View source for Applets:WDF und VTF bei Gaußschen 2D-Zufallsgrößen

{{LntAppletLink|gauss}} 

==Programmbeschreibung==
<br>
Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften zweidimensionaler Gaußscher Zufallsgrößen&nbsp; $XY\hspace{-0.1cm}$, gekennzeichnet durch die Standardabweichungen (Streuungen)&nbsp; $\sigma_X$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_Y$&nbsp; ihrer beiden Komponenten sowie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{XY}$&nbsp;zwischen diesen. Die Komponenten werden als mittelwertfrei vorausgesetzt:&nbsp; $m_X = m_Y = 0$.

Das Applet zeigt
* die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$&nbsp; in dreidimensionaler Darstellung sowie in Form von Höhenlinien,
* die zugehörige Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; &rArr; &nbsp;  $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; $f_{X}(x)$&nbsp;   der Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; als blaue Kurve;  ebenso&nbsp; $f_{Y}(y)$&nbsp; für die zweite Zufallsgröße, 
* die zweidimensionale Verteilungsfunktion  &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$&nbsp; als 3D-Plot,
* die Verteilungsfunktion&nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; $F_{X}(x)$&nbsp; der Zufallsgröße&nbsp; $X$;  ebenso&nbsp; $F_{Y}(y)$&nbsp; als rote Kurve.


Das Applet verwendet das Framework &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]
  
==Theoretischer Hintergrund==
<br>
===Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; 2D&ndash;WDF===

Wir betrachten zwei wertkontinuierliche Zufallsgrößen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y\hspace{-0.1cm}$, zwischen denen statistische Abhängigkeiten bestehen können. Zur Beschreibung der Wechselbeziehungen zwischen diesen Größen ist es zweckmäßig, die beiden Komponenten zu einer&nbsp; '''zweidimensionalen Zufallsgröße'''&nbsp; $XY =(X, Y)$&nbsp; zusammenzufassen. Dann gilt: 

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Definition:}$&nbsp; 
Die &nbsp;'''Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''&nbsp; ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF, &nbsp;englisch:&nbsp; ''Probability Density Function'', kurz:&nbsp;PDF) der zweidimensionalen Zufallsgröße&nbsp; $XY$&nbsp; an der Stelle&nbsp; $(x, y)$: 
:$$f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y) =  \lim_{\left.{\Delta x\rightarrow 0 \atop {\Delta y\rightarrow 0} }\right.}\frac{ {\rm Pr}\big [ (x - {\rm \Delta} x/{\rm 2} \le X  \le x  + {\rm \Delta} x/{\rm 2}) \cap (y - {\rm \Delta} y/{\rm 2} \le Y \le y +{\rm \Delta}y/{\rm 2}) \big]  }{ {\rm \Delta} \ x\cdot{\rm \Delta} y}.$$

*Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; ist eine Erweiterung der eindimensionalen WDF.
*$∩$&nbsp; kennzeichnet die logische UND-Verknüpfung.
*$X$&nbsp; und&nbsp; $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und&nbsp; $x \in X$&nbsp; sowie &nbsp; $y \in Y$ geben  Realisierungen hiervon an.
*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Theorieteil]].}}


Anhand dieser 2D–WDF&nbsp; $f_{XY}(x, y)$&nbsp; werden auch statistische Abhängigkeiten innerhalb der zweidimensionalen Zufallsgröße &nbsp;$XY$&nbsp; vollständig erfasst im Gegensatz zu den beiden eindimensionalen Dichtefunktionen &nbsp; ⇒ &nbsp; '''Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen''': 
:$$f_{X}(x) = \int _{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}y  ,$$
:$$f_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x  .$$

Diese beiden Randdichtefunktionen&nbsp; $f_X(x)$&nbsp; und&nbsp; $f_Y(y)$ 
*liefern lediglich statistische Aussagen über die Einzelkomponenten&nbsp; $X$&nbsp; bzw.&nbsp; $Y$, 
*nicht jedoch über die Bindungen zwischen diesen.


Als quantitatives Maß für die linearen statistischen Bindungen &nbsp; &rArr; &nbsp; '''Korrelation'''&nbsp; verwendet man
* die&nbsp; '''Kovarianz'''&nbsp; $\mu_{XY}$, die bei mittelwertfreien Komponenten gleich dem gemeinsamen linearen Moment erster Ordnung ist:
:$$\mu_{XY} = {\rm E}\big[X \cdot Y\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} X \cdot Y \cdot f_{XY}(x,y) \,{\rm d}x \,  {\rm d}y ,$$  
*den&nbsp; '''Korrelationskoeffizienten'''&nbsp; nach Normierung auf die beiden  Effektivwerte &nbsp;$σ_X$&nbsp; und&nbsp;$σ_Y$&nbsp; der beiden Komponenten: 
:$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} }{\sigma_X \cdot \sigma_Y}.$$

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten:}$&nbsp; 
*Aufgrund der Normierung gilt stets&nbsp;  $-1 \le  ρ_{XY}  ≤ +1$. 
*Sind die beiden Zufallsgrößen &nbsp;$X$&nbsp; und &nbsp;$Y$ unkorreliert, so ist &nbsp;$ρ_{XY} = 0$. 
*Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen &nbsp;$X$&nbsp; und &nbsp;$Y$ ist &nbsp;$ρ_{XY}= ±1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; vollständige Korrelation.
*Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem &nbsp;$X$–Wert im statistischen Mittel auch &nbsp;$Y$&nbsp; größer ist als bei kleinerem &nbsp;$X$. 
*Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass &nbsp;$Y$&nbsp; mit steigendem &nbsp;$X$&nbsp; im Mittel kleiner wird.}}  
<br><br>

===2D&ndash;WDF bei Gaußschen Zufallsgrößen=== 

Für den Sonderfall&nbsp; '''Gaußscher Zufallsgrößen'''&nbsp; – der Name geht auf den Wissenschaftler&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F Carl Friedrich Gauß]&nbsp;  zurück – können wir weiterhin vermerken: 
*Die Verbund&ndash;WDF einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße&nbsp; $XY$&nbsp; mit Mittelwerten&nbsp; $m_X = 0$&nbsp; und&nbsp; $m_Y = 0$&nbsp;  sowie dem Korrelationskoeffizienten&nbsp; $ρ = ρ_{XY}$&nbsp; lautet: 
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \cdot \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\ \cdot\ \exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot (1-\it\rho^{\rm 2} {\rm)}}\cdot(\frac {\it x^{\rm 2}}{\sigma_X^{\rm 2}}+\frac {\it y^{\rm 2}}{\sigma_Y^{\rm 2}}-\rm 2\it\rho\cdot\frac{x \cdot y}{\sigma_x \cdot \sigma_Y}\rm ) \rm \Bigg]\hspace{0.8cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}-1 \le \rho \le +1.$$
*Ersetzt man&nbsp; $x$&nbsp; durch&nbsp; $(x - m_X)$&nbsp; sowie&nbsp; $y$&nbsp; durch&nbsp; $(y- m_Y)$, so ergibt sich die allgemeinere WDF einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße mit Mittelwert. 
*Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen&nbsp; $f_{X}(x)$&nbsp; und&nbsp; $f_{Y}(y)$&nbsp; einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße sind ebenfalls gaußförmig mit den Streuungen&nbsp; $σ_X$&nbsp; bzw.&nbsp; $σ_Y$.
*Bei unkorrelierten Komponenten&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$ muss in obiger Gleichung&nbsp; $ρ = 0$&nbsp; eingesetzt werden, und man erhält dann das Ergebnis: 
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{X}} \cdot\rm e^{-\it {x^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\hspace{0.05cm}\it\sigma_{X}^{\rm 2}} {\rm )}} \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{\it Y}}\cdot e^{-\it {y^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\hspace{0.05cm}\it\sigma_{Y}^{\rm 2}} {\rm )}} = \it  f_{X} \rm (  \it  x \rm ) \cdot \it  f_{Y} \rm (  \it  y \rm ) .$$

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Fazit:}$&nbsp; Im Sonderfall einer 2D-Zufallsgröße mit Gaußscher WDF&nbsp; $f_{XY}(x, y)$&nbsp; folgt aus der &nbsp;''Unkorreliertheit''&nbsp; auch direkt die&nbsp; ''statistische Unabhängigkeit:''
:$$f_{XY}(x,y)= f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y) . $$

Bitte beachten Sie:
*Bei keiner anderen WDF kann aus der&nbsp; ''Unkorreliertheit''&nbsp; auf die&nbsp; ''statistische Unabhängigkeit''&nbsp; geschlossen werden. 
*Man kann aber stets  &nbsp; ⇒ &nbsp;  für jede beliebige 2D–WDF&nbsp; $f_{XY}(x, y)$&nbsp; von der&nbsp; ''statistischen Unabhängigkeit''&nbsp; auf die&nbsp; ''Unkorreliertheit''&nbsp; schließen, weil: 
*Sind zwei Zufallsgrößen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; völlig voneinander (statistisch) unabhängig, so gibt es zwischen ihnen natürlich auch keine ''linearen''&nbsp; Abhängigkeiten &nbsp;  <br>⇒ &nbsp;  sie sind dann auch unkorreliert&nbsp; &rArr; &nbsp; $ρ = 0$. }}
<br><br>
===Höhenlinien bei unkorrelierten Zufallsgrößen===

[[File:Sto_App_Bild2.png |frame| Höhenlinien der 2D-WDF bei unkorrelierten Größen | rechts]]
Aus der Bedingungsgleichung&nbsp; $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$&nbsp; können die Höhenlinien der WDF berechnet werden. 

Sind die Komponenten&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$ unkorreliert&nbsp; $(ρ_{XY} = 0)$, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien: 

:$$\frac{x^{\rm 2}}{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2}}{\sigma_{Y}^{\rm 2}} =\rm const.$$
Die Höhenlinien beschreiben in diesem Fall folgende Figuren: 
*'''Kreise'''&nbsp; (falls&nbsp; $σ_X = σ_Y$, &nbsp; grüne Kurve), oder 
*'''Ellipsen'''&nbsp; (für&nbsp; $σ_X ≠ σ_Y$, &nbsp; blaue Kurve) in Ausrichtung der beiden Achsen. 
<br clear=all>
===Korrelationsgerade===

Als &nbsp;'''Korrelationsgerade'''&nbsp; bezeichnet man  die Gerade &nbsp;$y = K(x)$&nbsp;  in der &nbsp;$(x, y)$&ndash;Ebene durch den „Mittelpunkt” $(m_X, m_Y)$. Diese besitzt folgende Eigenschaften:  
[[File:Sto_App_Bild1a.png|frame| Gaußsche 2D-WDF (Approximation mit $N$ Messpunkten) und <br>Korrelationsgerade &nbsp;$y = K(x)$]]

*Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in &nbsp;$y$&ndash;Richtung betrachtet und über alle &nbsp;$N$&nbsp; Messpunkte gemittelt – ist minimal: 
:$$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$
*Die Korrelationsgerade kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet im allgemeinen Fall: 
:$$y=K(x)=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\cdot\rho_{XY}\cdot(x - m_X)+m_Y.$$

*Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur &nbsp;$x$&ndash;Achse einnimmt, beträgt: 
:$$\theta={\rm arctan}(\frac{\sigma_{Y} }{\sigma_{X} }\cdot \rho_{XY}).$$



===Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen===

Bei korrelierten Komponenten&nbsp; $(ρ_{XY} ≠ 0)$&nbsp; sind die Höhenlinien der WDF (fast) immer elliptisch, also auch für den Sonderfall&nbsp; $σ_X = σ_Y$. 

<u>Ausnahme:</u>&nbsp; $ρ_{XY}=\pm 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Diracwand; siehe&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Gaußsche_2D-WDF|Aufgabe 4.4]]&nbsp; im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;, Teilaufgabe &nbsp;'''(5)'''.
[[File:Sto_App_Bild3.png|right|frame|Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen]]
Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien: 

:$$f_{XY}(x, y) = {\rm const.} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \frac{x^{\rm 2} }{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2} }{\sigma_{Y}^{\rm 2} }-{\rm 2}\cdot\rho_{XY}\cdot\frac{x\cdot y}{\sigma_X\cdot \sigma_Y}={\rm const.}$$
Die Grafik zeigt in hellerem Blau für zwei unterschiedliche Parametersätze je eine Höhenlinie. 

*Die Ellipsenhauptachse ist dunkelblau gestrichelt. 
*Die&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Korrelationsgerade|Korrelationsgerade]]&nbsp; $K(x)$&nbsp; ist durchgehend rot eingezeichnet. 


Anhand dieser Darstellung sind folgende Aussagen möglich: 
*Die Ellipsenform hängt außer vom Korrelationskoeffizienten&nbsp; $ρ_{XY}$&nbsp; auch vom Verhältnis der beiden Streuungen&nbsp; $σ_X$&nbsp; und&nbsp; $σ_Y$&nbsp; ab.  
*Der Neigungswinkel&nbsp; $α$&nbsp; der Ellipsenhauptachse (gestrichelte Gerade) gegenüber der&nbsp; $x$&ndash;Achse hängt ebenfalls von&nbsp; $σ_X$,&nbsp; $σ_Y$&nbsp; und&nbsp; $ρ_{XY}$&nbsp; ab: 
:$$\alpha = {1}/{2} \cdot {\rm arctan } \big ( 2 \cdot \rho_{XY} \cdot \frac {\sigma_X \cdot \sigma_Y}{\sigma_X^2 - \sigma_Y^2} \big ).$$
*Die (rote) Korrelationsgerade&nbsp; $y = K(x)$&nbsp; einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der (blau gestrichelten) Ellipsenhauptachse. 
* $K(x)$&nbsp; kann aus dem Schnittpunkt der Höhenlinien und ihrer vertikalen Tangenten geometrisch konstruiert werden, wie in der Skizze in grüner Farbe angedeutet.  
<br><br>
===Zweidimensionale Verteilungsfunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; 2D&ndash;VTF===

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''2D-Verteilungsfunktion'''&nbsp; ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Verteilungsfunktion_(VTF)#VTF_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29|eindimensionalen Verteilungsfunktion]]&nbsp;  (VTF): 
:$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ]  .$$}}


Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der &bdquo;1D-VTF&rdquo; und der&bdquo; 2D-VTF&rdquo;:
*Der Funktionalzusammenhang zwischen &bdquo;2D&ndash;WDF&rdquo; und &bdquo;2D&ndash;VTF&rdquo; ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt: 
:$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta   .$$
*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; angeben: 
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$
*Bezüglich der Verteilungsfunktion&nbsp; $F_{XY}(x, y)$&nbsp; gelten folgende Grenzwerte:
:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$ 
*Im Grenzfall $($unendlich große&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y)$&nbsp; ergibt sich demnach für die &bdquo;2D-VTF&rdquo; der Wert&nbsp; $1$. Daraus erhält man die&nbsp; '''Normierungsbedingung'''&nbsp; für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion: 
:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1  .   $$

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Fazit:}$&nbsp; Beachten Sie den signifikanten Unterschied zwischen eindimensionalen und zweidimensionalen Zufallsgrößen: 
*Bei eindimensionalen Zufallsgrößen ergibt die Fläche unter der WDF stets den Wert $1$. 
*Bei zweidimensionalen Zufallsgrößen ist das WDF-Volumen immer gleich $1$.}}
<br><br>

==Versuchsdurchführung==
<br>
[[File:Aufgaben_2D-Gauss.png|right]]

*Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
*Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir &nbsp;$\rho$&nbsp; anstelle von &nbsp;$\rho_{XY}$.
*Für die &bdquo;1D-WDF&rdquo; gilt:&nbsp;  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$. 


Die Nummer '''0''' entspricht einem &bdquo;Reset&rdquo;:
*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
*Ausgabe eines &bdquo;Reset&ndash;Textes&rdquo; mit weiteren Erläuterungen zum Applet.



{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''&nbsp; Machen Sie sich anhand der Voreinstellung &nbsp;$(\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5, \ \rho = 0.7)$&nbsp; mit dem Programm vertraut. Interpretieren Sie die Grafiken für &nbsp;$\rm WDF$&nbsp; und&nbsp; $\rm VTF$.}}

::*&nbsp;$\rm WDF$&nbsp; ist ein Bergrücken mit dem Maximum bei&nbsp; $x = 0, \ y = 0$. Der Bergkamm ist leicht verdreht gegenüber der &nbsp;$x$&ndash;Achse.
::*&nbsp;$\rm VTF$&nbsp; ergibt sich aus &nbsp;$\rm WDF$&nbsp; durch fortlaufende Integration in beide Richtungen. Das Maximum $($nahezu &nbsp;$1)$&nbsp; tritt bei &nbsp;$x=3, \ y=3$&nbsp; auf.  

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''&nbsp; Nun lautet die Einstellung &nbsp;$\sigma_X= \sigma_Y=1, \ \rho = 0$. Welche Werte ergeben sich für &nbsp;$f_{XY}(0,\ 0)$&nbsp; und &nbsp;$F_{XY}(0,\ 0)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}

::*&nbsp;Das WDF&ndash;Maximum ist&nbsp;  $f_{XY}(0,\ 0) = 1/(2\pi)= 0.1592$, wegen &nbsp;$\sigma_X= \sigma_Y = 1, \ \rho = 0$. Die Höhenlinien sind Kreise.
::*&nbsp;Für den VTF-Wert gilt:&nbsp; $F_{XY}(0,\ 0) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 0)] = 0.25$. Geringfügige Abweichung wegen numerischer Integration.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''&nbsp; Es gelten weiter die Einstellungen von '''(2)'''. Welche Werte ergeben sich für &nbsp;$f_{XY}(0,\ 1)$&nbsp; und &nbsp;$F_{XY}(0,\ 1)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}

::*&nbsp;Es gilt&nbsp;  $f_{XY}(0,\ 1) = f_{X}(0) \cdot f_{Y}(1) = [ \sqrt{1/(2\pi)}]  \cdot [\sqrt{1/(2\pi)} \cdot {\rm e}^{-0.5}] = 1/(2\pi) \cdot {\rm e}^{-0.5} = 0.0965$.
::*&nbsp;Das Programm liefert&nbsp;  $F_{XY}(0,\ 1) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 1)] = 0.4187$, also einen größeren Wert als in '''(2)''', da weiter integriert wird.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''&nbsp; Die Einstellungen bleiben erhalten. Welche Werte ergeben sich für &nbsp;$f_{XY}(1,\ 0)$&nbsp; und &nbsp;$F_{XY}(1,\ 0)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}

::*&nbsp;Aufgrund der Rotationssysmmetrie gleiche Ergebnisse wie in '''(3)'''.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''&nbsp; Stimmt die Aussage:&nbsp;&bdquo;Elliptische Höhenlinien gibt es nur für &nbsp;$\rho \ne 0$&rdquo;. Interpretieren Sie die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; und $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; für &nbsp;$\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5$&nbsp; und&nbsp; $\rho = 0$.}}

::*&nbsp;Nein! Auch für&nbsp; $\ \rho = 0$&nbsp; sind die Höhenlinien elliptisch (nicht kreisförmig), falls &nbsp;$\sigma_X \ne \sigma_Y$.
::*&nbsp;Für&nbsp;$\sigma_X \gg \sigma_Y$&nbsp; hat die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; die Form eines langgestreckten Bergkamms parallel zur&nbsp; $x$&ndash;Achse, für&nbsp;$\sigma_X \ll \sigma_Y$&nbsp; parallel zur&nbsp; $y$&ndash;Achse.
::*&nbsp;Für&nbsp;$\sigma_X \gg \sigma_Y$&nbsp; ist der Anstieg der&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; in Richtung der &nbsp;$y$&ndash;Achse deutlich steiler als in Richtung der &nbsp;$x$&ndash;Achse.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''&nbsp; Variieren Sie ausgehend von&nbsp; $\sigma_X=\sigma_Y=1, \ \rho = 0.7$&nbsp; den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho$. Wie groß ist der Neigungswinkel &nbsp;$\alpha$&nbsp; der Ellipsen&ndash;Hauptachse?}}

::*&nbsp;Für&nbsp; $\rho > 0$&nbsp; ist &nbsp;$\alpha = 45^\circ$&nbsp; und für&nbsp; $\rho < 0$&nbsp; ist &nbsp;$\alpha = -45^\circ$. Für&nbsp; $\rho = 0$&nbsp; sind die Höhenlinien kreisfömig und somit gibt es auch keine Ellipsen&ndash;Hauptachse.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''&nbsp; Variieren Sie ausgehend von&nbsp; $\sigma_X=\sigma_Y=1, \ \rho = 0.7$&nbsp; den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho > 0$. Wie groß ist der Neigungswinkel &nbsp;$\theta$&nbsp; der Korrelationsgeraden&nbsp; $K(x)$?}}

::*&nbsp;Für&nbsp; $\sigma_X=\sigma_Y$&nbsp; ist &nbsp;$\theta={\rm arctan}\ (\rho)$. Die Steigung nimmt mit wachsendem&nbsp; $\rho > 0$&nbsp; zu. In allen Fällen gilt   &nbsp;$\theta < \alpha = 45^\circ$. Für&nbsp; $\rho = 0.7$&nbsp; ergibt sich &nbsp;$\theta = 35^\circ$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''&nbsp; Variieren Sie ausgehend von&nbsp; $\sigma_X=\sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$&nbsp; die Parameter&nbsp; $\sigma_Y$&nbsp; und&nbsp; $\rho \ (>0)$. Welche Aussagen gelten für die Winkel &nbsp;$\alpha$&nbsp; und&nbsp; $\theta$?}}

::*&nbsp;Für&nbsp; $\sigma_Y<\sigma_X$&nbsp; ist &nbsp;$\alpha < 45^\circ$&nbsp; und für&nbsp; $\sigma_Y>\sigma_X$&nbsp; dagegen &nbsp;$\alpha > 45^\circ$. 
::*&nbsp;Bei allen Einstellungen gilt:&nbsp;   '''Die Korrelationsgerade liegt unter der Ellipsen&ndash;Hauptachse'''.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''&nbsp; Gehen Sie von&nbsp; $\sigma_X= 1, \ \sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$&nbsp; aus und variieren Sie&nbsp; $\rho$. Wie könnte man die Korrelationsgerade aus den Höhenlinien konstruieren?}}

::*&nbsp;Die Korrelationsgerade schneidet alle Höhenlinien an den Punkten, an denen die Tangente zu der Höhenlinie senkrecht verläuft.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''&nbsp; Nun gelte&nbsp; $\sigma_X=  \sigma_Y=1, \ \rho = 0.95$. Interpretieren Sie die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$. Welche Aussagen würden für den Grenzfall&nbsp; $\rho \to 1$&nbsp; zutreffen?}}

::*&nbsp;Die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; hat nur Anteile in der Nähe der Ellipsen&ndash;Hauptachse. Die Korrelationsgerade liegt nur knapp darunter:&nbsp; $\alpha = 45^\circ, \ \theta = 43.5^\circ$.
::*&nbsp;Im Grenzfall&nbsp; $\rho \to 1$&nbsp; wäre&nbsp; $\theta = \alpha = 45^\circ$. Außerhalb der Korrelationsgeraden hätte die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; keine Anteile. Das heißt:
::*&nbsp;Längs der Korrelationsgeraden ergäbe sich eine '''Diracwand'''&nbsp; &rArr; &nbsp; Alle Werte sind unendlich groß, trotzdem um den Mittelwert gaußisch gewichtet. 






==Zur Handhabung des Applets==
<br>
[[File:Anleitung_2D-Gauss.png|left|600px]]
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe per Slider:&nbsp; $\sigma_X$, &nbsp;$\sigma_Y$ und&nbsp; $\rho$ 

&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl:&nbsp; Darstellung von WDF oder VTF

&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Reset:&nbsp; Einstellung wie beim Programmstart

&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Höhenlinien darstellen anstelle von &bdquo;1D-WDF&rdquo;

&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für &bdquo;2D-WDF&rdquo;

&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)

&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für &bdquo;1D-WDF&rdquo; bzw. &bdquo;Höhenlinien&rdquo;

&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 2D-Grafik (&bdquo;1D-WDF&rdquo;)

&nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl  

&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

&nbsp; &nbsp; '''(K)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung einblenden

&nbsp; &nbsp; '''( L)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung
<br><br><br><br><br><br><br><br>
Werte&ndash;Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)  
<br clear=all>


==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert. 
*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]). 
* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).


Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch&nbsp; [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]&nbsp; der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.


==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

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