View source for Aufgaben:Exercise 3.1: Spectrum of the Exponential Pulse


{{quiz-Header|Buchseite=Signal_Representation/Fourier_Transform_and_Its_Inverse
}}

[[File:P_ID494__Sig_A_3_1.png|right|frame|Exponentialimpuls]]

In dieser Aufgabe wird ein kausales Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; betrachtet, 
*das zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; sprungartig von Null auf&nbsp; $A$&nbsp; ansteigt, und 
*für Zeiten&nbsp; $t > 0$&nbsp; exponentiell mit der Zeitkonstanten&nbsp; $T$&nbsp; abfällt:

:$$x(t) = A \cdot {\rm e}^{ - t/T} .$$
 
An der Sprungstelle zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; gilt&nbsp; $x(t = 0) = A/2$.

Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen folgende Parameter:
 
:$$A = 3 \hspace{0.1cm} {\rm V}, \hspace{0.4cm} T = 1 \hspace{0.1cm} {\rm ms} .$$

Die zu berechnende Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; wird komplex sein und kann daher 
*nach Real– und Imaginärteil, aber auch 
*nach Betrag und Phase 


dargestellt werden. Verwenden Sie die Notation:
 
:$$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi( f )} .$$








''Hinweis:'' 
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_and_Its_Inverse|Fouriertransformation und &ndash;rücktransformation]].
 



===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$. Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$?
|type="{}"}
$\text{Re}[X(f=0)] \ = \ $ { 3 3% }  &nbsp;$\rm mV/Hz$
$\text{Im}[X(f=0)] \ = \  $ { 0. } &nbsp;$\rm mV/Hz$

{Wie lauten der Real– und der Imaginärteil von&nbsp; $X(f)$&nbsp; unter Verwendung von&nbsp; $f_0 = 1/(2\pi T)$. Welche Werte ergeben sich bei&nbsp; $f = f_0$?
|type="{}"}
$\text{Re}[X(f=f_0)] \ = \  $ { 1.5 3% } &nbsp;$\rm mV/Hz$
$\text{Im}[X(f=f_0)] \ = \  $ { -1.55--1.45 } &nbsp;$\rm mV/Hz$

{Berechnen Sie die Betragsfunktion&nbsp; $|X(f)|$. Welche Werte ergeben sich bei der Frequenz&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und bei sehr großen Frequenzen?
|type="{}"}
$|X(f=f_0)| \hspace{0.25cm} = \  $ { 2.12 3% } &nbsp;$\rm mV/Hz$
$|X(f\rightarrow \infty)| \ = \  $ { 0. } &nbsp;$\rm mV/Hz$

{Berechnen Sie die Phasenfunktion&nbsp; $\varphi(f)$. Welche Werte ergeben sich hierfür bei der Frequenz&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und bei sehr großen Frequenzen?
|type="{}"}
$\varphi(f=f_0) \hspace{0.25cm} = \  $ { 0.785 3% } &nbsp;$\rm rad$
$\varphi(f \rightarrow \infty) \ = \ $ { 1.571 3% } &nbsp;$\rm rad$

</quiz>



===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  Mit dem ersten Fourierintegral erhält man:
 
:$$X( f ) = \int_0^\infty  {A \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}}2\pi f} \right)} } {\rm d}t = \left. {\frac{ { - A}}{ {1/T + {\rm j}2\pi f}} \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j}2\pi f} \right)} } \right|_0^\infty  .$$

*Die obere Integralgrenze&nbsp; $(t \rightarrow \infty)$&nbsp; ergibt Null, die untere Grenze&nbsp; $(t = 0)$&nbsp; den Wert&nbsp; $1$. Somit gilt:
 
:$$X(f) = \frac{ {A \cdot T}}{ {1 + {\rm j}2\pi fT}}\hspace{0.3 cm}\Rightarrow\hspace{0.3 cm}
X( {f = 0}) = A \cdot T{ = 3 \cdot 10^{ - 3}\; {\rm V/Hz}} \hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \; {\rm mV/Hz}}.$$

*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist demnach das Spektrum rein reell:
:$$\text{Re}[X(f=0)] \hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \; {\rm mV/Hz}}&nbsp; \hspace{1.15 cm}\text{Im}[X(f=0)] \hspace{0.15 cm}\underline{ =0}.$$



'''(2)'''&nbsp; Mit den Abkürzungen&nbsp; $X_0 = A \cdot T$&nbsp; und&nbsp; $f_0 = 1/(2\pi T)$&nbsp; lautet die Spektralfunktion:
 
:$$X( f) = \frac{ {X_0 }}{ {1 +{\rm j} \cdot f/f_0 }} = \frac{ {X_0 }}{ {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }} \cdot \left( {1 - {\rm j} \cdot f/f_0 } \right).$$

Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil ergibt dies:
 
$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)}] = \frac{ {X_0 }}{{1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }},
\hspace{0.5 cm}{\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X(f)}] =  - \frac{ {X_0  \cdot f/f_0 }}{ {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }}.$$

Bei der Frequenz&nbsp; $f_0$&nbsp; ist 
*der Realteil gleich&nbsp;  $X_0/2  \hspace{0.15 cm}\underline{ = 1.5 \; {\rm mV/Hz}},$
*der Imaginärteil gleich&nbsp; $–X_0/2 \hspace{0.15 cm}\underline{ = \hspace{0.1 cm}-1.5 \; {\rm mV/Hz}}.$ 



[[File:P_ID548__Sig_A_3_1_c_neu.png|right|frame|Betragsspektrum des Exponentialimpulses]]
'''(3)'''&nbsp; Der Betrag einer komplexwertigen Funktion, die als Quotient vorliegt, ist gleich dem Quotienten der Beträge von Zähler und Nenner. 
*Damit erhält man:
 
:$$ \left| {X( f)} \right| =\frac{ {X_0 }}{ {\left| 1 +{\rm j} \cdot f/ {f_0 } \right|}} = \frac{ {X_0 }}{{\sqrt {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 } }},$$

:$$\Rightarrow \hspace{0.5 cm} \left| {X( {f = f_0} )} \right| = { {X_0 }}/{ {\sqrt 2 }}\hspace{0.15 cm}\underline{  = 2.12 \;{\rm mV/Hz}}.$$
 
*Bei sehr großen Frequenzen&nbsp; $(f \rightarrow \infty)$&nbsp; ist der Betrag <u>nahezu Null</u> (siehe Skizze).



'''(4)'''&nbsp; Für die Phasenfunktion gilt allgemein:
 
$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ { - {\mathop{\rm Im}\nolimits}[{X(f)} ]}}{{ {\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)} ]}}} \right) = \arctan \left( {f/f_0 } \right).$$

*Für $f = f_0$ ergibt sich&nbsp; $\arctan(1)= \pi /4 \hspace{0.15 cm}\underline{\approx 0.785}$.
* Für sehr große Werte von&nbsp; $f$&nbsp; nähert sich die Phasenfunktion dem Wert&nbsp; $\arctan(\infty) = \pi /2 \hspace{0.15 cm}\underline{ \approx 1.571}$&nbsp; an. 
*Beide Angaben sind im Bogenmaß („Radian”) zu verstehen.

{{ML-Fuß}}

__NOEDITSECTION__
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