View source for Aufgaben:Exercise 1.3Z: Calculating with Complex Numbers II

{{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Prinzip der Nachrichtenübertragung}}

[[File:P_ID802__Sig_Z_1_3.png|right|frame|Betrachtete Zahlen in der komplexen Ebene]]
The following three complex quantities are shown in the complex plane to the right:

: $$z_1 = 4 + 3\cdot {\rm j},$$
: $$ z_2 = -2 ,$$
: $$z_3 = 6\cdot{\rm j} .$$
Within the framework of this task, the following quantities are to be calculated::
: $$z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star},$$
: $$z_5 = z_1 + 2 \cdot z_2 - {z_3}/{2},$$
: $$z_6 = z_1 \cdot z_2,$$
: $$z_7 = {z_3}/{z_1}.$$






''Hints:'' 
*This exercise belongs to the chapter&nbsp;[[Signal_Representation/Calculating_With_Complex_Numbers|Calculating With Complex Numbers]].
*The topic is also covered in the teaching video&nbsp;[[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)|Rechnen mit komplexen Zahlen]]&nbsp;.
*Enter the phase values in the range of&nbsp; $-\hspace{-0.05cm}180^{\circ} < \phi ≤ +180^{\circ}$.
 



===Questions===

<quiz display=simple>
{Enter the magnitude and phase of&nbsp; $z_1$&nbsp;.
|type="{}"}
$|z_1|\ = \ ${ 5 3% }
$\phi_1\ = \ $ { 36.9 3% } $\hspace{0.2cm}\text{Grad}$


{What is&nbsp; $z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star} = x_4 + \text{j} \cdot y_4$?
|type="{}"}
$x_4\ = \ $ { 25 3% }
$y_4\ = \ $ { 0. }


{Calculate&nbsp; $z_5 = x_5 + {\rm j} \cdot y_5$&nbsp;.
|type="{}"}
$x_5\ = \ $ { 0. }
$y_5\ = \ $ { 0. }


{Geben Sie&nbsp; $z_6 = z_1 \cdot z_2$&nbsp; nach Betrag und Phase an &nbsp; $($im Bereich&nbsp; $\pm 180^{\circ})$.
|type="{}"}
$|z_6|\ = \ $ { 10 3% }
$\phi_6\ = \ $  { -145--140 } $\hspace{0.2cm}\text{Grad}$


{Welchen Phasenwert besitzt die rein imaginäre Zahl&nbsp; $z_3$?
|type="{}"}
$\phi_3 \ = \ $ { 90 3% } $\hspace{0.2cm}\text{Grad}$


{Berechnen Sie&nbsp; $z_7 = z_3/z_1$&nbsp; nach Betrag und Phase&nbsp; $($im Bereich&nbsp; $\pm 180^{\circ})$.
|type="{}"}
$|z_7| \ = \ $ { 1.2 3% }
$\phi_7 \ = \ $ { 53.1 3% } $\hspace{0.2cm}\text{Grad}$

</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  Der Betrag kann nach dem Satz von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras Pythagoras]&nbsp; berechnet werden:
:$$|z_1| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}= \sqrt{4^2 + 3^2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 5}.$$
*Für den Phasenwinkel gilt entsprechend der Seite&nbsp; [[Signal_Representation/Calculating_With_Complex_Numbers#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Darstellung nach Betrag und Phase]] :
:$$\phi_1 = \arctan \frac{y_1}{x_1}= \arctan \frac{3}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ = 36.9^{\circ}}.$$


'''(2)'''&nbsp; Die Multiplikation von&nbsp; $z_1$&nbsp; mit deren Konjugiert-Komplexen&nbsp; $z_1^{\star}$&nbsp; ergibt die rein reelle Größe&nbsp; $z_4$, wie die folgenden Gleichungen zeigen:
:$$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 +
y_1^2}= |z_1|^2 = 25,$$
:$$z_4 = |z_1| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi_1} \cdot |z_1| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_1}= |z_1|^2 = 25\hspace{0.3cm}
\Rightarrow\hspace{0.3cm} x_4 \hspace{0.1cm}\underline{=  25}, \hspace{0.25cm}y_4 \hspace{0.15cm}\underline{=  0}.$$


'''(3)'''&nbsp; Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil kann geschrieben werden:
:$$x_5 = x_1 + 2 \cdot x_2 - {x_3}/{2} = 4 + 2 \cdot(-2) -0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$
:$$y_5 = y_1 + 2 \cdot y_2 - {y_3}/{2} = 3 + 2 \cdot 0 - \frac{6}{2} \hspace{0.1cm}\underline{=0}.$$


'''(4)'''&nbsp; Schreibt man&nbsp; $z_2$&nbsp; nach Betrag und Phase &nbsp; &rArr; &nbsp; $|z_2| = 2, \ \phi_2 = 180^{\circ}$, so erhält man für das Produkt:
:$$|z_6| = |z_1| \cdot |z_2|= 5 \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline{= 10},$$
:$$\phi_6 = \phi_1 + \phi_2 = 36.9^{\circ} + 180^{\circ} =
216.9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{= -143.1^{\circ}}.$$


'''(5)'''&nbsp; Die Phase ist&nbsp; $\phi_3 = 90^{\circ}$&nbsp; (siehe Grafik auf der Angabenseite), wie man formal nachweisen kann:
:$$\phi_3 = \arctan \left( \frac{6}{0}\right) = \arctan (\infty)
\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_3 \hspace{0.15cm}\underline{= 90^{
 \circ}}.$$


'''(6)'''&nbsp; Zunächst die umständlichere Lösung:
:$$z_7 = \frac{z_3}{z_1}= \frac{6{\rm j}}{4 + 3{\rm j}} = \frac{6{\rm j}\cdot(4 - 3{\rm j})}{(4 + 3{\rm j})\cdot (4 - 3{\rm j})} =
  \frac{18 +24{\rm j}}{25} = 1.2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 53.1^{ \circ}}.$$
*Ein anderer Lösungsweg lautet:
:$$|z_7| = \frac{|z_3|}{|z_1|} = \frac{6}{5}\hspace{0.15cm}\underline{=1.2}, \hspace{0.3cm}\phi_7 = \phi_3 - \phi_1 = 90^{\circ} - 36.9^{\circ}
\hspace{0.15cm}\underline{=53.1^{\circ}}.$$
{{ML-Fuß}}



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^]]