\varepsilon(t\hspace{0.05cm}') = 0$.&nbsp; Dazwischen nicht &nbsp; &rArr; &nbsp; kleine Verzerrungsleistung&nbsp; $P_\varepsilon = 0.008$.



 


==Zur Handhabung des Applets==
<br>
[[File:Anleitung_abtast.png|right|600px]]
<br><br><br><br>
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl eines von vier Quellensignalen  

&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Parameterwahl für Quellensignal&nbsp; $1$&nbsp; (Amplitude, Frequenz, Phase) 

&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Ausgabe der verwendeten Programmparameter  

&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Parameterwahl für Abtastung&nbsp; $(f_{\rm G})$&nbsp; und <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Signalrekonstruktion&nbsp; $(f_{\rm A},\ r)$

&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Skizze des Empfänger&ndash;Frequenzgangs&nbsp; $H_{\rm E}(f)$ 

&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Numerische Ausgabe&nbsp; $(P_x, \ P_{\rm \varepsilon}, \ 10 \cdot \lg(P_x/ P_{\rm \varepsilon})$  

&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsauswahl für Zeitbereich 

&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Grafikbereich für Zeitbereich 

&nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsauswahl für Frequenzbereich  

&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Grafikbereich für Frequenzbereich

&nbsp; &nbsp; '''(K)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für Übungen:&nbsp; Aufgabenauswahl, Fragen, Musterlösung
<br clear=all>
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert. 
*Die erste Version wurde 2008 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29|Slim Lamine]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]). 
* 2020 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).


Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch die&nbsp; [https://www.lehren.tum.de/themen/ideenwettbewerb/ Exzellenzinitiative]&nbsp; der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.





==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|abtastung}}