View source for Aufgaben:Exercise 1.16: Block Error Probability Bounds for AWGN

{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit}}

[[File:P_ID2414__KC_A_1_15.png|right|frame|Fehlerfunktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; und Näherungen ]]

Wir gehen von der folgenden Konstellation aus:
*ein linearer Blockcode mit Coderate&nbsp; $R = k/n$&nbsp; und Distanzspektrum&nbsp; $\{W_i\}, \ i = 1, \ \text{...} \ , n$,
*ein AWGN–Kanal, gekennzeichnet durch&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0}$ &nbsp; ⇒ &nbsp; umrechenbar in die Rauschleistung&nbsp; $\sigma^2$,
*ein Empfänger, basierend auf ''Soft Decision'' sowie dem ''Maximum–Likelihood–Kriterium''.


Unter der für die gesamte Aufgabe gültigen Annahme, dass stets das Nullwort&nbsp; $\underline{x}_{1} = (0, 0, \text{...} \ , 0)$&nbsp; gesendet wird, gilt für die&nbsp; [[Channel_Coding/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|„paarweise Fehlerwahrscheinlichkeit”]] mit einem anderen Codewort&nbsp; $\underline{x}_{l} (l = 2,\ \text{...} \ , 2^k)$:

:$$ {\rm Pr}[\hspace{0.05cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l}\hspace{0.05cm}] = {\rm Q}\left ( \sqrt{w_{\rm H}(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l})/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
 
Die Herleitung dieser Beziehung finden Sie in [Liv10]. In dieser Gleichung werden verwendet:
*die&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]&nbsp; ${\rm Q}(x)$,
*das&nbsp; [[Channel_Coding/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming–Gewicht]]&nbsp; $w_{\rm H}(\underline{x}_{l})$&nbsp; des Codewortes&nbsp; $\underline{x}_{l}$,
*die&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Systemoptimierung_bei_Leistungsbegrenzung|AWGN–Rauschleistung]]&nbsp; $\sigma^2 = (2 · R · E_{\rm B}/N_{0})^{–1}.$ 


Damit lassen sich verschiedene Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit angeben:

*die so genannte&nbsp; [[Channel_Coding/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Union Bound]]&nbsp; (UB):
 
:$$p_1 = \sum_{l = 2}^{2^k}\hspace{0.05cm}{\rm Pr}[\hspace{0.05cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l}\hspace{0.05cm}] = \sum_{l \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2}^{2^k}\hspace{0.05cm}{\rm Q}\left ( \sqrt{w_{\rm H}(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l})/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm},$$

*die so genannte&nbsp; [[Channel_Coding/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Schranken_f.C3.BCr_den_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Code_beim_AWGN.E2.80.93Kanal|Truncated Union Bound]]&nbsp; (TUB):
 
:$$p_2 = W_{d_{\rm min}} \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{d_{\rm min}/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm},$$

*die&nbsp; [[Channel_Coding/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya|Bhattacharyya–Schranke]]:
 
:$$p_3 = W(\beta) - 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm} \beta = {\rm e}^{ - 1/(2\sigma^2) } \hspace{0.05cm}.$$

:In diesem Fall ist das Distanzspektrum&nbsp; $\{W_i\}$&nbsp; durch die Gewichtsfunktion zu ersetzen:

:$$\left \{ \hspace{0.05cm} W_i \hspace{0.05cm} \right \} \hspace{0.3cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3cm} W(X) = \sum_{i=0 }^{n} W_i \cdot X^{i} = W_0 + W_1 \cdot X + W_2 \cdot X^{2} + ... \hspace{0.05cm} + W_n \cdot X^{n}\hspace{0.05cm}.$$
 
Beim Übergang von der ''Union Bound''&nbsp; $p_{1}$&nbsp; zur ungenaueren Schranke&nbsp; $p_{3}$&nbsp; wird unter Anderem die Funktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; durch die&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Chernoff-Ungleichung Chernoff–Rubin–Schranke]&nbsp; ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; ersetzt. Beide Funktionen sind in obigerer Grafik dargestellt (rote bzw. grüne Kurve).

In der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.16Z:_Schranken_für_die_Gaußsche_Fehlerfunktion|Aufgabe 1.16Z]]&nbsp; wird der Zusammenhang zwischen diesen Funktionen numerisch ausgewertet und zu den Schranken&nbsp; ${\rm Q}_{o}(x)$ und ${\rm Q}_{u}(x)$&nbsp; Bezug genommen, die in obiger Grafik ebenfalls eingezeichnet sind.




''Hinweise:'' 
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Channel_Coding/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit]].
* Die oben zitierte Literaturstelle  [Liv10] verweist auf das Vorlesungsmanuskript &bdquo;Liva, G.: ''Channel Coding''.  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2010.&rdquo;
* Weiter verweisen wir auf das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen| Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].





===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche Gleichung gilt für die ''Union Bound''?
|type="[]"}
- $p_{1} = \sum_{l\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}2}^{2^k} W_{l} · {\rm Q}\big[(l/\sigma^2)^{0.5}\big],$
+ $p_{1} = \sum_{i\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}1}^{n} W_{i} · {\rm Q}\big[(i/\sigma^2)^{0.5}\big].$

{Geben Sie die Union Bound für den&nbsp; $(8, 4, 4)$–Code und verschiedene&nbsp; $\sigma$&nbsp; an.
|type="{}"}
$\sigma = 1.0 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{1} \ = \ $ { 32.15 3% } $\ \%$
$\sigma = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{1} \ = \ $ { 0.0444 3% } $\ \%$

{Was liefert die ''Truncated Union Bound'' bei gleichen Randbedingungen?
|type="{}"}
$\sigma = 1.0 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{2} \ = \ $ { 31.92 3% } $\ \%$
$\sigma = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{2} \ = \ $ { 0.044 3% } $\ \%$

{Welche Aussage gilt immer (für alle Konstellationen)?
|type="[]"}
+ Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist nie größer als&nbsp; $p_{1}$.
- Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist nie größer als&nbsp; $p_{2}$.

{Wie kommt man von&nbsp; $p_{1}$&nbsp; zur Bhattacharyya–Schranke&nbsp; $p_{3}$? Dadurch, dass man
|type="[]"}
+ die Fehlerfunktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; durch die Funktion&nbsp; ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; ersetzt,
- den Bhattacharyya–Parameter&nbsp; $\beta = 1/\sigma$&nbsp; setzt,
+ statt&nbsp; $\{W_i\}$&nbsp; die Gewichtsfunktion&nbsp; $W(X)$&nbsp; verwendet.


{Geben Sie die Bhattacharyya–Schranke für&nbsp; $\sigma = 1$&nbsp; und&nbsp; $\sigma = 0.5$&nbsp; an.
|type="{}"}
$\sigma = 1.0 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{3} \ = \ $ { 191.3 3% } $\ \%$
$\sigma = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{3} \ = \ $ { 0.47 3% } $\ \%$
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die  <u>Antwort 2</u>. Das Distanzspektrum $\{W_i\}$ ist definiert für $i = 0, \ \text{...} \ , \ n$:

*$W_{1}$ gibt an, wie oft das Hamming–Gewicht $w_{\rm H}(\underline{x}_{i}) = 1$ auftritt.
*$W_{n}$ gibt an, wie oft das Hamming–Gewicht $w_{\rm H}(\underline{x}_{i}) = n$ auftritt.


Damit lautet die ''Union Bound'':

:$$p_1 = {\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)}= \sum_{i = 1}^{n}\hspace{0.05cm}W_i \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{i/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
 

'''(2)'''&nbsp; Das Distanzspektrum des $(8, 4, 4)$–Codes wurde mit $W_{0} = 1 , \ W_{4} = 14, \ W_{8} = 1$ angegeben. Somit erhält man für $\sigma = 1$:
:$$p_1 =  W_4 \cdot {\rm Q}\left ( 2 \right ) + W_8 \cdot {\rm Q}\left ( 2 \cdot \sqrt{2} \right )
= 14 \cdot 2.28 \cdot 10^{-2}+ 1 \cdot 0.23 \cdot 10^{-2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 32.15\%}\hspace{0.05cm},$$

bzw. für $\sigma = 0.5$:
:$$p_1 =  14 \cdot {\rm Q}\left ( 4 \right ) + {\rm Q}\left ( 4 \cdot \sqrt{2} \right )
= 14 \cdot 3.17 \cdot 10^{-5}+ 1.1 \cdot 10^{-8} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.0444 \%}\hspace{0.05cm}.$$
 

'''(3)'''&nbsp; Mit der Minimaldistanz $d_{\rm min} = 4$ erhält man:
 
:$$\sigma = 1.0\text{:} \hspace{0.4cm} p_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} W_4 \cdot {\rm Q}\left ( 2 \right ) \hspace{0.15cm}\underline{= 31.92\%}\hspace{0.05cm},$$
:$$\sigma = 0.5\text{:} \hspace{0.4cm} p_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm}W_4 \cdot {\rm Q}\left ( 4 \right ) \approx p_1 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.0444 \%}\hspace{0.05cm}.$$


'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: 
*Die ''Union Bound'' – hier mit $p_{1}$ bezeichnet – ist in jedem Fall eine obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit. 
*Für die Schranke $p_{2}$ (''Truncated Union Bound'') trifft das nicht immer zu. 
*Beispielsweise erhält man beim $(7, 4, 3)$–Hamming–Code  &nbsp; ⇒ &nbsp;  $W_{3} = W_{4} = 7, \ W_{7} = 1$ mit der Streuung $\sigma = 1$:
 
:$$p_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{3} \right ) = 7 \cdot 4.18 \cdot 10^{-2} \approx 0.293\hspace{0.05cm},$$
:$$p_1 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} p_2 + 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{4} \right )+ 1 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{7} \right ) \approx 0.455 \hspace{0.05cm}.$$

Die tatsächliche Blockfehlerwahrscheinlichkeit wird wahrscheinlich zwischen $p_{2} = 29.3\%$ und $p_{1} = 45.5\%$ liegen (wurde allerdings nicht nachgeprüft). <br>Das heißt: &nbsp; $p_{2}$ ist keine obere Schranke.


'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>, wie die folgende Rechnung für den $(8, 4, 4)$–Code zeigt:

*Es gilt ${\rm Q}(x) ≤ {\rm Q_{CR}}(x) = {\rm e}^{-x^2/2}$. Damit kann für die Union Bound
 
:$$p_1 = W_4 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{4/\sigma^2} \right ) +W_8 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{8/\sigma^2} \right )$$

:eine weitere obere Schranke angegeben werden:
 
:$$p_1 \le W_4 \cdot {\rm e}^{ - {4}/(2 \sigma^2) } +W_8 \cdot {\rm e}^{ - {8}/(2 \sigma^2) } \hspace{0.05cm}.$$

*Mit $\beta = {\rm e}^{–1/(2\sigma^2)}$ kann hierfür auch geschrieben werden (das vorgegebene $\beta = 1/\sigma$ ist also falsch):
 
:$$p_1 \le W_4 \cdot \beta^4 + W_8 \cdot \beta^8 \hspace{0.05cm}.$$

*Die Gewichtsfunktion des $(8, 4, 4)$–Codes lautet:
  
:$$W(X) = 1 + W_4 \cdot X^4 + W_8 \cdot X^8 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} W(\beta) - 1 = W_4 \cdot \beta^4 + W_8 \cdot \beta^8\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_3 = W(\beta) - 1 \ge p_1\hspace{0.05cm}.$$


'''(6)'''&nbsp; Mit $\sigma = 1$ lautet der Bhattacharyya–Parameter $\beta = {\rm e}^{–0.5} = 0.6065$ und man erhält damit für die Bhattacharyya–Schranke:
 
:$$p_3 = 14 \cdot \beta^4 + \beta^8 = 14 \cdot 0.135 + 0.018= 1.913 \hspace{0.15cm}\underline{= 191.3%}\hspace{0.05cm}.$$

*Berücksichtigt man, dass $p_{3}$ (eine Schranke für) eine Wahrscheinlichkeit angibt, so ist $p_{3} = 1.913$ nur eine triviale Schranke. 
*Für $\sigma = 0.5$ ergibt sich dagegen $\beta = {\rm e}^{–2}  \approx 0.135.$ Dann gilt:
 
:$$p_3 = 14 \cdot \beta^4 + \beta^8 = 14 \cdot 3.35 \cdot 10^{-4} + 1.1 \cdot 10^{-7} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.47 \%}\hspace{0.05cm}.$$

Ein Vergleich mit der Teilaufgabe (2) zeigt, dass im vorliegenden Beispiel die Bhattacharyya–Schranke $p_{3}$ um den Faktor $(0.47 · 10^{–2})/(0.044 · 10^{–2}) > 10$ oberhalb der ''Union Bound'' $p_{1}$ liegt. 
*Der Grund für diese große Abweichung ist die Chernoff–Rubin–Schranke, die deutlich oberhalb der ${\rm Q}$–Funktion liegt. 
*In der [[Aufgaben:Aufgabe_1.16Z:_Schranken_für_die_Gaußsche_Fehlerfunktion|Aufgabe 1.16Z]] wird die Abweichung zwischen ${\rm Q}_{\rm CR}$ und ${\rm Q}(x)$ auch quantitativ berechnet:
 
:$${{\rm Q_{CR}}( x )}/{{\rm Q}( x )} \approx 2.5 \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {{\rm Q_{CR}}( x = 4 )}/{{\rm Q}( x = 4)} \approx 10 \hspace{0.05cm}.$$
{{ML-Fuß}}



[[Category:Channel Coding: Exercises|^1.6 Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken^]]