View source for Modulation Methods/Double-Sideband Amplitude Modulation

 
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== # OVERVIEW OF SECOND MAIN CHAPTER # ==
<br>
After some general explanations of modulation and demodulation, a detailed description of &nbsp; ''amplitude modulation''&nbsp; and their associated&nbsp; ''demodulators''.&nbsp;This chapter deals in detail with:
*the description and realization of double-sideband amplitude modulation  (DSB–AM) in the frequency and time domains,
*the characteristics of a synchronous demodulator and the possible applications of an envelope demodulator,
*the similarities/differences of single-sideband modulation compared to DSB-AM and modified AM methods.


==Description in the frequency domain==
<br>
We consider the following problem: a message signal&nbsp;$q(t)$, whose spectrum &nbsp;$Q(f)$&nbsp; is bandlimited to the range &nbsp;$\pm B_{\rm NF}$&nbsp; (subscript NF from German "Niederfrequenz" ⇒ low frequency), is to be shifted to a higher frequency range where the channel frequency response&nbsp;$H_{\rm K}(f)$ has favorable characteristics, using a harmonic oscillation of frequency &nbsp;$f_{\rm T}$, which we will refer to as the carrier signal&nbsp;$z(t)$&nbsp;. 

[[File:P_ID974__Mod_T_2_1_S1a_neu.png |center|frame|Representation of amplitude modulation in the frequency domain]]

The diagram illustrates the task, with the following simplifying assumptions: 
*The spectrum &nbsp;$Q(f)$&nbsp; drawn here is schematic.&nbsp; It states that only spectral components in the range &nbsp;$|f| ≤ B_{\rm NF}$&nbsp; are included in &nbsp;$q(t)$&nbsp;. $Q(f)$&nbsp; could also be a line spectrum. 
*Let the channel be ideal in a bandwidth range &nbsp;$B_{\rm K}$&nbsp; around frequency &nbsp;$f_{\rm M}$&nbsp;, that is, let &nbsp;$H_{\rm K}(f) = 1$&nbsp; for &nbsp;$|f - f_{\rm M}| ≤ B_{\rm K}/2.$&nbsp; Noise interference is ignored for now. 
*Let the carrier signal be cosine &nbsp; $($phase &nbsp;$ϕ_T = 0)$&nbsp; and have amplitude &nbsp;$A_{\rm T} = 1$&nbsp; (without a unit).&nbsp; Let the carrier frequency &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; be equal to the center frequency of the transmission band. 
*Thus, the spectrum of the carrier signal &nbsp;$z(t) = \cos(ω_{\rm T} · t)$&nbsp; (plotted in green in the graph) is: 
:$$Z(f) = {1}/{2} \cdot \delta (f + f_{\rm T})+{1}/{2} \cdot \delta (f - f_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

Those familiar with the &nbsp;[[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws|laws of spectral transformation]]&nbsp; and in particular with the &nbsp;[[Signal_Representation/The_Convolution_Theorem_and_Operation|Convolution Theorem]]&nbsp; can immediately give a solution for the spectrum &nbsp;$S(f)$&nbsp; of the modulator output signal:
:$$S(f)= Z(f) \star Q(f) = 1/2 \cdot \delta (f + f_{\rm T})\star Q(f)+1/2 \cdot \delta (f - f_{\rm T})\star Q(f) = 1/2 \cdot Q (f + f_{\rm T})+ 1/2 \cdot Q(f - f_{\rm T})
 \hspace{0.05cm}.$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Please note:}$&nbsp; This equation takes into account that the convolution of a shifted Dirac function  &nbsp;$δ(x – x_0)$&nbsp; with an arbitrary function&nbsp;$f(x)$&nbsp; yields the &nbsp; '''shifted function''' &nbsp;$f(x - x_0)$&nbsp;.}} 


[[File:EN_Mod_T_2_1_S1b.png|center|frame|Spectrum of DSB-AM without a carrier]]

The diagram displays the result. One can identify the following characteristics: 
*Due to the system-theoretic approach with positive and negative frequencies,&nbsp;$S(f)$&nbsp; is composed of two parts around &nbsp;$\pm f_{\rm T}$&nbsp;, each of which have the same shape as &nbsp;$Q(f)$&nbsp;. 
*The factor &nbsp;$1/2$&nbsp; results from the carrier amplitude &nbsp;$A_{\rm T} = 1$.&nbsp; Thus, &nbsp;$s(t = 0) = q(t = 0)$, and the integrals over their spectral functions &nbsp;$S(f)$&nbsp; and &nbsp;$Q(f)$&nbsp; must also be equal. 
*The channel bandwidth &nbsp;$B_{\rm K}$&nbsp;  must be at least twice the signal bandwidth &nbsp;$B_{\rm NF}$, which gives the name "double-sideband amplitude modulation"(DSB–AM). 
*It should be noted that&nbsp;$B_{\rm NF}$ and $B_{\rm K}$&nbsp; are absolute and &nbsp;[[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|non-equivalent bandwidths]].&nbsp; The latter are defined over rectangles of equal area and are denoted by&nbsp;$Δf_q$&nbsp; and &nbsp;$Δf_{\rm K}$&nbsp; in our tutorial, respectively. 
*The Spectral function &nbsp;$S(f)$&nbsp; does not include any Dirac-lines at the carrier frequency &nbsp;$(\pm f_{\rm T})$.&nbsp; Therefore, this method is also referred to as "'''DSB-AM without carrier'''". 
*The frequency components above the carrier frequency  &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; are called the ''upper sideband''&nbsp; (USB), and those below &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; are the ''lower sideband''&nbsp; (LSB). 

==Description in the time domain==
<br>
Adapting the notation and nomenclature to this problem, the convolution theorem reads:
:$$S(f)  = Z(f) \star Q(f)\hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} s(t) = q(t) \cdot z(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T}\cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
This result is still true if the restrictions made on the last page $($real-valued spectrum &nbsp;$Q(f)$, carrier phase &nbsp;$ϕ_{\rm T} = 0)$&nbsp; are removed.  In general, this results in a complex-valued spectral function  &nbsp;$S(f)$.

[[File:Mod_T_2_1_S2a_version2.png|right|frame|Models of DSB–AM without a carrier]]
According to this equation, two models can be given for double-sideband amplitude modulation.  These are to be interpreted as follows: 
*The first model directly describes the relationship given above, where here the carrier &nbsp;$z(t) = \cos(ω_{\rm T}t + ϕ_{\rm T})$&nbsp; is applied without a unit. 
*The second model is more in line with the physical conditions, after each signal also has a unit.  If &nbsp;$q(t)$&nbsp; and &nbsp;$z(t)$&nbsp; are voltages respectively, the model still needs to provide a scaling with the modulator constant &nbsp;$K_{\rm AM}$&nbsp; (unitso that the output signal &nbsp;$s(t)$&nbsp; also represents a voltage waveform. 
*If we set &nbsp;$K_{\rm AM} = 1/A_{\rm T}$, both models are the same.&nbsp; In the following, we will always assume the simpler model.
<br clear=all>
[[File:P_ID977__Mod_T_2_1_S2b_neu.png|right|frame|Signal waveforms in DSB–AM without a carrier]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$&nbsp; The graph shows in red the transmitted signals &nbsp;$s(t)$&nbsp; for DSB–AM with two different carrier frequencies.&nbsp; 
*The source signal &nbsp;$q(t)$&nbsp; with bandwidth &nbsp;$B_{\rm NF} = 4\text{ kHz}$, which is the same in both cases, is drawn in solid blue and the signal &nbsp;$-q(t)$&nbsp is dashed.
*The carrier signal &nbsp;$z(t)$&nbsp; has a cosine shape in both cases. 
*In the upper image, the carrier frequency is &nbsp;$f_{\rm T} = 20\text{ kHz}$&nbsp; and the lower image &nbsp;$f_{\rm T} = 100\text{ kHz}$.}} 

==Ring modulator==
<br>
One possibility to realize "double sideband amplitude modulation with carrier suppression" is offered by a so-called ''ring modulator'', also known as ''double push-pull diode modulator''.  Below you can see the circuit on the left and a simple functional diagram on the right.

[[File:P_ID978__Mod_T_2_1_S3a_neu.png|center|frame|Ring modulator to realize DSB–AM without a carrier]]
Without claiming to be complete, the principle can be stated as follows:
*Let the amplitude of the harmonic carrier oscillation &nbsp;$z(t)$&nbsp; be much larger than the maximum value&nbsp;$q_{\rm max}$&nbsp; of the message signal&nbsp;$q(t)$.&nbsp; Thus, all diodes are operated as switches.
*When the half-wave of the carrier is positive &nbsp;$(z(t) > 0)$&nbsp; the two magenta diodes conduct while the light green ones block. Thus, without considering losses,&nbsp;$s(t) = q(t)$ holds. 
*For a negative half-wave, the light green diodes conduct and the diodes in the longitudinal branches block. As can be seen from the right image,;$s(t) = \ – q(t)$ holds for this lower switch position. 
*Due to the operation of this switch, the harmonic oscillation &nbsp;$z(t)$&nbsp; can also be replaced by a periodic square wave signal with identical period duration: 
:$$z_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\  \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c}    {\rm{for}} \\  {\rm{for}}   \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {z(t) >0,}  \\ {z(t) <0.}  \\ \end{array}$$
*The modulated signal&nbsp;$s(t)$&nbsp; is then obtained as the product of the message signal &nbsp;$q(t)$&nbsp; and this square wave signal  &nbsp;$z_{\rm R}(t)$, whereas in ideal DSB-AM one multiplies by a cosine signal. 
*The carrier &nbsp;$z(t)$&nbsp; is not itself included in the signal&nbsp;$s(t)$.&nbsp; Since this is supplied via the center taps of the transformers, the induced voltages cancel out ("DSB-AM without a carrier"). 


{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$&nbsp; Now we will explain the mode of operation of a ring modulator using typical signal characteristics.&nbsp; Let the carrier frequency be &nbsp;$f_{\rm T} = 10\text{ kHz}$.

[[File:EN_Mod_T_2_1_S3a.png|right|frame|Signals to illustrate a ring modulator]] 

*The top graph shows the signals &nbsp;$q(t)$&nbsp; and &nbsp;$-q(t)$&nbsp; as magenta and light green waveforms respectively.

 
*The bipolar square wave signal&nbsp;$z_{\rm R}(t)$&nbsp; is shown in blue dashes, and takes the values &nbsp;$±1$&nbsp;.

 
*The middle chart shows the modulated signal from the ring modulator: 
:$$s_{\rm RM}(t) = q(t) · z_{\rm R}(t).$$



*For comparison, the conventional DSB-AM signal is shown in the bottom graph:
:$$s(t) = q(t) · \cos(ω_{\rm T} · t).$$
<br clear=all> 
One can see significant differences, but these can be compensated for in a simple way: 
*The Fourier series representation of the periodic square wave signal&nbsp;$z_{\rm R}(t)$&nbsp; is:
:$$z_{\rm R}(t) = \frac{4}{\pi} \cdot \cos(\omega_{\rm T}\cdot t)-\frac{4}{3\pi} \cdot \cos(3\omega_{\rm T}\cdot t) +\frac{4}{5\pi} \cdot \cos(5\omega_{\rm T}\cdot t)- \text{ ...}$$
*Die dazugehörige Spektralfunktion besteht demnach aus Diraclinien bei &nbsp;$±f_{\rm T}, ±3f_{\rm T}, ±5f_{\rm T}$&nbsp; usw.&nbsp; Die Faltung mit &nbsp;$Q(f)$&nbsp; führt zu der Spektralfunktion (der Index steht für „Ringmodulator”): 
:$$S_{\rm RM}(f) = \frac{2}{\pi} \cdot Q (f \pm f_{\rm T})-\frac{2}{3\pi} \cdot Q (f \pm 3f_{\rm
 T})+\frac{2}{5\pi} \cdot Q (f \pm 5f_{\rm T}) -\text{ ...} \hspace{0.05cm}$$
*Daraus ist ersichtlich, dass durch eine geeignete Bandbegrenzung $($zum Beispiel auf &nbsp;$±2f_{\rm T})$ und eine Dämpfung mit &nbsp;$π/4 ≈ 0.785$&nbsp; das bekannte ZSB–AM–Spektrum gewonnen werden kann: 
:$$S(f) = {1}/{2} \cdot Q (f \pm f_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
Bei diesen Überlegungen ist zu berücksichtigen, dass stets &nbsp;$B_{\rm NF} \ll f_{\rm T}$&nbsp; angenommen werden kann.}}

==AM-Signale und -Spektren bei harmonischem Eingangssignal==
<br>
Nun soll der für Testzwecke wichtige Sonderfall betrachtet werden, dass nicht nur das Trägersignal &nbsp;$z(t)$, sondern auch das zu modulierende Nachrichtensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; eine harmonische Schwingung ist: 
:$$\begin{align*}q(t) & = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm}, \\ \\ z(t) & = \hspace{0.15cm}1 \hspace{0.13cm} \cdot \hspace{0.1cm}\cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Bitte beachten Sie: &nbsp; Bei der Beschreibung von Modulationsverfahren wird  in obigen Gleichungen der Phasenterm mit Pluszeichen berücksichtigt. 
*Somit steht &nbsp;$ϕ_{\rm N} = - 90^\circ$&nbsp; für ein sinusförmiges Eingangssignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$ϕ_{\rm T} = - 90^\circ$&nbsp; kennzeichnet ein sinusförmiges Trägersignal $z(t)$. 
*Damit lautet die Gleichung für das modulierte Signal: 
:$$s(t) = q(t) \cdot z(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t + \phi_{\rm
 N})\cdot  \cos(\omega_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$


Diese Gleichung kann mit Hilfe des Additionstheorems der Trigonometrie umgeformt werden: 
:$$s(t) = A_{\rm N}/{2} \cdot \cos \big [(\omega_{\rm T} +\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N} \big ] + A_{\rm N}/{2} \cdot \cos \big [(\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N} \big ]\hspace{0.05cm}.$$

*Bei cosinusförmigen Signalen &nbsp;$(ϕ_{\rm T} = ϕ_{\rm N} = 0)$&nbsp; vereinfacht sich diese Gleichung zu
:$$s(t) = {A_{\rm N}}/{2} \cdot \cos\big[(\omega_{\rm T}+\omega_{\rm N})\cdot t\big]  + {A_{\rm N}}/{2} \cdot \cos\big[(\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t \big]\hspace{0.05cm}.$$ 

*Durch Fouriertransformation kommt man zur Spektralfunktion: 
:$$S(f) = {A_{\rm N}}/{4} \cdot \big[\delta ( f - f_{\rm T} - f_{\rm
 N})+\delta ( f + f_{\rm T} + f_{\rm N})\big)] +  {A_{\rm N}}/{4} \cdot \big[ \delta ( f - f_{\rm T}+ f_{\rm N})+\delta ( f+ f_{\rm T} - f_{\rm N} ) \big]\hspace{0.05cm}.$$


Dieses Ergebnis, zu dem man auch über die Faltung gekommen wäre, besagt: 
*Das Spektrum besteht aus vier Diraclinien bei den Frequenzen &nbsp;$±(f_{\rm T} + f_{\rm N})$&nbsp; und &nbsp;$±(f_{\rm T} - f_{\rm N})$, wobei in beiden Klammerausdrücken die erste Diracfunktion diejenige bei positiver Frequenz angibt. 
*Die Gewichte aller Diracfunktionen sind gleich und jeweils &nbsp;$A_{\rm N}/4$.&nbsp; Die Summe dieser Gewichte – also das Integral über $S(f)$ – ist entsprechend der Theorie gleich dem Signalwert &nbsp;$s(t = 0) = A_{\rm N}$. 
*Die Diraclinien bleiben auch für &nbsp;$ϕ_{\rm T} ≠ 0$&nbsp; und/oder &nbsp;$ϕ_{\rm N} ≠ 0$&nbsp; bei den gleichen Frequenzen erhalten.&nbsp; Zu den Gewichten &nbsp;$A_{\rm N}/4$&nbsp; müssen dann jedoch komplexe Drehfaktoren hinzugefügt werden. 


{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Die folgende Grafik zeigt die Spektralfunktionen &nbsp;$S(f)$&nbsp; für unterschiedliche Werte von &nbsp;$ϕ_{\rm T}$&nbsp; bzw. &nbsp;$ϕ_{\rm N}$.&nbsp; Die weiteren Parameter sind zu &nbsp;$f_{\rm T} = 50\text{ kHz}$, &nbsp;$f_{\rm N} = 10\text{ kHz}$&nbsp; und &nbsp;$A_{\rm N} = 4\text{ V}$&nbsp; vorausgesetzt.&nbsp; Die Beträge aller Diraclinien sind somit &nbsp;$A_{\rm N}/4 = 1\text{ V}$. 

[[File:EN_Mod_T_2_1_S4.png|right|frame|Beispielhafte Spektren der ZSB–AM]]
<br>
*Das linke obere Bild zeigt den gerade besprochenen Fall: &nbsp; Sowohl der Träger als auch das Nachrichtensignal sind cosinusförmiges. Somit setzt sich das amplitudenmodulierte Signal &nbsp;$s(t)$&nbsp; aus zwei Cosinusschwingungen mit &nbsp;$ω_{60} = 2 π · 60\text{ kHz}$&nbsp; und &nbsp;$ω_{40} = 2 π · 40\text{ kHz}$&nbsp; zusammen.

 
*Bei den drei anderen Konstellationen ist zumindest eines der Signale &nbsp;$q(t)$&nbsp; bzw. &nbsp;$z(t)$&nbsp; sinusförmig, so dass stets &nbsp;$s(0) =  0$&nbsp; ist.&nbsp; Somit ergeben sich bei diesen Spektren die Summe der vier Impulsgewichte jeweils zu Null.

 
*Das rechte untere Bild beschreibt &nbsp;$s(t) = A_{\rm N} · \sin(ω_{\rm N} t) · \sin(ω_{\rm T}t)$.&nbsp; Die Multiplikation zweier ungerader Funktionen ergibt die gerade Funktion &nbsp;$s(t)$&nbsp; und damit ein reelles Spektrum &nbsp;$S(f)$.&nbsp; Dagegen führen die beiden anderen Konstellationen jeweils zu imaginären Spektralfunktionen. }}

==Double-Sideband Amplitude Modulation with carrier==
<br>
Die folgende Grafik zeigt, wie man von der&nbsp; „ZSB–AM ohne Träger”&nbsp; zur bekannteren Variante&nbsp; „ZSB–AM mit Träger”&nbsp; gelangt.&nbsp; Diese hat den Vorteil, dass durch eine einfache Maßnahme beim Sender der Demodulator sehr viel einfacher und billiger realisiert werden kann. 

[[File: P_ID981__Mod_T_2_1_S5a_neu.png|center|frame|Modelle der ZSB–AM mit Träger]]

Die Grafik ist wie folgt zu interpretieren: 
*Die obere Darstellung zeigt das physikalische Modell der „ZSB–AM mit Träger”, wobei Veränderungen gegenüber der „ZSB–AM ohne Träger” rot hervorgehoben sind. 
*Dem Signal &nbsp;$s(t)$&nbsp; ist additiv das Trägersignal &nbsp;$z(t) = A_{\rm T} · \cos(ω_{\rm T} · t)$&nbsp; hinzugefügt, das im Spektrum zwei zusätzliche Diracfunktionen bei &nbsp;$±f_{\rm T}$&nbsp; bewirkt,&nbsp; jeweils mit dem Impulsgewicht &nbsp;$A_{\rm T}/2$. 
*Durch Addition des Gleichsignals &nbsp;$A_{\rm T}$&nbsp; zum Quellensignal und anschließende Multiplikation mit dem dimensionslosen Träger &nbsp;$z(t)$&nbsp; entsprechend der unteren Skizze ergibt sich das gleiche Signal &nbsp;$s(t)$&nbsp; und das gleiche Spektrum &nbsp;$S(f)$&nbsp; wie oben. 
*Die zweite Darstellung ist also mit dem oberen Modell äquivalent.&nbsp; Die Trägerphase  ist in beiden Fällen nur aus Gründen einer vereinfachten Darstellung &nbsp;$ϕ_{\rm T} = 0$&nbsp; gesetzt. 


{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Die&nbsp; ''Zweiseitenband-Amplitudenmodulation mit Träger''&nbsp; findet auch heutzutage noch ihre Hauptanwendung in der Rundfunkübertragung auf 
*Langwelle&nbsp; &nbsp; $($Frequenzbereich&nbsp; $\text{30 kHz}$ ... $\text{300 kHz})$, 
*Mittelwelle&nbsp; $($Frequenzbereich&nbsp; $\text{300 kHz}$ ... $\text{3 MHz})$, 
*Kurzwelle&nbsp; &nbsp; $($Frequenzbereich&nbsp; $\text{3 MHz}$ ... $\text{30 MHz})$. 


Diese Frequenzen werden jedoch mehr und mehr für digitale Anwendungen freigegeben, zum Beispiel für&nbsp; ''Digital Video Broadcast''&nbsp; (DVB). 

Eine Anwendung von&nbsp; ''Zweiseitenband-Amplitudenmodulation ohne Träger''&nbsp; gibt es beispielsweise beim UKW-Stereo-Rundfunk: 
*Hier wird das Differenzsignal zwischen den beiden Stereokanälen bei&nbsp; $\text{39 kHz}$&nbsp; trägerlos amplitudenmoduliert. 
*Dann werden das Summensignal der beiden Kanäle&nbsp; $($jeweils im Bereich&nbsp; $\text{30 Hz}$ ... $\text{15 kHz})$, ein Hilfsträger bei&nbsp; $\text{19 kHz}$&nbsp; sowie das Differenzsignal zusammengefasst und frequenzmoduliert.}} 


{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 5:}$&nbsp; Die folgenden Signalverläufe sollen das Prinzip der „ZSB–AM mit Träger” weiter verdeutlichen.

[[File:EN_Mod_T_2_1_S5b_v2.png|right|frame|Signalverläufe bei der ZSB–AM mit Träger]]
<br> 
*Oben sehen Sie einen Ausschnitt des auf Frequenzen &nbsp;$\vert f \vert \le 4\text{ kHz}$&nbsp; begrenzten Quellensignal &nbsp;$q(t)$.

 
*$s(t)$&nbsp; ergibt sich, wenn man zu &nbsp;$q(t)$&nbsp; den Gleichanteil &nbsp;$A_{\rm T}$&nbsp; addiert und  die Signalsumme mit dem Trägersignal &nbsp;$z(t)$&nbsp; der Frequenz &nbsp;$f_{\rm T} = 100\text{ kHz}$&nbsp; multipliziert.

 
*Unten ist zum Vergleich das Sendesignal der „ZSB–AM ohne Träger” dargestellt. 
<br clear=all>
Ein Vergleich dieser Signalverläufe zeigt: 
*Durch die Zusetzung des Gleichanteils &nbsp;$A_{\rm T}$&nbsp; wurde erreicht, dass nun das Nachrichtensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; in der Hüllkurve von &nbsp;$s(t)$&nbsp; zu erkennen ist. 
*Dadurch kann die &nbsp;[[Modulation_Methods/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]]&nbsp; angewandt werden, die einfacher und billiger zu realisieren ist als die kohärente &nbsp;[[Modulation_Methods/Synchrondemodulation|Synchrondemodulation]]. 
*Voraussetzung für die Anwendung des Hüllkurvendemodulators ist aber ein Modulationsgrad &nbsp;$m <1$.&nbsp; Dieser ist wie folgt definiert: 
:$$m = \frac{q_{\rm max} }{A_{\rm T} } \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} q_{\rm max} = \max_{t} \hspace{0.05cm} \vert q(t) \vert\hspace{0.05cm}.$$
*Der Vorteil eines einfacheren Demodulators muss aber durch eine deutlich höhere Sendeleistung erkauft werden, da der Leistungsbeitrag des Trägers nicht zur Demodulation genutzt werden kann. 
*Weiter ist zu darauf zu achten, dass das Quellensignal keinen Gleichanteil beinhaltet, da dieser durch den Träger überdeckt würde.&nbsp; Bei Sprach– und Musiksignalen ist dies allerdings keine große Einschränkung. }}

==Beschreibung der ZSB-AM durch das analytische Signal==
<br>
[[File:Mod_T_2_1_S6_version2.png|right|frame|Spektrum des analytischen Signals in zwei verschiedenen Darstellungsformen]]
Im weiteren Verlauf wird zur Vereinfachung von Grafiken meist das Spektrum &nbsp;$S_+(f)$&nbsp; des &nbsp;[[Modulation_Methods/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_des_physikalischen_Signals_mit_Hilfe_des_analytischen_Signals|analytischen Signals]]&nbsp; anstelle des tatsächlichen, physikalischen Spektrums &nbsp;$S(f)$&nbsp; angegeben.&nbsp; 

Beispielhaft betrachten wir hier eine&nbsp; „ZSB–AM mit Träger”&nbsp; und folgende Signale:

:$$\begin{align*}s(t) & = \left(q(t) + A_{\rm T}\right) \cdot \cos(\omega_{\rm T}\cdot  t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}, \\ \\ q(t) & = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N}\cdot  t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Dann lautet das dazugehörige analytische Signal: 
:$$s_+(t)  = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.01cm}(\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.02cm}t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}\phi_{\rm T})}+  \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.01cm}((\omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} \omega_{\rm N} )\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N})} + \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.01cm}((\omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm} \omega_{\rm N} )\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N})} \hspace{0.05cm}.$$

Die zugehörige Spektralfunktion &nbsp;$S_+(f)$&nbsp; besteht aus drei Diraclinien mit jeweils komplexen Gewichten entsprechend der Grafik: 

*Die linke Skizze zeigt den Betrag &nbsp;$|S_+(f)|$, wobei &nbsp;$A_{\rm T}$&nbsp; das Gewicht des Trägers angibt und &nbsp;$A_{\rm N}/2$&nbsp; die Gewichte von&nbsp; '''OSB'''&nbsp; (oberes Seitenband)&nbsp; und&nbsp; '''USB'''&nbsp; (unteres Seitenband). 
*In Klammern stehen die auf &nbsp;$A_{\rm T}$&nbsp; normierten Werte.&nbsp; Da hier &nbsp;$q_{\rm max} = A_{\rm N}$&nbsp; gilt, erhält man mit dem Modulationsgrad &nbsp;$m = A_{\rm N}/A_{\rm T}$&nbsp; als normierte Gewichte von oberem und unterem Seitenband jeweils&nbsp; $m/2$. 
*Die rechte Skizze gibt einen Blick in Richtung der Frequenzachse und zeigt die Phasenwinkel von Träger &nbsp;$(ϕ_{\rm T})$, USB &nbsp;$(ϕ_{\rm T} – ϕ_{\rm N})$&nbsp; und OSB &nbsp;$(ϕ_{\rm T} + ϕ_{\rm N})$. 


==Amplitudenmodulation durch quadratische Kennlinie==
<br>
Nichtlinearitäten sind in der Nachrichtentechnik meist unerwünscht und störend.&nbsp; Wie im Kapitel &nbsp;[[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Nichtlineare_Verzerrungen|Nichtlineare Verzerrungen]]&nbsp; des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme” dargelegt, führen sie dazu, dass 
*das Superpositionsprinzip nicht mehr anwendbar ist, 
*das Übertragungsverhalten von der Größe des Eingangssignals abhängt,&nbsp; und 
*die Verzerrungen von nichtlinearer Art und damit irreversibel sind. 


Eine Nichtlinearität der allgemeinen Form 
:$$y(t) = c_0 + c_1 \cdot x(t) + c_2 \cdot x^2(t)+ c_3 \cdot x^3(t) + \text{...}$$
kann aber auch zur Realisierung einer ZSB–AM genutzt werden.&nbsp; Unter der Voraussetzung, dass 
*nur die Koeffizienten &nbsp;$c_1$&nbsp; und &nbsp;$c_2$&nbsp; vorhanden sind, und 
*das Eingangssignal &nbsp;$x(t) = q(t) + z(t)$&nbsp; angelegt wird, 


erhält man für das Ausgangssignal der Nichtlinearität: 
:$$y(t) = c_1 \cdot q(t) + c_1 \cdot z(t) + c_2 \cdot q^2(t)+ 2 \cdot c_2 \cdot q(t)\cdot z(t)+ c_2 \cdot z^2(t)\hspace{0.05cm}.$$
Der erste, der dritte und der letzte Anteil liegen – spektral gesehen – bei &nbsp;$| f | ≤ 2 · B_{\rm NF}$&nbsp; bzw. &nbsp;$| f | = 2 · f_{\rm T}$. 

Entfernt man diese Signalanteile durch einen Bandpass und berücksichtigt &nbsp;$z(t) = A_{\rm T} · \cos(ω_{\rm T} · t)$, so erhält man die für&nbsp; „ZSB–AM mit Träger”&nbsp; typische Gleichung&nbsp; <br>(nur noch der zweite und der vierte Term): 
:$$s(t) = c_1 \cdot A_{\rm T} \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t ) + 2 \cdot c_2 \cdot A_{\rm T} \cdot q(t)\cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$
Der Modulationsgrad ist bei dieser Realisierungsform durch die Koeffiziente &nbsp;$c_1$&nbsp; und &nbsp;$c_2$&nbsp; veränderbar: 
:$$m = \frac{2 \cdot c_2 \cdot q_{\rm max}}{c_1} \hspace{0.05cm}.$$
Eine Diode und der Feldeffekttransistor besitzen mit guter Näherung eine solche quadratische Kennlinie und können zur Realisierung einer ZSB–AM genutzt werden.&nbsp; Kubische Anteile &nbsp;$(c_3 ≠ 0)$&nbsp; und Nichtlinearitäten höherer Ordnung führen allerdings zu (großen) nichtlinearen Verzerrungen. 


==Aufgaben zum Kapitel==
<br>
[[Aufgaben:Aufgabe_2.1:_ZSB-AM_mit_Cosinus%3F_Oder_mit_Sinus%3F|Aufgabe 2.1: ZSB-AM mit Cosinus? Oder mit Sinus?]]

[[Aufgaben:Aufgabe_2.1Z:_ZSB-AM_ohne/mit_Träger|Aufgabe 2.1Z: ZSB-AM ohne/mit Träger]]

[[Aufgaben:Aufgabe_2.2:_Modulationsgrad|Aufgabe 2.2: Modulationsgrad]]

[[Aufgaben:Aufgabe_2.2Z:_Leistungsbetrachtung|Aufgabe 2.2Z: Leistungsbetrachtung]]

[[Aufgaben:Aufgabe_2.3:_ZSB–AM–Realisierung|Aufgabe 2.3: ZSB–AM–Realisierung]]

[[Aufgaben:Aufgabe_2.3Z:_ZSB_durch_Nichtlinearität|Aufgabe 2.3Z: ZSB durch Nichtlinearität]]

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