View source for Aufgaben:Exercise 3.1Z: Frequency Response of the Coaxial Cable

{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen
}}

[[File:P_ID1371__Dig_Z_3_1.png|right|frame|Einige Koaxialkabeltypen]]
Ein so genanntes Normalkoaxialkabel mit dem Kerndurchmesser &nbsp;$2.6 \ \rm mm$, dem Außendurchmesser &nbsp;$9.5 \ \rm mm$&nbsp; und der Länge &nbsp;$l$&nbsp; besitzt den folgenden Frequenzgang:
:$$H_{\rm K}(f)   \ = \ {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}  \cdot
  {\rm e}^{- \alpha_1  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f}  \cdot
  {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
  \sqrt{f}}  \cdot 
  {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f}  \cdot
  {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
  \sqrt{f}}   \hspace{0.05cm}.$$

Die Dämpfungsparameter &nbsp;$\alpha_0$, &nbsp;$\alpha_1$&nbsp; und &nbsp;$\alpha_2$&nbsp; sind in Neper &nbsp;$(\rm Np)$, die Phasenparameter &nbsp;$\beta_1$&nbsp; und &nbsp;$\beta_2$&nbsp; in Radian &nbsp;$(\rm rad)$&nbsp; einzusetzen.
Es gelten folgende Zahlenwerte:
:$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
  \alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km\cdot{\rm MHz}} \hspace{0.05cm},
  \hspace{0.2cm}
  \alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km\cdot\sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$

Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines &nbsp;[[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich|linearen zeitinvarianten Systems]]&nbsp; (LZI)
* die Dämpfungsfunktion $($in &nbsp;$\rm Np$&nbsp; bzw. &nbsp;$\rm dB)$: 
:$$a_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|
    \hspace{0.05cm},$$
* die Phasenfunktion $($in &nbsp;$\rm rad$ bzw. $\rm Grad)$:
:$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f)
    \hspace{0.05cm}.$$

In der Praxis benutzt man häufig die Näherung
:$$H_{\rm K}(f) =
  {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
  \sqrt{f}}  \cdot
  {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
  \sqrt{f}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot
  \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
  \frac{\rm rad}{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$

Dies ist erlaubt, da &nbsp;$\alpha_2$&nbsp; und &nbsp;$\beta_2$&nbsp; genau den gleichen Zahlenwert besitzen &ndash; nur unterschiedliche Pseudoeinheiten. Mit der Definition der &nbsp;'''charakteristischen Kabeldämpfung'''&nbsp; (in Neper bzw. Dezibel)
:$$a_{\rm * (Np)} = a_{\rm K}(f = {R_{\rm B}}/{2}) = 0.1151 \cdot a_{\rm * (dB)}$$

lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate &nbsp;$R_{\rm B}$&nbsp; und Kabellänge &nbsp;$l$&nbsp; einheitlich behandeln.






''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|Ursachen und Auswirkungen von Impulsinterferenzen]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume|Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
 



===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche Terme von &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; führen nicht zu Verzerrungen? Der
|type="[]"}
+ $\alpha_0$&ndash;Term,
- $\alpha_1$&ndash;Term,
- $\alpha_2$&ndash;Term,
+ $\beta_1$&ndash;Term,
- $\beta_2$&ndash;Term.

{Welche Länge &nbsp;$l_{\rm max}$&nbsp; könnte ein solches Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als &nbsp;$1\%$&nbsp; gedämpft wird?
|type="{}"}
$l_{\rm max} \ = \ $  { 6.173 3% } $\ {\rm km} $

{Welche Dämpfung $($in &nbsp;$\rm Np)$&nbsp; ergibt sich bei der Frequenz &nbsp;$f = 70\,{\rm MHz}$, wenn die Kabellänge &nbsp;$l = 2\,{\rm km}$&nbsp; beträgt?
|type="{}"}
$a_{\rm K}(f = 70\,{\rm MHz})\ = \ $ { 4.619 3% } $\ {\rm Np} $

{Welche Dämpfung  ergibt sich bei sonst gleichen Vorraussetzungen, wenn man nur den &nbsp;$\alpha_2$&ndash;Term berücksichtigt?
|type="{}"}
$a_{\rm K}(f = 70\,{\rm MHz})\ = \ $ { 4.555 3% } $\ {\rm Np} $

{Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen &nbsp;$\rm Np$&nbsp; und &nbsp;$\rm dB$? Welcher &nbsp;$\rm dB$&ndash;Wert ergibt sich für die unter '''(4)''' berechnete Dämpfung?
|type="{}"}
$a_{\rm K}(f = 70\,{\rm MHz})\ = \ $ { 39.57 3% } $\ {\rm dB} $

{Welche der Aussagen sind unter der Voraussetzung zutreffend, dass man sich bezüglich der Dämpfungsfunktion auf den &nbsp;$\alpha_2$&ndash;Wert beschränkt?
|type="[]"}
+ Man kann auch auf den Phasenterm &nbsp;$\beta_1$&nbsp; verzichten
- Mann kann auch auf den Phasenterm &nbsp;$\beta_2$&nbsp; verzichten
- $a_* &asymp; 40\,{\rm dB}$&nbsp; gilt für ein System mit &nbsp;$R_{\rm B} = 70\,{\rm Mbit/s}$&nbsp; und &nbsp;$l = 2\,{\rm km}$.
+ $a_* &asymp; 40\,{\rm dB}$&nbsp; gilt für ein System mit &nbsp;$R_{\rm B} = 140\,{\rm Mbit/s}$&nbsp; und &nbsp;$l = 2\,{\rm km}$.
+ $a_* &asymp; 40\,{\rm dB}$&nbsp; gilt für ein System mit &nbsp;$R_{\rm B} = 560\,{\rm Mbit/s}$&nbsp; und &nbsp;$l = 1\,{\rm km}$.
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
*Der $\alpha_0$&ndash;Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung und der $\beta_1$&ndash;Term (lineare Phase) eine frequenzunabhängige Laufzeit. 
*Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei. 



'''(2)'''&nbsp; Mit $a_0 = \alpha_0 \cdot l$ muss folgende Gleichung erfüllt sein:
:$${\rm e}^{- a_0 }  \ge 0.99
  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_0 < {\rm ln}
  \hspace{0.10cm}\frac{1}{0.99}\approx 0.01\,\,{\rm (Np)}
  \hspace{0.05cm}.$$

Damit erhält man für die maximale Kabellänge
:$$l_{\rm max} = \frac{a_0 }{\alpha_0 }  = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 6.173\,\,{\rm km}}
  \hspace{0.05cm}.$$


'''(3)'''&nbsp; Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme:
:$$a_{\rm K}(f) \ = \ \big[\alpha_0 + \alpha_1  \cdot f + \alpha_2  \cdot
  \sqrt{f}\hspace{0.05cm}\big] \cdot l = \big [0.00162 + 0.000435  \cdot 70 + 0.2722   \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}\big]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} = \hspace{0.15cm}\underline {= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$


'''(4)'''&nbsp; Entsprechend der Berechnung bei Punkt (3) erhält man hier den Dämpfungswert $\underline {4.555\,{\rm Np}}$.


'''(5)'''&nbsp; Für eine jede positive Größe $x$ gilt:
:$$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x =  \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}}
  =   \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot
  (20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.686 \cdot x_{\rm
 Np}\hspace{0.05cm}.$$
Der Dämpfungswert $4.555\,{\rm Np}$ ist somit identisch mit $\underline{39.57\,{\rm dB} }$.


'''(6)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 4 und 5</u>:
*Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit $\alpha_2$ gilt für den Frequenzgang:
:$$H_{\rm K}(f)   =
  {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
  \sqrt{f}}  \cdot
  {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot f}  \cdot
  {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
  \sqrt{f}}   \hspace{0.05cm}.$$
*Verzichtet man auf den $\beta_1$&ndash;Phasenterm, so ändert sich bezüglich der Verzerrungen nichts. Lediglich die Phasen&ndash; und Gruppenlaufzeit würden (beide gleich) um den Wert $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/2\pi$ kleiner.
*Verzichtet man auf den $\beta_2$&ndash;Term, so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:
:: Der Frequenzgang $H_{\rm K}(f)$ erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems; bei einem solchen muss $H_{\rm K}(f)$ minimalphasig sein.
:: Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch um $t = 0$, was nicht den Gegebenheiten entspricht.
*Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:
:$$a_{\rm K}(f) = \alpha_2  \cdot l \cdot
  \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
  \frac{\rm rad}{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
*Das heißt: $a_{\rm K}(f)$ und $b_{\rm K}(f)$ eines Koaxialkabels sind formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.
*Bei einem Digitalsystem mit Bitrate $R_{\rm B} = 140\,{\rm Mbit/s}$ &#8658; $R_{\rm B}/2 = 70\,{\rm Mbit/s}$ und Kabellänge $l = 2\,{\rm km}$ gilt tatsächlich $a_* &asymp; 40\,{\rm dB}$ &ndash; siehe Musterlösung zu '''(5)'''. 
*Ein System mit vierfacher Bitrate ($R_{\rm B}/2 = 280\,{\rm Mbit/s}$) und halber Länge ($l = 1\,{\rm km}$) führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung. 
*Dagegen gilt für ein System mit $R_{\rm B}/2 = 35\,{\rm Mbit/s}$ und $l = 2\,{\rm km}$ zu
:$$a_{\rm dB} = 0.2722 \frac{\rm Np}{\rm km\cdot \sqrt{\rm MHz}}  \cdot 2 \ \rm km \cdot \sqrt{35 \ \rm MHz} \cdot 8.6859 \frac{\rm dB}{\rm Np} &asymp; 28 \ \rm dB.$$

{{ML-Fuß}}

{{Display}}

[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.1 Impulsinterferenzen^]]