View source for Aufgaben:Exercise 3.2: Spectrum with Angle Modulation


{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Phasenmodulation (PM)
}}

[[File:P_ID1081__Mod_A_3_2.png|right|frame|Tabelle der Besselfunktionen]]
Es wird hier von folgenden Gleichungen ausgegangen:
* Quellensignal:
:$$q(t) = 2\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm},$$
* Sendesignal:
:$$s(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos\hspace{-0.1cm}\big[2 \pi \cdot 100\,{\rm kHz} \cdot t + K_{\rm M} \cdot q(t)\big ]\hspace{0.05cm},$$
* Empfangssignal (idealer Kanal:
:$$r(t)  =  s(t) =  1\,{\rm V} \cdot \cos\hspace{-0.1cm}\big[2 \pi \cdot 100\,{\rm kHz} \cdot t + \phi(t)\big ]\hspace{0.05cm},$$
* idealer Demodulator:
:$$ v(t) = \frac{1}{ K_{\rm M}} \cdot \phi(t)\hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt die Besselfunktionen&nbsp; ${\rm J}_n (\eta)$&nbsp; erster Art und&nbsp; $n$&ndash;ter Ordnung in tabellarischer Form.









''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)#Spektralfunktion_eines_phasenmodulierten_Sinussignals|Spektralfunktion eines phasenmodulierten Sinussignals]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)#Interpretation_des_Besselspektrums|Interpretation des Besselspektrums]].
 


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welches Modulationsverfahren liegt hier vor?
|type="()"}
- Amplitudenmodulation.
+ Phasenmodulation.
- Frequenzmodulation.

{Welches Modulationsverfahren würden Sie wählen, wenn die Kanalbandbreite nur &nbsp;$B_{\rm K} = 10 \ \rm kHz$&nbsp; betragen würde?
|type="()"}
+ Amplitudenmodulation.
- Phasenmodulation.
- Frequenzmodulation.

{Wie ist die Modulatorkonstante &nbsp;$K_{\rm M}$&nbsp; zu wählen, damit der Phasenhub &nbsp;$η = 1$&nbsp; beträgt?
|type="{}"}
$K_{\rm M} \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm 1/V$ 

{Berechnen Sie das Spektrum &nbsp;$S_{\rm TP}(f)$&nbsp; des äquivalenten Tiefpass–Signals &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$.&nbsp; 
Wie groß sind die Gewichte der Spektrallinien bei &nbsp;$f = 0$&nbsp; und &nbsp;$f = -3 \ \rm kHz$?
|type="{}"}
$S_{\rm TP}(f = 0)\ = \ $ { 0.765 3% } $\ \rm V$ 
$S_{\rm TP}(f = -3\ \rm kHz) \ = \ $ { -0.453--0.427 } $\ \rm V$ 

{Berechnen Sie die Spektren des analytischen Signals &nbsp;$s_{\rm +}(t)$&nbsp; sowie des physikalischen Signals &nbsp;$s(t)$.&nbsp; Wie groß sind die Gewichte der Spektrallinien bei &nbsp;$f = 97 \ \rm kHz$?
|type="{}"}
$S_+(f = 97  \ \rm kHz)\ = \ $ { -0.453--0.427 } $\ \rm V$ 
$S(f = 97  \ \rm kHz)\hspace{0.32cm} = \ $ { -0.226--0.214 } $\ \rm V$


{Wie groß ist die erforderliche Kanalbandbreite &nbsp;$B_{\rm K}$&nbsp; für &nbsp;$ η = 1$, wenn man (betragsmäßige) Impulsgewichte kleiner als &nbsp;$0.01$&nbsp; vernachlässigt?
|type="{}"}
$η = 1\text{:} \ \  \ B_{\rm K}\ = \ $ { 18 3% } $\ \rm kHz$ 

{Welche Kanalbandbreiten würden sich für &nbsp;$η = 2$&nbsp; und &nbsp;$η = 3$&nbsp; ergeben?
|type="{}"}
$η = 2\text{:} \ \ \  B_{\rm K}\ = \ $ { 24 3% } $\ \rm kHz$ 
$η = 3\text{:} \ \  \ B_{\rm K}\ = \ $ { 36 3% } $\ \rm kHz$ 

</quiz>


===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Die Phase&nbsp; $ϕ(t)$&nbsp; ist proportional zum Quellensignal&nbsp; $q(t)$ &nbsp; ⇒ &nbsp; es handelt sich um eine Phasenmodulation  &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Antwort 2</u>.



'''(2)'''&nbsp; Eine Winkelmodulation&nbsp; (PM, FM)&nbsp; führt bei bandbegrenztem Kanal stets zu nichtlinearen Verzerrungen. 
*Bei Zweiseitenband-Amplitudenmodulation&nbsp; (ZSB-AM)&nbsp; ist hier dagegen bereits mit&nbsp; $B_{\rm K} = 6 \ \rm kHz$&nbsp; eine verzerrungsfreie Übertragung möglich  &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Antwort 1</u>.



'''(3)'''&nbsp; Der Modulationsindex (oder Phasenhub) ist bei Phasenmodulation gleich&nbsp; $η = K_{\rm M} · A_{\rm N}$. 
*Somit ist die Modulatorkonstante&nbsp; $K_{\rm M} = 1/A_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5 \rm \cdot {1}/{V}}$&nbsp; zu wählen, damit sich&nbsp; $η = 1$&nbsp; ergibt.



'''(4)'''&nbsp; Es liegt ein sogenanntes Besselspektrum vor:
:$$ S_{\rm TP}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta (f - n \cdot f_{\rm N})\hspace{0.05cm}.$$
*Dieses ist ein diskretes Spektrum mit Anteilen bei&nbsp; $f = n · f_{\rm N}$, wobei&nbsp; $n$&nbsp; ganzzahlig ist. 
*Die Gewichte der Diracfunktionen sind durch die Besselfunktionen gegeben.&nbsp; Mit&nbsp; $A_{\rm T} = 1\ \rm  V$&nbsp; erhält man:
[[File:P_ID1082__Mod_A_3_2_d.png|right|frame|PM–Spektrum im äquivalenten Tiefpass–Bereich]]
:$$ S_{\rm TP}(f = 0)  =  A_{\rm T} \cdot {\rm J}_0 (\eta = 1) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.765\,{\rm V}},$$
:$$ S_{\rm TP}(f = f_{\rm N})  =  A_{\rm T} \cdot {\rm J}_1 (\eta = 1)\hspace{0.15cm} = 0.440\,{\rm V},$$
:$$ S_{\rm TP}(f = 2 \cdot f_{\rm N})  =  A_{\rm T} \cdot {\rm J}_2 (\eta = 1) = 0.115\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
*Aufgrund der Symmetrie&nbsp; ${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)$&nbsp; erhält man für die Spektrallinie bei&nbsp; $f = -3 \ \rm kHz$:
:$$S_{\rm TP}(f = -f_{\rm N}) = -S_{\rm TP}(f = +f_{\rm N}) =\hspace{-0.01cm}\underline { -0.440\,{\rm V} \hspace{0.05cm}}.$$
''Anmerkung'':&nbsp; Eigentlich müsste man für den Spektralwert bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; schreiben:
:$$S_{\rm TP}(f = 0) = 0.765\,{\rm V} \cdot \delta (f) \hspace{0.05cm}.$$
*Dieser ist somit aufgrund der Diracfunktion unendlich groß, lediglich das Gewicht der Diracfunktion ist endlich. 
*Gleiches gilt für alle diskreten Spektrallinien.



'''(5)'''&nbsp; $S_+(f)$&nbsp; ergibt sich aus&nbsp; $S_{\rm TP}(f)$&nbsp; durch Verschiebung um&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp;  nach rechts.&nbsp; Deshalb ist
:$$S_{\rm +}(f = 97\,{\rm kHz}) = S_{\rm TP}(f = -3\,{\rm kHz}) \hspace{0.15cm}\underline {=-0.440\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
*Das tatsächliche Spektrum unterscheidet sich von&nbsp; $S_+(f)$&nbsp; bei positiven Frequenzen um den Faktor&nbsp; $1/2$:
:$$S(f = 97\,{\rm kHz}) = {1}/{2} \cdot S_{\rm +}(f = 97\,{\rm kHz}) \hspace{0.15cm}\underline {=-0.220\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
*Allgemein kann geschrieben werden:
:$$ S(f) = \frac{A_{\rm T}}{2} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta (f \pm (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N}))\hspace{0.05cm}.$$



'''(6)'''&nbsp; Unter der vorgeschlagenen Vernachlässigung können alle Bessellinien&nbsp; ${\rm J}_{|n|>3}$&nbsp; außer Acht gelassen werden.
* Damit erhält man&nbsp; $B_{\rm K} = 2 · 3 · f_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 18 \ \rm kHz}$.



'''(7)'''&nbsp; Die Zahlenwerte in der Tabelle auf der Angabenseite zeigen, dass nun folgende Kanalbandbreiten erforderlich wären:
*für $η = 2$: &nbsp; &nbsp;  $B_{\rm K} \hspace{0.15cm}\underline { = 24 \ \rm kHz}$,
*für $η = 3$: &nbsp; &nbsp;  $B_{\rm K} \hspace{0.15cm}\underline { = 36 \ \rm kHz}$.

{{ML-Fuß}}



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