View source for Aufgaben:Exercise 3.4Z: Trapezoid, Rectangle and Triangle


{{quiz-Header|Buchseite=Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws
}}

[[File:P_ID510__Sig_Z_3_4.png|right|frame|Trapezimpuls und dessen Grenzfälle &bdquo;Rechteck&rdquo; und &bdquo;Dreieck&rdquo; ]]
Betrachtet werden drei unterschiedliche Impulsformen. Der Impuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; ist trapezförmig. Für&nbsp; $| t | < t_1 = 4 \,\text{ms}$&nbsp; ist der Zeitverlauf konstant gleich&nbsp; ${A} = 1\, \text{V}$. Danach fällt&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; bis zum Zeitpunkt&nbsp; $t_2 = 6\, \text{ms}$&nbsp; linear bis auf den Wert Null ab.

Mit den beiden abgeleiteten Systemgrößen, nämlich

* der&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|äquivalenten Impulsdauer]]&nbsp;
:$$\Delta t = t_1  + t_2$$

* und dem so genannten Rolloff-Faktor (im Zeitbereich)
:$$r_t = \frac{t_2  - t_1 }{t_2  + t_1 }$$

lautet die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
:$$X( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}  \cdot \Delta t \cdot f} ) \cdot  \hspace{0.1cm}{\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}\cdot \Delta t \cdot  r_t \cdot  f} ).$$
Weiter sind in der Grafik noch der Rechteckimpuls&nbsp; ${r(t)}$&nbsp; und der Dreieckimpuls&nbsp; ${d(t)}$&nbsp; dargestellt, die beide als Grenzfälle des Trapezimpulses&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; interpretiert werden können.








''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
 
*Sie können Ihre Ergebnisse anhand der beiden  interaktiven Applets&nbsp; [[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]]&nbsp; sowie&nbsp;  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]]&nbsp; überprüfen.



===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Wie groß sind die äquivalente Impulsdauer und der Rolloff-Faktor von&nbsp; ${x(t)}$?
|type="{}"}
$\Delta t \ = \ $ { 10 3% } &nbsp;$\text{ms}$
$r_t\hspace{0.3cm} = \ $ { 0.2 3% }


{Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; zutreffend?
|type="[]"}
- Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist gleich&nbsp; $20 \,\text{mV/Hz}$.
+ Für die Phasenfunktion sind die Werte&nbsp; $0$&nbsp; oder&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180^{\circ})$&nbsp; möglich.
+ ${X(f)}$&nbsp; weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von&nbsp; $100 \,\text{Hz}$&nbsp; auf.


{Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion&nbsp; ${R(f)}$&nbsp; zutreffend?
|type="[]"}
+ Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist gleich ${X(f = 0)}$.
+ Für die Phasenfunktion sind die Werte&nbsp; $0$&nbsp; oder&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180^{\circ})$&nbsp; möglich.
+ ${R(f)}$&nbsp; weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von&nbsp; $100 \,\text{Hz}$&nbsp; auf.


{Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion&nbsp; ${D(f)}$&nbsp; zutreffend?
|type="[]"}
+ Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist gleich&nbsp; ${X(f = 0)}$.
- Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180^{\circ})$&nbsp; möglich.
+ ${D(f)}$&nbsp; weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von&nbsp; $100 \,\text{Hz}$ auf.



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  Die äquivalente Impulsdauer ist&nbsp; $\Delta t = t_1 + t_2 \;\underline{= 10 \,\text{ms}}$&nbsp; und der Rolloff-Faktor&nbsp; $r_t = 2/10 \;\underline{= 0.2}$.



'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
*Der Spektralwert bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; beträgt&nbsp; $A \cdot \Delta t = 10 \,\text{mV/Hz}$. 
*Da&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; reell ist und sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, sind nur die zwei Phasenwerte&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $\pi$&nbsp; möglich.
*Nullstellen gibt es aufgrund der ersten si-Funktion bei allen Vielfachen von&nbsp; $1/\Delta t = 100\, \text{Hz}$. 
*Die zweite si-Funktion führt zu Nulldurchgängen im Abstand&nbsp; $1/(r_t \cdot \Delta t) = 500 \,\text{Hz}$. Diese fallen exakt mit den Nullstellen der ersten si-Funktion zusammen. 



'''(3)'''&nbsp;   <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind zutreffend:
*Mit der äquivalenten Impulsdauer&nbsp; $\Delta t = 10 \,\text{ms}$&nbsp; und dem Rolloff-Faktor&nbsp; $r_t = 0$&nbsp; erhält man: &nbsp; $R( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ).$
*Daraus folgt&nbsp; $R( f = 0) = A \cdot \Delta t = X( f = 0).$



'''(4)'''&nbsp; Hier sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>  zutreffend:
*Beim Dreieckimpuls ist der Rolloff-Faktor&nbsp; $r_t = 1$. 
*Die äquivalente Impulsdauer ist&nbsp; $\Delta t = 10 \,\text{ms}$. Daraus folgt &nbsp; $D( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} )$&nbsp; und&nbsp; $D( f = 0) = A \cdot \Delta t  = X( f = 0)$. 
*Da&nbsp; ${D(f)}$&nbsp; nicht negativ werden kann, ist die Phase&nbsp; $[{\rm arc} \; {D(f)}]$&nbsp; stets Null. Der Phasenwert&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180°)$&nbsp; ist also bei der Dreieckform nicht möglich. 
{{ML-Fuß}}


__NOEDITSECTION__
[[Category:Exercises for Signal Representation|^3.3 Fourier Transform Theorems^]]