View source for Aufgaben:Exercise 4.6: k-parameters and alpha-parameters


{{quiz-Header|Buchseite=Linear_and_Time_Invariant_Systems/Properties_of_Balanced_Copper_Pairs
}}

[[File:EN_LZI_A_4_6.png|right|frame|Attenuation function per unit length&nbsp; $\text{(0.5 mm}$&nbsp; twin wire$)$ with&nbsp; $k$– and&nbsp; $\alpha$-parameters]]
Für symmetrische Kupfer&ndash;Doppeladern findet man in&nbsp; [PW95]&nbsp; die folgende empirische Formel, gültig für den Frequenzbereich &nbsp;$0 \le f \le 30 \ \rm MHz$:
:$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2  \cdot (f/f_0)^{k_3} , \hspace{0.15cm}
 f_0 = 1\,{\rm MHz} .$$
Dagegen ist das Dämpfungsmaß eines Koaxialkabels meist in der folgenden Form angegeben:
:$$\alpha_{\rm II}(f)  = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f +  \alpha_2 \cdot \sqrt {f}\hspace{0.05cm}.$$
Insbesondere zur Berechnung von Impulsantwort und Rechteckantwort ist es von Vorteil, auch für die Kupfer&ndash;Doppeladern die zweite Darstellungsform mit den Kabelparametern &nbsp;$\alpha_0$, &nbsp;$\alpha_1$&nbsp; und&nbsp; $\alpha_2$&nbsp; anstelle der Beschreibung durch &nbsp;$k_1$, &nbsp;$k_2$&nbsp; und &nbsp;$k_3$ zu wählen. 

Für die Umrechnung geht man dabei wie folgt vor:
* Aus obigen Gleichungen ist offensichtlich, dass der die Gleichsignaldämpfung charakterisierende Koeffizient &nbsp;$\alpha_0 = k_1$&nbsp; ist.
* Zur Bestimmung von&nbsp; $\alpha_1$&nbsp; und&nbsp; $\alpha_2$&nbsp; wird davon ausgegangen, dass der mittlere quadratische Fehler im Bereich einer vorgegebenen Bandbreite &nbsp;$B$&nbsp; minimal sein soll:
:$${\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big] =  \int_{0}^{
B} \left [ \alpha_{\rm II} (f) - \alpha_{\rm I} (f)\right ]^2
\hspace{0.1cm}{\rm  d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow
\hspace{0.3cm}{\rm Minimum}
 \hspace{0.05cm} .$$
* Die Differenz &nbsp;$\varepsilon^2(f)$&nbsp; und der mittlere quadratische Fehler &nbsp;${\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big]$&nbsp; ergeben sich dabei wie folgt:
:$$\varepsilon^2(f) =  \big [ \alpha_1 \cdot f +  \alpha_2 \cdot \sqrt {f} - k_2  \cdot (f/f_0)^{k_3}\big ]^2
=\alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  f^2  + 2  \alpha_1 \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  f^{1.5} +
\alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  f + k_2^2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{f^{2k_3}}{f_0^{2k_3}} - 2 k_2 \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 
\frac{f^{k_3+1}} {f_0^{k_3}}-{2 k_2 \alpha_2} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  \frac{f^{k_3+0.5}}{f_0^{k_3}}$$
:$$\Rightarrow
\hspace{0.3cm}{\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big]   =   \alpha_1^2
\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\frac{B^3}{3} + \frac{4}{5} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\alpha_1 \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}B^{2.5} +
\alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{B^2}{2} + \frac{k_2^2}{2k_3 +1} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}
\frac{B^{2k_3+1}}{f_0^{2k_3}} - \hspace{0.15cm}
 \frac{2 k_2 \alpha_1}{k_3 + 2}
\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}
$$
:Diese Gleichung beinhaltet die zu verrechnenden Kabelparameter &nbsp;$\alpha_1$, &nbsp;$\alpha_2$, &nbsp;$k_2$&nbsp; und &nbsp;$k_3$&nbsp; sowie die Bandbreite &nbsp;$B$,&nbsp; innerhalb derer die Approximation gültig sein soll.
* Durch Nullsetzen der Ableitungen von &nbsp;${\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big]$&nbsp; nach &nbsp;$\alpha_1$&nbsp; bzw. &nbsp;$\alpha_2$&nbsp; erhält man zwei Gleichungen für die bestmöglichen Koeffizienten &nbsp;$\alpha_1$&nbsp; und &nbsp;$\alpha_2$, die den mittleren quadratischen Fehler minimieren. Diese lassen sich in folgender Form darstellen:
:$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big]}{{\rm d}\,{\alpha_1}}  = 0 \hspace{0.2cm} 
 \Rightarrow 
\hspace{0.2cm} \alpha_1 + C_1 \cdot \alpha_2 + C_2  = 0 \hspace{0.05cm}
,$$
:$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big]}{{\rm d}\,{\alpha_2}}  =
0 \hspace{0.2cm} 
 \Rightarrow 
\hspace{0.2cm} \alpha_1 + D_1 \cdot \alpha_2 + D_2 = 0 \hspace{0.05cm}
. $$
* Aus der Gleichung &nbsp;$C_1 \cdot \alpha_2 + C_2 = D_1 \cdot \alpha_2 + D_2$&nbsp; lässt sich daraus der Koeffizient &nbsp;$\alpha_2$&nbsp; berechnen und anschließend aus jeder der beiden oberen Gleichungen der Koeffizient &nbsp;$\alpha_1$.


Die  Grafik zeigt das Dämpfungsmaß für eine Kupferdoppelader mit&nbsp; $\text{0.5 mm}$&nbsp; Durchmesser, deren&nbsp; $k$&ndash;Parameter lauten:
:$$k_1  = 4.4\, {\rm dB}/{\rm km} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 k_2  = 10.8\, {\rm dB}/{\rm km}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}k_3  = 0.60\hspace{0.05cm}
 \hspace{0.05cm}.$$

*Die rote Kurve zeigt die damit berechnete Funktion &nbsp;$\alpha(f)$.&nbsp; Für &nbsp;$f = 30 \ \rm MHz$&nbsp; ergibt sich das Dämpfungsmaß &nbsp;$\alpha(f)= 87.5 \ \rm dB/km$. 
*Die blaue Kurve gibt die Approximation mit den &nbsp;$\alpha$&ndash;Koeffizienten an.&nbsp; Diese ist von der roten Kurve innerhalb der Zeichengenauigkeit fast nicht zu unterscheiden.








''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern|Eigenschaften von Kupfer–Doppeladern]].
 
*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet &nbsp;[[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]]&nbsp; benutzen.
*[PW95]&nbsp; kennzeichnet folgenden Literaturhinweis:   &nbsp; Pollakowski, P.; Wellhausen, H.-W.: ''Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz.'' Deutsche Telekom AG, Forschungs- und Technologiezentrum Darmstadt, 1995.


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Berechnen Sie die Parameter &nbsp;$C_1$&nbsp; und  &nbsp;$C_2$&nbsp; der Gleichung &nbsp;$\alpha_1 + C_1 \cdot \alpha_2 + C_2  = 0$, die sich aus der Ableitung &nbsp;${\rm dE\big[\text{...}\big]/d}\alpha_1$&nbsp; ergeben. <br>Welche Ergebnisse sind zutreffend?
|type="[]"}
+ $C_1 = 6/5 \cdot B^{-0.5}$,
- $C_1 = 5/4 \cdot B^{-0.5}$,
- $C_1 = 4/3 \cdot B^{2}$,
- $C_2 = -4/3 \cdot B^{-2$}$,
- $C_2 = -5/2 \cdot k_2/(k_3 +1.5) \cdot B^{k_3 -1} \cdot f_0^{-k_3}$,
+ $C_2 = -3 \cdot k_2/(k_3 +2) \cdot B^{k_3 -1} \cdot f_0^{-k_3}$.


{Berechnen Sie die Parameter &nbsp;$D_1$&nbsp; und  &nbsp;$D_2$&nbsp; der Gleichung &nbsp;$ \alpha_1 + D_1 \cdot \alpha_2 + D_2  = 0$, die sich aus der Ableitung &nbsp;${\rm dE\big[\text{...}\big]/d}\alpha_2$&nbsp; ergeben.<br> Welche Ergebnisse sind zutreffend?
|type="[]"}
- $D_1 = 6/5 \cdot B^{-0.5}$,
+ $D_1 = 5/4 \cdot B^{-0.5}$,
- $D_1 = 4/3 \cdot B^{2}$,
- $D_2 = -4/3 \cdot B^{-2}$,
+ $D_2 = -5/2 \cdot k_2/(k_3 +1.5) \cdot B^{k_3 -1} \cdot f_0^{-k_3}$,
- $D_2 = -3 \cdot k_2/(k_3 +2) \cdot B^{k_3 -1} \cdot f_0^{-k_3}$.


{Berechnen Sie die Koeffizienten &nbsp;$\alpha_1$&nbsp; und &nbsp;$\alpha_2$&nbsp; für die vorgegebenen &nbsp;$k_2$&nbsp; und &nbsp;$k_3$. <br>Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
|type="[]"}
+ Für &nbsp;$k_3=1.0$&nbsp; gilt &nbsp;$\alpha_1 = k_2/f_0$&nbsp; und &nbsp;$\alpha_2 = 0$.
+ Für &nbsp;$k_3=0.5$&nbsp; gilt &nbsp;$\alpha_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$\alpha_2 = k_2/f_0^{0.5}$.


{Ermitteln Sie die Koeffizienten &nbsp;$\alpha_1$&nbsp; und &nbsp;$\alpha_2$&nbsp; zahlenmäßig für die Approximationsbandbreite &nbsp;$B = 30 \ \rm MHz$.
|type="{}"}
$\alpha_1 \ = \ $  { 0.761 3% } $\ \rm dB/(km\ \cdot \ MHz)$
$\alpha_2 \ =\ $ { 11.1 3% } $\ \rm dB/(km\ \cdot \ \sqrt{\rm MHz})$


{Berechnen Sie mit den &nbsp;$\alpha$&ndash;Parametern das Dämpfungsmaß für die Frequenz &nbsp;$f = 30\ \rm MHz$.
|type="{}"}
$\alpha_{\rm  II}(f = 30\ \rm MHz) \ = \ $ { 88.1 3% } $\ \rm dB/km$



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 6</u>:
*Die Ableitung des angegebenen Erwartungswertes nach&nbsp; $\alpha_1$&nbsp; ergibt:
:$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}[\varepsilon^2(f)]}{{\rm d}\,{\alpha_1}}  =
 \frac{2}{3}\cdot B^3 \cdot \alpha_1 + \frac{4}{5}\cdot B^{2.5} \cdot \alpha_2
 - \frac{2 k_2 }{k_3
+ 2} \cdot \frac{B^{k_3+2}}{f_0^{k_3}}= 0
 \hspace{0.05cm} .$$
*Durch Nullsetzen und Division durch&nbsp; $2B^2/3$&nbsp; erhält man daraus:
:$$\alpha_1 + \frac{6}{5}\cdot B^{-0.5} \cdot \alpha_2
 - \frac{3 k_2 }{k_3
+2} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}= 0
\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_1 = \frac{6}{5}\cdot B^{-0.5} \hspace{0.05cm} ,
\hspace{0.5cm} C_2 = 
 - \frac{3 k_2 }{k_3
+2} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}
 \hspace{0.05cm} .$$



'''(2)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 5</u>:
*Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; erhält man:
:$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}[\varepsilon^2(f)]}{{\rm d}\,{\alpha_2}}  =
 \frac{4}{5}\cdot B^{2.5} \cdot \alpha_1 +  B^{2} \cdot \alpha_2
 - \frac{2 k_2 }{k_3
+ 1.5} \cdot \frac{B^{k_3+1.5}}{f_0^{k_3}}= 0$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_1 + \frac{5}{4}\cdot B^{-0.5} \cdot \alpha_2
 - \frac{2.5 \cdot k_2 }{k_3
+1.5} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}= 0
\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}D_1 = \frac{5}{4}\cdot B^{-0.5} \hspace{0.05cm} , 
\hspace{0.3cm}D_2 =
 - \frac{2.5 \cdot k_2 }{k_3
+1.5} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}
 \hspace{0.05cm} .$$



'''(3)'''&nbsp; Aus&nbsp; $C_1 \cdot \alpha_2 + C_2  = D_1 \cdot \alpha_2 + D_2$&nbsp; ergibt sich eine lineare Gleichung für&nbsp; $\alpha_2$. Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(2)'''&nbsp; kann hierfür geschrieben werden:
:$$\alpha_2   =  \frac{D_2 - C_2}{C_1 - D_1} = \frac{- \frac{2.5 \cdot k_2 }{k_3
+1.5} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}} + \frac{3 k_2 }{k_3 +2}
\cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}}{{6}/{5}\cdot B^{-0.5} -
{5}/{4}\cdot B^{-0.5}} =  \frac{- {2.5 \cdot k_2
}\cdot(k_3 +2)  + {3 k_2 }\cdot (k_3 +1.5) }{({6}/{5} -
{5}/{4})(k_3 +1.5)(k_3 +2)} \cdot
\frac{B^{k_3-0.5}}{f_0^{k_3}}$$
:$$  \Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha_2    =  10 \cdot (B/f_0)^{k_3
-0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}
 \hspace{0.05cm} .$$
*Für den Parameter&nbsp; $\alpha_1$&nbsp; gilt dann:
:$$\alpha_1   =  - C_1 \cdot \alpha_2 - C_2 =  
 -\frac{6}{5}\cdot B^{-0.5} \cdot 10 \cdot (B/f_0)^{k_3
-0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}} +\frac{3 k_2 }{k_3 +2}
\cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}$$
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha_1  =   (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot
\frac{-12 \cdot (1-k_3) + 3 \cdot (k_3 + 1.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
 2)} \cdot \frac {k_2}{f_0} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha_1  =15 \cdot (B/f_0)^{k_3
-1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
 2)}\cdot \frac {k_2}{f_0}\hspace{0.05cm} .$$
<u>Beide Lösungsvorschläge</u> sind richtig. 
*Unabhängig von der Bandbreite erhält man für&nbsp; $k_3 = 1$:
:$$\alpha_1    =   (B/f_0)^{k_3
-1}\cdot \frac{15 \cdot (k_3 -0.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
 2)}\cdot \frac {k_2}{f_0} = \frac{15 \cdot 0.5}{2.5 \cdot 3}\cdot \frac {k_2}{f_0}
\hspace{0.15cm}\underline{ = {k_2}/{f_0}}\hspace{0.05cm}
 ,$$
:$$ \alpha_2   =   (B/f_0)^{k_3
-0.5}\cdot \frac{10 \cdot (1-k_3)}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}\hspace{0.15cm}\underline{= 0} \hspace{0.05cm}
 .$$
*Dagegen ergibt sich für&nbsp; $k_3 = 0.5$:
:$$\alpha_1    =   (B/f_0)^{k_3
-1}\cdot \frac{15 \cdot (k_3 -0.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
 2)}\cdot \frac {k_2}{f_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm}
 ,$$
:$$ \alpha_2   =  (B/f_0)^{k_3
-0.5}\cdot \frac{10 \cdot (1-k_3)}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}=  \frac{10 \cdot 0.5}{2 \cdot 2.5}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}} = \hspace{0.15cm}\underline{ {k_2}/{\sqrt{f_0}}} \hspace{0.05cm}
 .$$



'''(4)'''&nbsp; Für die beiden Koeffizienten gilt mit&nbsp; $k_2 = 10.8 \ \rm dB/km$,&nbsp; $k_3 = 0.6 \ \rm dB/km$&nbsp; und&nbsp; $B/f_0 = 30$:
:$$\alpha_1    =   (B/f_0)^{k_3
-1}\cdot \frac{15 \cdot (k_3 -0.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
 2)}\cdot \frac {k_2}{f_0}  =   30^{-0.4}\cdot \frac{15 \cdot 0.1}{2.1 \cdot 2.6}\cdot
\frac {10.8 \, {\rm dB/km} }{1 \, {\rm MHz}}
\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.761\,
{{\rm dB} }/{({\rm km \cdot MHz})}}
 \hspace{0.05cm}
 ,$$
:$$ \alpha_2   =  (B/f_0)^{k_3
-0.5}\cdot \frac{10 \cdot (1-k_3)}{(k_3 + 1.5)(k_3 +
 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}=  \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}
 =   30^{0.1}\cdot \frac{10 \cdot 0.4}{2.1 \cdot 2.6}\cdot \frac
{10.8 \, {\rm dB/km} }{1 \, {\rm MHz^{0.5}}}
\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 11.1\,
{{\rm dB} }/{({\rm km \cdot \sqrt{MHz}}})}\hspace{0.05cm}
 .$$



'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der angegebenen Gleichung&nbsp; $\alpha_{\rm II}(f)$&nbsp; gilt damit auch:
:$$\alpha_{\rm II}(f = 30 \, {\rm MHz})    =  \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f +  \alpha_2 \cdot \sqrt {f} 
  =  \big [ \hspace{0.05cm} 4.4 + 0.761 \cdot 30 +  11.1 \cdot \sqrt {30}\hspace{0.05cm}
 \big ]\frac
{\rm dB}{\rm km }
\hspace{0.15cm}\underline{\approx 88.1\, {\rm dB}/{\rm km }}
 \hspace{0.05cm}.$$
{{ML-Fuß}}



[[Category:Linear and Time-Invariant Systems: Exercises|^4.3 Balanced Copper Twisted Pair^]]